動力學_許丁友_質點運動學(1)_直線運動學：不規則運動(2)

接下來我們要介紹這個單元是直線運動不規則運動的部分, 那上一個單元我們已經介紹到它一些彼此的關係的運算該怎麼做進行, 怎麼樣做分段的運算,怎麼樣用圖形的方式來輔助, 那這個單元我們就會用一些立體的方式來讓大家做進一步的瞭解。 好,那首先我們來看看這個立體,這個立體是一個腳踏車, 它沿著一個直線的運動,它的位置跟時間的關係就是右下角這張圖, 那你會發現它從0到10秒之間,它的s它寫成0.3的t平方, 然後10秒到30秒之間,它的s是6t減掉30, 也就是說這兩段時間它的規則是不一樣的。 好,那我們現在要求的是說,當t等於0到30秒之間, 它給我們是st圖,那我們要怎麼樣求vt圖跟at圖? 好,那首先就是st圖知道了,然後要求vt圖跟at圖, 那我們就是要用我們之前學的一些運算的方式來看看怎麼做。 首先我們來看vt圖,那因為我們知道v等於dsdt, 所以vt圖就可以用st圖的微分來求得, 那所以當第一段的時候,就是我們現在做分段來做運算, 第一段的時候就是t等於0到10秒的時候,s是寫成0.3t平方, 然後我們知道v等於dsdt,然後我們把v等於0.6t就可以求出來, 就是直接做s對t的微分。 然後因為我們第二段呢,t等於10秒到30秒的話呢, 我們知道它的s的方程式是6t減掉30, 然後我們就可以知道它的v等於dsdt,我們再做一次微分, 就會得到等於6,因為這邊是6t,微分就等於6, 等於說這兩段的v對時間的函數我們知道了, 那我們就可以把它圖畫出來,我們就分段畫, 當t等於0到10秒的時候呢,v是0.6t,所以它是一個斜的, 然後當t等於10到30的時候呢,它的速度就是一個6,是一個定值,所以就是平的。 那其實我們可以從st圖的一個斜率我們來做驗算, 譬如說當t等於20秒的時候呢,這一段時間內, 它的斜率就會是從10秒到30秒,就是20秒之內呢, 位置從30增加到150,就是增加到120,所以120去除以20就會是6, 所以這個斜率是6,就代表這段時間它的速度就是6, 然後我們這段時間左邊求出來的速度也就是6, 所以代表我們驗算是正確的,沒有問題的。 然後再來看at圖怎麼求,現在我們已經有vt圖了, 那同樣的,加速度就會是速度對時間的微分, 所以我們再做一次微分就可以得到了, 在第一段的時候,我們現在求出來速度是0.6t, 然後我們再對t做一次微分,就得到加速度是0.6,是一個定值, 然後當t等於10秒到30秒的時候呢, v是6,再做一次微分呢,就會變成0, 所以我們就可以知道這兩段的加速度的函數是這個樣子, 就可以把它畫出來,所以第一段是定值0.6,第二段就是定值是0。 同樣的,我們可以用vt圖,譬如說5秒之後,這個斜率, 斜率就是10秒內的速度變從0到6,所以6除以10就是0.6, 所以跟我們加速度算出來的0.6的值是一樣的,就可以得到驗證。 好,那我們看下一個例題,這個例題呢,是一個火車它沿著直線出發, 其實一開始的加速度呢,是等加速度, 是每秒平方10公尺,然後前進了10秒之後呢, 它開始變成等減速度,每秒平方變成2公尺, 一直到T brown這個時間點變回到完全靜止的狀態, 然後我們要畫出vt圖和st圖,然後也要求出T brown值, 還要算出說這段時間到底行之逆的多少距離, 好,那我們看看怎麼辦,題目告訴我們一開始是靜止的, 然後一開始的10秒內是等加速度,後面的一段時間是等減速度, 到某個T brown時間又回到靜止的狀態, 好,那要算vt圖、st圖還有T brown是多少, 就是最後停止的時候是什麼時候,然後總共行進了多少距離, 那首先我們看看vt圖怎麼算, 好,我們,因為我們知道加速度是速度對時間的微分, 所以dv等於adt,所以從vt圖,我們vt圖就可以從adt的積分來得到, 好,所以dv等於adt,我們一開始,一開始t等於0的時候是靜止的狀態, 所以速度是0,那我們先做t等於0到10秒這一段時間, 他說我們加速度是定值10,那我們做積分,那左邊就是dv, 右邊就是a,所以a是10,然後dt,然後代t等於0,然後v等於0, 初始值,就可以算出來v等於10t,然後v等於10t呢, 因為我們現在要做第二段的積分,所以我們要,第二段積分的初始條件也要知道, 那它的初始條件就是,我們把第一段的t等於10這個尾巴呢,把它帶進去, 得到這個尾巴的時候呢,速度是100,那這個100呢,就會當作我們第二段的初始條件, 那第二段是從10秒開始到某個時間t brown, 那這個時候加速度是定值-2,然後同樣我們做積分, 右邊就是-2dt,然後把剛剛那個10秒的時候, 那初始條件速度是100,把它帶進去,就可以做積分的運算, 其次的話呢,就會變成速度等於-2t加上120, 然後我們現在要求的是,當t等於t brown的時候,速度又回到0的時候, 所以我們把0帶進去,我們就可以得到t brown是60秒,這就是我們第一個答案, 那我們就可以把vt圖也可以畫出來,因為我們現在有這兩段時間, v是時間的函數,所以一開始10秒之前呢,是v等於10t, 然後從10秒到60秒,會變成v等於-2t加上120, 然後這些邊界條件我們帶進去,就可以畫到vt圖, 好,那剛剛我們求得的t brown呢,其實我們可以用另一個方式直接求得, 就是用這個觀念,就是說at圖下的面積呢,就會等於火車速度的改變量, 就是說delta v呢,會等於at圖,就是原始速度是0,後來速度也是0, 所以0.0還是0,就會等於vt圖下所有的面積, 那面積就會是右邊這張圖的兩個矩形,一個是a1,一個是a2, 那a1就是10乘10,那a2呢,就會是t brown減到10這個寬度, 乘上它的高度是-2,那這兩個面積加起來也會是0, 就可以馬上把t brown求出來是60秒,那這個就是我們用另一個觀念可以快速求解t brown的值, 同一時間也可以作為我們驗算的一個工具。 好,那現在我們現在有vt圖了,我們要求st圖,那做法也是很類似的, 我們用速度是位置對時間的微分,ds等於v,dt就可以寫出來了, 然後意思就是說,我們對,把vt圖作積分,就可以到st圖, 所以我們要帶初始條件,當t等於0的時候,s等於0, 然後就可以算t等於0到10秒的時候,然後我們現在是知道v等於10t, 所以我們現在做積分,就可以到s等於5t平方, 同樣的,我們要做第二段的積分之前呢,我們要先把第二段的初始條件找到, 也就是第一段的尾巴,就是t等於10的時候,s等於5t平方, 把它帶進去,就得到s等於500,這個就是我們當作第二段的初始條件。 那第二段是從10秒到60秒,60秒是我們剛剛求出來的, 這個時候速度的函數寫出來了,我們可以做積分, 然後同樣把10跟500,把這個初始條件帶進去,積分出來呢,就得到這個式子, 那這個式子我們把它整理一下,寫成s等於-t平方加上120t減掉600,是時間的函數, 然後我們把t等於60帶進去呢,就可以得到這個時候的s是3000公尺, 這就是我們最後的答案。 好,那最後呢,我們就可以把st圖把它畫出來, 就是也是分段化,第一段是s等於5t平方,然後t等於10的時候,s是500, 那第二段是s等於-t平方加上120t減掉600,然後t等於60的時候呢,s是3000, 然後同樣的,其實我們可以直接求解說,到最後的s是多少, 那它的觀念同樣也是用,就是VT圖下的面積呢, 就會是t等於0到t-brown等於60的時候呢,這整段的位移, 也就是說delta s呢,會是這整個VT圖,它這個面積,這樣就是一個三角形的面積, 它的底呢,就是60,高就會是100,底乘以高除以2就是3000, 就可以馬上的把那個,我們到底的變位量是多少把它算出來, 同樣這個可以當作我們運算的一個,驗算的一個工具。 好,那最後一個例子呢,是說我們有一個機車, 它的VS圖我們已經知道了,我們要算AS圖, 然後也要把它s等於160公尺的時候的時間把它算出來, 那右下角就是VS圖,它也是分兩段,那這個要求解呢, 我們VS圖要求AS圖要用什麼公式呢? 就是用我們現在這個ADAS等於VDV的這個方式來求, 好,所以我們分段來做求解,第一段是0到s等於0到80的時候, V的,是s的函數寫出來,然後ADAS等於VDV我們把它整理一下, 然後因為我們速度已經寫成位置的函數了,s的函數, 所以我們把V跟DVDS把它放在一起,那DVDS呢,就可以直接做運算, 然後就運算出來呢,就會最後變成0.04s加上0.8, 所以A就可以變成s的函數了,那第二段呢,是s等於80到160的時候, 這個時候速度是20,同樣我們在這個運算,我們發現DVDS就會是0了, 所以A就是0,好,那這兩段呢,AS圖就可以把它畫出來, 因為剛剛我們求到的這兩段公式就可以算出來了, 好,再來我們要求時間,我們現在已經有VS圖了, 然後我們就可以用V等於DS來求說VST的關係, 同樣的我們分段求,第一段是0到80的時候,這個時候呢,速度是0.2s加上4, 然後我們知道V是底S底T嘛,所以底T就會是底S去除以V, 然後V我們因為已經寫成s的函數了,把它寫進來, 所以右邊這個等式,等到右邊呢,全部都是s跟底s的東西, 那我們就可以開始做積分,那做積分就要把初始條件代進去,T等於0的時候s等於0, 然後呢,做積分,積分完就可以得到T是5的ln的4分之0.2s加4, 然後單位是秒,那第二階段呢,也是同樣的, 我們首先要把s等於80的時候代進去剛剛的式子,先把它那個, 這個第一段的尾巴,這個時候T是8.047求出來,當作我們第二段的初始條件, 好,那第二段呢,它的V是20,然後同樣代底T等於底S over V, V是20代進去之後做積分,然後再把剛剛那個初始條件,80的時候時間是8.047秒, 代進去之後,然後我們把它整理一下,寫成T等於S的這個函數,那單位是秒, 然後我們要求160,s是160的時候,它的T呢,就會求出來是10.12秒,這就是我們最後的答案了, 那這個單元呢,我們就是用一些立體來做練習,練習說,如果一旦我們知道, 其中那個加速度,速度,位移或時間,兩者之間的某一個圖形的時候呢, 我們如何用我們剛剛之前學到的一些關係式,用微積分的一些方式, 來求寫另外一個兩個變數的圖形,那以上就是我們這一個單元的介紹。