高中數學_極限與函數_函數的極限(六)_歐志昌

各位同學大家好,我們要介紹的單元是極限與函數。 那麼在前一個單元,我們已經透過函數的極限 可以用來判斷這個函數呢是否連續,而且我們可以透過不用畫圖的方式 按照三個條件直接決定這個函數在某些位置是否連續。 那我們判斷完函數有連續的特性之後,我們可以用來做什麼使用呢? 在這個部分,我們將介紹一個很重要的定理,叫做中間值定理。 它是我們利用函數的連續特性可以用來解決一些相關問題很重要的方法。 所以首先我們來介紹一下中間值定理,什麼叫中間值定理呢? f它是一個在a,b這個區間有連續的函數,整個區間上都是連續的。 那當然我們現在在這個定理裡面是要求a跟b這兩個位置的函數值並不相同。 那如果說有一個k,這個值呢是介於fa跟fb之間的一個時數, 那當你這個f是連續函數的時候,我就可以保證在a,b這個區間之內 我一定至少可以找到一個c,讓這個c代入函數做計算以後 會等於你剛才所指定的這個k,好,這個就是所謂的中間值定理。 也就是說,你發現k值介於fa跟fb這兩個函數值之間, 那這個k值一定可以透過a,b之間的數來產生。 我們透過圖形來看這件事,假設呢有一個函數圖形長得像這條綠色的曲線, 那我選了一個區間叫a,b,那它對應呢就是fa跟fb這兩個位置。 那根據中間值定理要求啦,fa跟fb不能一樣,所以我畫了以上一下。 那這時候我在fa跟fb中間找了一個k值,它說呢如果你k值介於這兩者之間 一定可以找到a,b之間的數來產生這個k值,所以這時候我就拿k值畫了一條水平線出去。 哦,你這條水平線一出去啊,你有沒有發現它跟那個綠色的線會有三個交點,分別是c1,c2跟c3。 那你看這三個數有沒有都介於a,b之間,所以表示說有c1,c2跟c3這三個數 可以透過f這個函數得到k這個值,這個就是所謂的中間值定理。 要跟各位同學特別強調的是,它說的是至少有一個哦,並不是一定只有一個。 可能像這個題目啊,老師舉的例子就有三個。 好,那你說這個跟連續有什麼關係呢? 我們來看一個如果你的圖形是不連續的,你看現在這個圖呢我刻意地在中間讓它斷掉了。 那我用的相同的方式啊,我把a丟進去了,有個fa,我把b丟進去了,a有個fb,然後我找個k哦,介於fa跟fb之間。 結果你看我水平線出去,糟糕,水平線跟你的函數圖有沒有碰到?完全沒有。 那所以你說至少會有一個c,會讓你的那個值啊,代入函數真的等於k,像我現在所舉的這個圖形你就做不到啦。 所以為什麼這個中間值定理,它要強調是在連續函數上才能使用? 好,所以這件事情要請同學特別留意,想要使用任何一個定理,它的前提條件要在什麼狀況下發生? 那我們介紹完這個中間值定理啊,我們可以拿它來做應用,譬如說,如果我現在把那個k刻意地選成0, 那這樣子的話呢,因為k如果是0,fa跟fb是不是一個比它大一個比它小? 那它們兩個人就是一正一負囉,所以你看老師這個算式所寫的,f of a跟f of b,一正一負乘起來就小於0嘛。 那你k等於0是介於它們之間哦,所以我就可以確定一件事哦,在ab之間我找得到一個c, 那代進去這個f函數之中,會讓f of c會等於k,它的k是0嘛, 那這件事情其實就是有一個c代入f of x等於0當中,會讓它成立, 那這個c不就是這一個f of x等於0的一個根嗎?所以我們就會說它叫做刊根定理。 也就是說,其實我們在求方程式的根,可以利用中間值定理,將k取成一個特例, 它其實就是中間值定理裡面的一個特例。我們來看這個圖,假如呢我把這個函數圖畫成這個樣子, 有沒有發現這個函數圖跟s軸會有三個碰到的地方,那我如何利用刊根定理來講這件事呢? 我就選了一個a單去,它答案是在上面的,選了一個b單去,答案是在下面的,那k我就故意選成0嘛,有沒有? 那這時候呢,你看,k介於f of a跟f of b之間,根據剛才的中間值定理跟我說, 你那條水平線一畫出去,會不會有三個點跟這個函數圖碰到,分別是c1,c2,c3? 那這三個就是圖形跟s軸的交點,也就是我們在方程式裡面所說的嘛, 你至少會有這三個十根,所以這個方法就被我們稱為刊根定理, 你可以找到你根會介於哪些數字之間嘛,這是中間值定理的一個應用。 好,接下來我們可以用中間值定理來證明一些問題, 譬如說你現在看到的題目,f of s是s的5次方加2s三方減了s加2, 它說請你證明一下,我一定找得到一個c落在1,2之間,然後那個c只單一去,答案是20。 這個題目你大概不太容易做一件事情,就是說, 事實上我可不可以在1,2之間真的找一個數,然後代進去是20? 我想這個次方這麼大,你應該不太容易做到,那我可以做什麼樣的處理呢? 首先,我就先去算了,第一個,f of s它是個多項式函數,它在1,2一定是連續的嘛。 那我代了1跟2進去算它的函數值,分別代1的時候是4,你代2的時候是48。 那你題目要說的20有沒有剛好在4跟48之間,完全吻合對不對? 所以這時候利用中間值的這個想法,就是說20落在4到48之間, 那所以我一定可以在1,2之間找到一個c,讓c代進去f之後,答案是20嘛。 所以你這樣寫,你就不用真的去找到那個c在哪裡, 因為它只是要叫你證明存在,它並沒有問你它是多少,這就是一個中間值定理的應用。 那再來我們再來看下一個例子,譬如說我的f of s是s平方加1分之s平方減s加1, 它說你證明一下,在區間0,1之間,有一個數a可以讓我代進去之後等於它自己。 哇,這看起來還蠻特別的,那我要怎麼去證明這件事? 好,首先我們要使用中間值定理是要先確定它是連續的, 好,那你這個f of s它上面的分子跟分母都是透過多項式去組成的嘛。 那本身多項式它就是連續函數,所以在分母的地方它是s平方加1,它也沒有0的問題, 不會產生被挖一個洞的這種現象嘛,所以我們確定這個f of s是連續函數。 請各位同學要特別注意哦,你想要使用中間值定理,一定要在連續函數之下這個條件才能用。 好,所以我先確定它是連續函數了,再來,那你不是說你要讓f of a等於a嗎? 好,這裡我們的設計就是,我另外去取了一個g of s,它是f of s減s。 那當我這樣取的時候呢,我就把我的f of s跟這個x拿來做減法。 好,那我這樣設計的目的就是說,我就可以來看這個g函數, g函數在代0跟1的時候,你給它代進去哦,你得到的答案分別是1跟負2分之1。 那也就是說,在函跟定理的想法裡面,它是中間值定理的一個延伸嘛, 在函跟定理的想法裡面,你看,你代0跟代1,答案是1和負2分之1是一正一負。 那表示說,你一定有某個g of s等於0這個方式的答案是介於0到1之間的。 那隻要你的答案是介於0到1之間,就表示說,你這個a是落在0到1之間嘛, 可以讓這個g of s等於0發生嘛。 那g of s等於0的意思就是f of s減s等於0,換句話說就是f of a會等於a嘛。 所以這個地方,我們在設計g of s的時候,是把你想證明的f of s等於x呢 進行了移項,讓它變成是一個方程式的形態,透過了函跟定理來加以證明。 這是一個比較不太一樣的處理手法,我們介紹完連續函數的應用,主要是在講中間值定理。 那中間值定理的話,你要使用它一定要在連續函數的條件之下。 第二個部分是說,如果我們將中間值定理取k值為0當作一個特例, 我們可以將它應用在多項式的方程式求根這件事情上。 那這是我們在這個單元所介紹的主要概念。