高中數學_極限與函數(數學乙)_收斂數列的四則運算_曾政清

各位同學大家好,歡迎來到數學學習天地,我是建國高中曾振欽老師,今天要上的課程內容是選修數學以 極限與函數,單元內容是收斂數列的四則運算,我們在上一節課裡面曾經談到有關收斂的定義, 我想大家都可以透過直觀的觀念去了解什麼樣的數列它是一個收斂數列,什麼樣的數列是 發散數列,我們也找了一些例子來跟各位做說明,接下來我們要看一下收斂數列的四則運算是怎麼樣來思考的, 接下來我們看今天的內容,好,接下來我們要介紹收斂數列的運算性值,如果an跟bn都是收斂數列的話, 而且它們兩個的極限值,limit n 趨近無窮大的an是alpha,limit n 趨近無窮大的bn是beta,那麼我們可以得到什麼結果呢? 它們兩個的數列,an加減bn,就會等於是limit n 趨近無窮大的an加減limit n 趨近無窮大的bn, 就會得到它們兩個的極限值alpha加減beta這個值,好,同樣道理,如果它們兩個相乘,也會同樣得到這樣的結果, 也就是limit n 趨近無窮大的an去乘上bn,會得到limit n 趨近無窮大的an去乘上limit n 趨近無窮大的bn, 會得到alpha乘上beta,第三個,如果bn皆不為零,而且beta也不等於零,那麼limit n 趨近無窮大的bn分之an, 這一個性值會得到是limit n 趨近無窮大的an去除以limit n 趨近無窮大的bn, 會得到等於beta分之alpha,因為alpha、beta分別是這兩個數列的極限值, 我相信這三個其實大家都可以瞭解,只是它的證明都必須等到各位到大學以後再加以相關的學習, 我們在高中部分只提出相關的性值再加以說明,第四個的部分是limit n 趨近無窮大c乘上an, 會把c提出去,因為c這時候是一個常數,我們就可以寫成limit n 趨近無窮大的an,這時候就可以變成c乘上alpha, 好,接下來我們來做三題的立體演練,跟隨曾老師的腳步其實它並不是很難的, 我們這三個題目分別是第一題an等於2減n分之10, 第二題an等於1加上括號-1的n次方,第三個an等於6的n次方分之4的n次方加2的n次方, 好,各位可以看出來要求這個極限值就是n趨近無窮大,那我們來看一下第一題怎麼做說明,很簡單, n趨近無窮大的時候因為2減掉n分之10,這個n分之10因為n趨近無窮大, 所以無窮大分之10就是接近0這個值,也就是說limit n趨近無窮大等於n分之10, 剛剛也講過可以把2減n分之這兩個數列分開了,原來一個數列an會變成2減掉n分之10, 等於是2這個數列去減掉n分之10這個數列,等於它們兩個的極限值相減,我想大家就可以清楚, 那因此我們就可以得到limit n趨近無窮大的2去減掉limit n趨近無窮大的n分之10, 那n分之10就是0了,接近0了,所以答案就是2減掉0,也就是2,是不是很容易瞭解呢? 那接下來我們看第二題,第二題其實有一點困難,因為它是an等於1加上括號-1的n次方, 那這個解其實是這樣,0,2,0,2,換句話說,如果你代n等於1的話, 奇數的時候這兩個值,也就是1加-1會變成相反數會得到是0,那如果是偶數的時候就會得到是2, 因此我們就可以得到這個性質,0,2,0,2,那由於這個極限值它必須唯一的, 這邊我必須強調,因為極限值如果有兩個是不可能的,因為我們在定義裡面就講到它趨近某個定數, 是唯一的一個定數,這邊我要特別強調,如果它是有0,2,0,2這樣的情況,它是一個發散數列, 所以它的極限值當然是不存在,同學要特別注意到,極限值只能唯一的存在,好,第三個, an等於6的n次方分之4的n次方加2的n次方,這種我們又稱為指數型的求極限, 那這個指數型求極限一個很特別的方法是,必須把6的n次方分別去除以分子的4的n次方加2的n次方, 因此我們就可以把原來的an寫成下面兩個數列,哪兩個呢? 一個是limit n趨近無雄大6的n次方分之4的n次方,還有另外一個是6的n次方分之2的n次方,我們看一下, 那因為6分之4的n次方就可以化簡成3分之2的n次方,我們根據和的性質可以得到這樣的性質, 再加上limit n趨近無雄大6分之2的括號n次方,就得到3分之1的n次方,那由於3分之2一直乘, 乘到最後呢,其實呢,這個是一個等比,等比的數列,那等比的數列到最後,越乘會越小, 3分之2越乘越小,平方也會變成9分之4,立方也會變成27分之8,越來越接近0, 所以因此,第一個limit n趨近無雄大3分之2的n次方就會就是0,第二個limit n趨近無雄大3分之1的n次方也是0, 因為3分之1一直乘會得到9分之1,27分之1,然後81分之1,越來越小,越來越接近0, 所以最後我們就可以得到an的limit n趨近無雄大的值,最後就得到是0的值,各位是不是很容易呢? 我們相信各位在求得這些數列極限之後,就可以掌握他們的四則運算,接下來我們來看最後的說明, 各位同學在經歷剛剛數列收斂的一些四則運算性質的說明以後呢,我們再統整如下,是數列an跟bn都是收斂數列, 而且limit n趨近無雄大的an等於alpha,limit n趨近無雄大的bn等於beta,這時候c為常數, 如果第一個我們可以看出來它的an加bn,an減bn,c乘an跟an乘bn都是收斂數列, 而且它的極限值分別會如下說明,limit n趨近無雄大的an加bn會得到是兩個數列極限值的和, 也就會得到是alpha加beta,同樣道理limit n趨近無雄大的an減bn會得到兩個數列極限值相減, 就得到alpha減beta,第三個是limit n趨近無雄大c乘上an,這個c值呢,因為後面的數列limit n趨近無雄大的an是收斂的, 所以c可以提出去,最後就會得到c乘上limit n趨近無雄大的an的極限值alpha,最後得到c乘alpha, 那麼如果是兩個數列相乘的極限值,就會等於兩個極限相乘了,那換句話說, limit n趨近無雄大的an乘bn,就會得到limit n趨近無雄大的an乘上limitbn,n趨近無雄大alpha乘beta, 好,掌握了這四個以後,我們再看最後,如果收斂數列的四個運算性值都具有這樣的條件,那麼它們的相除也是收斂數列, 換句話說,而且bn這時候注意了,它不等於0,beta也不等於0,所以換句話說,an除以bn,它也是一個收斂數列, 而且它的極限值n趨近無雄大limit,這個這樣的一個an除bn的數列極限,會得到是兩個數列的極限的相除, 也就是beta分之alpha,掌握了收斂數列的四則運算,相信各位對未來極限的求法有所幫助, 我希望各位能夠掌握相關的運算性質,對希望微積分對各位來講是有所注意的,我們今天的課程內容到這邊。