高中數學_空間向量_空間概念_空間中直線與平面的關係_簡大為

來,各位同學大家好,我們又見面啦! 今天呢,我要跟同學介紹的東西呢,是空間中直線跟平面之間的關係 好,首先呢,我們來看到空間中直線跟平面的關係呢,分成三種 第一個呢,就是直線呢,跟平面它是一個平行的關係 第二個呢,就是直線跟平面呢,它剛好交於一點 第三個呢,就是說呢,這個直線呢,完全會落在這個平面上面 那我們來下面呢,我們就根據這些圖形呢,我們來稍微多瞭解一下 首先第一個呢,我們要介紹的是直線跟平面,它們之間是平行的關係 來,如同這一個點,來,這個圖形上面呢,我們可以看到有一個綠色的平面 然後呢,黃色的部分呢,分別是x軸跟y軸跟z軸 那現在呢,我們有一條橘色的線呢,它目前是跟平面是屬於一個平行的狀況 我們看得出來說呢,這條橘色的線呢,跟綠色的這個平面呢,完全沒有任何的交點 那我們現在把這個圖形旋轉一下 那同學可以看得出來,我們從各種不同的角度來看一下 你看,這條橘色的線呢,是不是完全跟這個綠色的平面都沒有交點呢 所以啦,你只要看到說,這條線跟綠色的平面呢,它沒有交點的話呢 我們就稱作這個線呢,跟平面是一個平行的關係 那接下來呢,我們來介紹一下第二個 第二個呢,就是直線跟平面如果剛好恰交於一點的話呢 它在圖形上會長什麼樣子呢 我們一樣給予一個綠色的平面 那現在呢,我們有一條橘色的線 它穿過了這個綠色的平面,交在一個點上 那黃色的線的部分呢,一樣是我們的x軸、y軸跟z軸 那我們從不同的角度看一下 所以你可以看得出來說呢,這條線呢,只交在平面只有一個點而已,沒有交兩個點 所以這就是第二個關係 一條線呢,跟一個平面呢,它們會出現一個交點 這是第二個 那接下來呢,我們來看一下第三個關係 第三個關係就是說,這條線呢,完全落在這個平面上,可以嗎? 線完全落在這個平面上 來,我們又回到了這個綠色的平面 那現在呢,有一條橘色的線呢,完全落在這個平面上 所以你可以看得出來說呢,這條橘色的線呢 它的每一個點都在這個平面上 所以我們稱作呢,這條直線呢,落於平面上面 那我們一樣把這個圖形做一下旋轉 所以從這個圖形呢,可以看得出來說呢 不管你從哪個角度來看 這一條線呢,沒有一個部分是離開這個平面的 所以呢,這條線呢,是落在綠色的平面上面 那接下來呢,我們要跟大家介紹的是呢 直線它垂直平面的定義 那簡單來說的話呢,這條直線L的話 如果它跟平面1相交於P點 那這個平面呢,如果通過P點的每一條直線 如果剛好都跟L垂直 我們就稱作這條直線L呢,是垂直平面1的 或許同學會覺得這樣子的一個解讀方式呢,不太能夠理解 那接下來呢,我們就透過圖形的方式 讓同學們理解這樣子的定義 來,我們看到這個圖形上面 這個圖形呢,它有一個綠色的平面,一條黃色的線 那現在呢,我想要去定義說 這條黃色的線呢,其實是垂直平面1的 那首先啦,這條黃色的線跟平面1 我們知道嘛,直線跟平面之間三個關係 要嘛不是平行,要嘛就是交於一點嘛 要嘛就是完全怎麼樣,落於這個平面上對不對 那顯然這一個呢,這條直線呢 它跟這個平面呢,是交於一點 那這個點呢,我們稱作N 來,這條直線呢,它是通過N的1點 而且呢,它是座落於平面上 那我們可以看到呢 這兩條直線呢,它們是一個垂直的關係 同學們可以看得出來嗎 那接下來呢,我再畫另外一條線 那另外一條線呢,一樣通過這個N點 那這個N點呢,所產生出來的這條線呢 一樣會跟原本我們想要去討論的那個線 它們是一個垂直的關係 那同樣的,我一定可以畫無限多條通過N點 而且落於平面上面的線對不對 那現在我再幫它補了好幾條 那同學你看,這麼多條的線都通過它們的交點N 那我們從這個角度來看的話 可能有一些你會覺得說 它真的有跟我們要討論的那條線它是垂直的嗎 那我們試著我們把這個圖形呢,旋轉一下 來,同學你們看一下 這個圖形呢,在旋轉之後呢 你可以鎖定某一條線 那你可以看得出來說呢 其實不管你是鎖定哪一條線呢 跟我們要討論的那一條,牽直的線呢 它其實都會有一個90度的關係 那也就是說呢,如果呢 今天我在這個平面上面找到許多的線 通過它們的交點 而且呢,這些線呢 都跟我們要討論的那條線呢 有垂直關係的話呢 我們就稱作這條線呢,垂直平面1 那同學這時候你會思考到一個問題 嗯,我們是不是每次去做這個垂直關係的時候 我們都要這麼累 一直要畫出無限多條線去確保說 欸,這麼多條線都垂直這條直線 所以才叫這個平面呢,跟這個直線垂直呢 其實呢,不用這麼累 對於我們來講呢 我們有一個簡易的方式來判斷 這個直線到底有沒有跟平面垂直 其實,我們只需要找兩條直線 在這個平面上面 然後呢,通過它的交點 如果呢,這兩條直線呢 可以跟這條線呢,它們是垂直關係的話 那我們就可以稱作這條線呢,垂直平面1了 同學這樣瞭解了嗎 好,那我們來問題思考一下好不好 我們判斷呢,下面的敘述呢 哪一些是正確,哪一些是錯誤的 來,第一個問題 平面1呢,如果有相異的兩條線 來,現在是,注意喔 重點是,平面上面有相異的兩條線 則呢,它一定會有公垂線嗎 思考一下 我相信很多人都會覺得應該是對的吧 但是呢,其實這一題呢,答案是錯的 為什麼呢 因為其實呢,相異兩條直線呢 一定會有公垂線的話 其實只有空間纔有 那這個問題呢,其實是很多學生都會遇到的問題 所以呢,我們在這個地方呢,我們再多做討論 首先呢,我會分四個部分討論 首先第一個部分是,平面中呢 兩個直線相交的部分 第二個呢,跟第三跟第四個 我們就開始從空間中討論了 那空間呢,我們會討論兩條直線相交 兩條直線平行,跟兩條直線歪斜 它們是不是都會有公垂線呢 那我們來看一下,平面中呢 兩個直線相交的部分好不好 來,這裡有一個平面 綠色呢,是我們要討論的兩條線 這兩條線呢,看起來是有一個垂直關係的 但是呢,我們現在是找任何一條線 通過它們 那現在呢,這一條線呢 我把它稍微做一個旋轉的部分,好不好 那你們可以看一下 當這條線呢,在旋轉的時候呢 當它轉到某一個角度 如果它垂直的其中某一條線 則它一定不會垂直另外一條 如果呢,它垂直了另外一條線的話呢 你一定會發現說,它不可能同時垂直兩個嘛,對不對 那所以呢,在平面上面,我們其實真的沒有辦法找到呢 同時可以垂直兩條線的公垂線 但是啊,我們在空間中,這就不一樣了哦 來,空間中有什麼差別呢 空間中,除了X軸跟Y軸之外 我們就多了Z軸嘛,對不對 所以你可以看到這個圖形上面 這個圖形呢 它黃色的部分,兩條線嘛 就是我們要討論的 綠色的部分呢,是我們的平面 那所以這兩條線呢,所 共同的平面是綠色的 而這個橘色的線呢 它從上面往下 通過它們兩個焦點,對不對 那同學有沒有看得出來 這條橘色的線呢,跟這兩條黃色的線呢 它們都是垂直的關係 所以呢,即使呢,這兩條線呢 它們是相交的 但是隻要在空間中呢,我們就可以找到它的公垂線 那再來我們討論一下,空間中如果兩個直線平行的話呢 它們會不會有公垂線 來,這裡一樣 這裡呢,有兩條直線是黃色的 那一樣我給予一個平面,讓大家比較好做分別 來,這兩條直線呢,它是一個平行的關係 那現在呢,我要找一條公垂線,對不對 那公垂線要怎麼找會比較好呢 首先第一個嘛 它一定要垂直上面那條黃色的線 也要同時垂直下面那條黃色的線 那聰明的同學,你有發現嗎 其實呢,我們只要畫一條線過去 如果這條線呢,垂直上面的話 它就通過下面的時候呢 它也會垂直下面,因為它們兩個是平行的關係嘛 對不對 所以呢,這條公垂線的話呢 就被我們找到了 同學,你也有找到嗎 那其實這條公垂線呢,它有無限多條 你只要把它左邊平移呢 右邊平移呢,你會發現說 公垂線呢,是可以被你無限多找到的 好,那我們把這個圖形旋轉一下 你就可以看得出來說,這兩條黃色的線呢 它們都怎麼樣,是平行 但是呢,這條藍色的線呢 同時垂直這兩個 所以這條藍色的線呢,我們就稱作它是 它們兩個的公垂線 來,最後一個部分,就是兩條直線歪斜的時候 歪斜線的話呢,基本上就是 我們同學最常思考錯誤的地方 怎麼說呢 來,從這個圖形上面來看 橘色的線呢,跟黃色的線,它們是一個歪斜線 那這時候我們要找它的公垂線啦 所以這個公垂線我們不好找 但是呢,其實我們還是找得到好不好 那這條直線呢,藍色的部分呢 它就同時垂直了我們橘色的線 也同時垂直了我們黃色的線 所以這條線呢,我們把它 可以看出是它們的公垂線 我們把這個圖形旋轉一下好不好 那你可以看得出來,不管從哪一個角度來看的話呢 這條藍色的線呢,都會垂直橘色的線 而這條藍色的線呢,也一定都會垂直黃色的線 所以呢,我們就找到了這條 黃色跟橘色它們歪斜線呢,之間的公垂線了 同學,你們自己也找到了嗎 但是歪斜線有一個問題就是說 它們的公垂線呢,只有唯一一條 跟剛剛平行線不太同 剛剛平行線的時候我們可以找到無限多條 但是歪斜線呢,我們只找到了一條 好,再來我們來思考第二個問題 來第二個問題呢,就是說空間中有兩條相異直線 如果它們不平行的話呢,是不是一定就會相交 來注意一下,目前呢我們現在從平面的關係跳脫到空間的關係 所以你會發現說,我們以前在學平面的時候 兩條相異直線呢,它不平行就一定會相交,這是一個對的 但是在空間中,一樣會對嗎 好,思考一下 那對於這個問題的話呢,答案當然是錯的 為什麼呢,因為空間中呢,你會有歪斜的問題 我們來看一下這個圖形 你可以看到說呢,這個圖形呢 它上面那條橘色的線跟下面這條黃色的線呢 它們之間的關係是一個歪斜的關係 它們兩個之間有相交嗎 有平行嗎,沒有對不對 所以在空間中呢 兩條直線呢,如果它們不相交也不平行的話呢 其實它們還有一個關係叫做歪斜 好,那我們來看最後一個問題 來,空間中呢,如果有兩個相異的直線 L1跟L2 如果它都跟平行,跟平面一平行的話呢 則呢,這兩條直線呢,就會平行 這一定會對嗎 想一下 來,這個問題呢,其實還是錯的喔,好不好 那為什麼會錯呢,因為它們之間有可能會相交啊 這問題呢,相較於前面兩個問題,稍微簡單了一些 來,各位同學,我們來看一下畫面上 這裡有一個綠色的平面 再來呢,我給同學一條橘色的線 我們可以從這個畫面上可以看得出來說 這條橘色的線呢,跟平面呢,是一個平行的關係 那接下來呢,我給第二條線 這一條線呢,它跟平面呢,也是一個平行的關係 那同學,你們可以發現說呢 當這兩條線擺在一起的時候 雖然說這兩條線呢,都跟平面是一個平行的關係 但是呢,這兩條線有一定平行嗎 沒有吧,畫面中呢,很明顯的可以看得出來說 它們兩條線呢,是一個相交於一點的狀況 那我們把這個畫面旋轉一下 那同學,你可以看得出來說呢 確實這兩條線呢,跟平面完全沒有任何的交點 但是呢,它們兩個,卻是交於一個點上 所以呢,剛剛那個敘述呢,是一個錯誤的 來,最後呢,我們把整個課程回顧一下 我們前面一二三呢,代表的是說呢 直線跟平面的關係 那我們直線跟平面的關係有哪些呢 第一個,就是直線跟平面它是一個平行的 這裡有一個平面,直線跟它平行,沒有交點 那第二個呢,就是直線呢,跟什麼 平面剛好交於一點,也就是說有一個平面 直線穿過去之後,它們交在一個點上 那第三個呢,第三個關係就是說呢 這個直線呢,完全座落在這個平面上 所以平面上面呢,有一條直線完全座落在上面 這是第三個關係 最後面呢,我們講到的是直線垂直平面的定義對不對 直線垂直平面的定義,只要找到兩條線 跟你原本要討論的那條線垂直的話 這個平面呢,就會垂直那條線了 那希望呢,今天講的課程呢 對同學們未來都很有幫助 那也期待呢,下次我們可以再教同學更多的觀念 好