Lec39 微積分(一) 第八章　Further Applications of Integration

這弧長怎麼算? 這公式怎麼算? 這個非常簡單的想法 只要你掌握住我們以前講這個積分的概念 就很容易想了,也很容易做 假設我給一個函數y等於f of x 我要算這個弧長從a到b,x從a到x等於b的這個弧長 這個弧長怎麼算? 那個想法是這樣 我就把它分割得很細,跟算面積一樣 我分割得很細,我現在這一段是很細啦 但是因為要畫圖,畫給你看當然要畫出一個一定的大小 非常細,然後這個對角線的東西,把這兩點連起來 我就當成我這一小片的ds 你現在把這個弧,也是在這個水平方向把它n等份 每一個等份對上去,因為你如果分得很細的話 你就可以把這兩點連起來的線段,當成是弧長的一個逼近 所以這個東西我叫ds,我把這些所有的ds都加起來 就是整個弧長,所以這個弧長假設是s 公式就這樣,我就把這個ds加起來 積分是相加的五號,我把它加起來 另外一個觀點就是說,微分跟積分當然相消 所以你就得到s等於s這個等號 所以弧長的公式就是這樣 你把小小的這個ds這一段把它加起來 每一個這種ds把它加起來 這是完全符合我們前面講的積分的精神 但是這弧號你看怎麼代啊? 怎麼跟原先的這個東西這樣算? 怎麼換算?我們來看一下 我把它擴大一下這個ds 這b1就是dx,就是你切割的n等份 那這一片當然是dy,也就是這一塊 這是dx,這是dy 好,我再提醒你一下 這個公式的理解它有兩個角度理解它 第一個角度就是說 我是把小小的這個線段長相加嘛 連續相加,就得到弧長 第二個解釋就是說 你這兩個本來就互為反應算嘛 所以這個其實就很等式,就s等於s 所以很容易去理解它 因為這兩個會消掉 微分、積分消掉,這公式是這樣 那這個ds,你把它換成dx跟dy 就是畢氏定理,它就是畢氏定理 所以我把它寫成這樣 那這個東西你如果把它提出來 把dx提出來,它就得到這樣 它是從ag到b 我把dx提出來,你就得到 dx平方提出來,你就得到這樣 所以最後你整理一下 就是說這個弧長公式就這樣 因為dydx就是f' dydx就是f' 這公式寫出來就這樣 當你把dy提出來 你這個公式也可以再多寫一下 你把dy提出來 也就是說我是這樣看 這邊是c,這邊是d 你這樣子還是可以把x看成是y的函數 就是把dy提出來 你就會變成這樣 這時候就是c,從cg到d 這是畢氏定理的兩個邊 那你這時候如果提dy 提dy的意思就是說 我的函數是x等於g of y 我x是等於g of y 所以也就是說弧長 如果你看另外一個方向 它就是這個公式 你看另外一個方向就是這個公式 我們叫你算兩 這個曲線上 從這一點到這一點的弧長 這個第一道題目的意思是說 這是一個圖形 這個圖形從這一點到這一點的弧長 我現在要算arc length 算弧長 我第一題稍微解釋一下 第一題的話 你開平方本來是要取正負 但是你看這兩點都在 x都取正,y也取正的 所以你就取正的那個部分 取正的那個部分 然後根據這弧長的公式 就是根號1加微分的平方 然後積分 那如果你是對x的方向積 就是取1到4 那接下來你就看它的反導數 什麼 啊抱歉啊 我怎麼寫那麼 真糊塗啊 我寫出來寫得太離譜了 對不起 所以這裡就你自己去算了 抱歉抱歉 好謝謝 然後第二題的話 你一微分它是變成這樣 那你把y'平方起來 2ab會產生負二分之一 2ab 這是a減b的平方會變成 a平方減2ab加b平方 可是這裡的2ab是二分之一 那減二分之一 可是這裡有加1 所以你就併起來會變成加二分之一 所以就變成加的平方 所以它變成加的平方 那這個題目它因為是要算 從1這個點到xy這一點的弧長 所以這邊已經用x了 所以裡面你就把它改成t這個弧號 也就把這個x改成t好了 這個是弧號的寫法 就算你這邊寫x也沒關係啦 也還好 好 第三題在寫 你已經現在寫了這個微圈的概念 解決你國小的疑惑 國小老師就告訴你說 圓周長 circumference 是2πr 你現在正正看 假設你現在要教你的弟弟妹妹 告訴他說 我大一微圈現在有教了 那現在算給你看了 所以你就把圓的方程式寫出來 把這個y解出來 然後把y微分 把它平方劃減一下 你可能要用到一點三角代換 我們這邊只是算那個圓的四分之一的弧長 所以你如果代公式的話 這個是 你的y是根號的r平方減x平方 所以你把1加y'的平方劃減一下 得到這個式子 那這個式子要開根號 開根號你就得到這一個 那x是從0積到r 因為你現在算的是這一塊 你現在算的是這一塊 從0到r 那劃減成這個式子 那這是三角函數的最基本的一個代換 所以代換還蠻順利的 你整個劃減出來 裡面既然是常數了 所以環島數非常容易算 整個算出來就2πr 我們今天就講到這