高中數學_機率_機率的性質(三)_葉政峯

各位同學大家好,我是葉振峯老師。在前兩個單元當中呢,我們是不是介紹了機率的一些基本的性質, 還有取捨的原理?那這個單元我們會去做一個更進一步探討 事件之間比較複雜的關係的時候,機率是如何被做計算的呢?我們首先看一下, 第一個,差事件,也就是a減掉b的機率, 它會等於a的機率去扣掉a交集b的機率,以下我們以圖形來做解說。 首先,白色的方框內部呢是樣本空間的區域,然後裡面呢有兩個圓形區域, 由左至右,分別為a事件以及b事件。那在圖形當中呢會發現, 兩者所重疊,也就是它們交集的區域,在中間,也就是粉紅色的這塊區域。 那我們知道之前差事件的定義就是,a減掉b的意思就是說呢, a事件當中,我要把屬於b事件的部分把它去除掉,也就是a事件去扣掉 a交集b的部分。那這邊我們就會發現,如果用樣本點個數來觀察, 就會是a事件的樣本點個數扣掉a交集b事件的樣本點個數。 這時我們如果要把它轉變成為機率的版本的話,只要同時除以樣本空間的個數, 我就會得到a扣掉b所發生的機率,會等於a的機率去扣掉a交集b所發生的機率。 接下來第二個部分,a'連擊b'所發生的機率,會等於 1去扣掉a交集b所發生的機率。由於這個例子比較複雜,我們一樣用圖形來解釋一下。 首先呢,底下兩個圖形,我們發現左圖的這個綠色的區域呢, 它在b事件的外部,也就是b'的部分,b的餘事件。 而右圖的藍色區域呢,它在a事件的外部,也就是a事件的餘事件,a'。 那這邊這個式子呢,我們需要關心的是a'去連擊b'。 所以,兩者的連擊之下呢,我們會得到,會是左圖的黃色區域的部分, 也就是a'連擊b'的部分。那這個部分呢,我們可以用另外一個觀點去解釋它,也就是 中間的白色a交集b的區域的外部。 所以呢,我今天如果要看黃色區域佔了樣本空間的比例呢, 我們可以去用全部的機率,也就是1去扣掉a交集b所發生的機率。 也就是這個式子的敘述,a'連擊b'所發生的機率 會等於1去扣掉a交集b所發生的機率。 第三個部分,a'交集b'所發生的機率會等於1去扣掉 a連擊b所發生的機率。我們一樣看以下的圖形。首先,這兩個圖形跟剛剛相同, 綠色的部分代表b'b的餘事件,藍色的部分代表a'a的餘事件。 兩者要取交集,我們想像一下哦,綠色跟藍色共同有的地方, 也就會是左邊圖形黃色的部分,對不對? 所以你今天如果要計算黃色部分的機率呢,是不是用全部的機率去扣掉中間的白色部分的機率呢? 所以依照這樣的敘述,我們就可以得到a'交集b'所發生的機率 會等於全部的機率1去扣掉中間,也就是a連擊b這個白色的部分的機率,這就是這個式子的敘述。 以下我們用一個例題來練習一下剛剛所學習的概念。首先,假設a發生的機率是1 2, 而b發生的機率是1 3,a與b的機事件,也就是a交集b所發生的機率是1 0, 求下列各個機率值分別會是多少,我們一個小題一個小題來看哦。首先,第一個小題是 a連擊b所發生的機率,這個部分我們前面是不是有學過機率的取捨原理? 它告訴我們說,兩個事件連擊的機率呢,會等於各別的機率相加再扣掉交集的機率, 也就是a連擊b的機率會等於a的機率加上b的機率減掉a交集b所發生的機率。 所以我們這邊可以把題目給我們的數字帶進去做計算,我們就會得到是1 2加1 3 去扣掉交集的機率,也就是1 0,算出來的答案會是11 15。 接下來第二個小題,我們如果想要知道b'也就是b的餘事件,它所發生的機率呢, 以這個示意圖來看哦,很明顯的,b'就是綠色的區域, 我們的想像呢,就是把全部的機率去扣掉b所發生的機率來得到, 所以也就是1去減掉三分之一,得到b'所發生的機率是三分之二。 接下來第三個小題,稍微複雜一點哦,因為你今天要考慮的是a事件去交集 b'也就是b的餘事件,我們用圖形先來觀察一下。 首先呢,我們發現這個白色框框的內部是樣本空間,從左邊的圈圈到右邊的圈圈 分別代表的a事件以及b事件,什麼是b'呢?b'就是這個黃色區域的外部 全部都隸屬於b'。它與a事件的交集呢,就會是中間這一塊比較淺綠色的區域, 對不對?所以我們今天要求的部分就是這一塊淺綠色的a去交集b'。 它所發生的機率呢,會等於我們剛剛所介紹過的,也就是a事件 所發生的機率,去扣掉兩者交集,a交集b所發生的機率。 所以這邊經過計算,題目的a事件發生機率是二分之一,a交集b的機率是十分之一, 經過計算之後,得到答案應該會是五分之二。接著我們看以下這個題目, 假設ab是兩個事件,並且知道a事件發生的機率是二分之一,b事件發生的機率是三分之一。 我們求以下兩個小題,第一個小題要求a連及b,也就是ab的和事件 所發生的機率的最小值會是多少呢?第二小題是,如果今天ab他們是互斥事件, 我們要求a連及b的機率究竟會是多少?我們來看一下。 首先呢,這邊我們還是要根據我們所學到的機率的取捨原理, a連及b所發生的機率會等於a事件所發生的機率加上b事件所發生的機率, 再扣掉a交集b所發生的機率。所以我們目前題目的條件我們知道了 P of a二分之一,P of b是三分之一,這兩者是我們目前可以掌握的。 但是後面減掉兩者交集的機率呢,這個部分我們還不知道。 那這個題目要我們去計算的呢,是a連及b機率的最小值。 所以從這個式子我們可以觀察得到,如果要求a連及b機率的最小值, 其實也相當於是要求a交集b所發生機率的最大值。 是嗎?因為它是要被扣掉的部分,要被扣掉的部分如果越大, 我整體的值就會越小。所以利用這個概念,我們先來觀察一下a交集b的這個區塊。 首先,a交集b這個區塊呢,它一定會是a的子集合,也會是b的子集合。 根據我們前面的性質告訴我們,子集合所發生的機率一定小於等於原集合所發生的機率。 所以我們就得到了兩個關係式,就是a交集b的機率呢,會小於等於a的機率,也就是二分之一。 同時它也會小於等於b的機率,也就是三分之一。那這兩個式子是要同時成立的, 所以我們用以下的速線來幫助我們釐清一下,a交集b發生的機率它的範圍究竟是在哪裡呢? 首先,假設這個速線代表a交集b所發生的機率,首先第一個不等式,它會 a交集b的機率小於等於二分之一,也就是綠色的這個區間,因為它的機率最小是0嘛, 所以它會介於0到二分之一之間。再來就是,a交集b的機率會小於等於三分之一, 也就是黃色的這個區間。那你這兩個式子要同時符合的時候,我們找它們共同存在的地方, 也就是0到三分之一的這個區域。所以做了這麼多,我們到底在做什麼呢?我們想要知道 a交集b這個機率的最大值是多少,進而可以對應到a連集b機率的最小值。 所以我們就知道,a交集b的機率最大值根據剛剛的圖形顯示,它應該會是三分之一, 所以a連集b機率的最小值呢,帶回去原來的式子,也會就會是二分之一加上三分之一,再扣掉三分之一, 得到機率的最小值為二分之一。這是第一小題的部分。那第二小題呢,它說 a與b為互斥事件,還記得嗎?互斥事件的意思就是說,兩個事件它彼此之間是沒有交集的, 或說它們的交集為空事件,就是其中一個發生,另外一個一定不會發生,有一種王不見王的感覺。 所以它今天我們如果要去計算兩個互斥事件的連集的機率呢,我們可以先觀察得到 它們交集是空事件,而空事件的機率是零嘛,所以我們一樣在利用機率的取捨原理, 兩者連集的機率會等於個別機率相加,扣掉交集的機率。 我就會得到pa是二分之一,pb是三分之一,兩者交集的機率呢,是零,因為是空事件, 所以就得到答案應該是六分之五。而做完這一題呢,其實我們應該會有一個想法, 也就是說,今天如果兩個事件是互斥的關係的話,它們連集的機率 其實就等於它們自己的個別機率去做相加。 以上三個單元呢,我們前三段影片完整的介紹了有關機率的相關性質, 這個部分希望各位同學可以多加複習,並多做練習,那我們下一個單元再見囉,拜拜。