Lec14 微積分(一) 第三章　Differentiation Rules

3.6我們要教的是叫隱含數的微分 所以我們要先介紹什麼是隱含數 隱含數這個問題是從這樣的一個問題出發 也就是說他問的是一個二演一次方程式是不是隱含著一個函數的關係呢? 那這個問題比方說我舉一個例子 就是說我這個方程式是x加y等於1 這是一個方程式 那我們現在要問的問題就是說 這個方程式裡面有沒有藏著 隱藏著一個函數之間的關係 也就是說我要問的是說 比方說y可不可以寫成等於fx 因為我們知道y等於fx是一個函數之間的關係 給一個x我決定一個y 那我這個方程式裡面有沒有含著這樣的關係 就y其實跟x有關 因為這個是一個方程式 兩個位之數一個方程式 所以其實它有一個自由度 也就是說以這個方程式本身它告訴你 給你一個x你可以去解y 解出來的y你是不是可以把它想成它是一個函數 y等於fx 那第一題的答案當然非常清楚 第一題的答案是說 你這個方程式有沒有含著一個函數的關係 你把它這樣子一解 y等於1-x 那這y等於1-x你就把它看成一個函數fx 所以它果然 以第一個例子是很清楚 果然這個方程式裡面是躲著一個函數在裡面 它藏著一個函數 所以第一個例子是很明顯 第二個例子就稍微有點不明顯了 這是一個圓的方程式 那這個圓的方程式裡面對y來講 它是不是含著跟x的一個對應關係 那第三題就更不明顯了 第三題它是一個三次的一個方程式 是三次的一個方程式 那這個方程式的y呢 很顯然是跟x有關 也就是說你給我一個x 我理論上可以解y出來 那解出來 它是不是可以寫成一個函數的關係 y等於fx 那這答案也不大明顯 它是不是 這個方程式裡面是不是隱藏這樣的一個函數 以第二題來講的話 以第二題來講你當然可以講說 我解解看 我一解的話 y等於是正物根號1-x平方 可是這個有點不像是函數的關係 因為你一個x對到兩個y去 但是你把它拆成兩片 它確實是有機會 你把它拆成兩片 把這東西寫成兩片 如果可以這樣寫的話 它是隱藏著這樣的函數關係 可是如果這樣寫的話 一個x對兩個y 它不是那麼算函數的關係 所以這個答案也不是非常明顯 然後第三個例子就更不明顯 因為我們要解三次方程式就更難解 更何況我的方程式可能非常複雜 也就是說我的方程式可能長得 比方說我隨便舉一個例子 如果這個是exponential又有sine 你怎麼去給一個x去解一個y 那就更難解 所以這個問題變成說 也不是很容易 給我一個方程式 一般來講給我一個方程式 你這個y是不是藏著一個 fx的函數的關係 那這個答案其實是不容易 答案是不容易 那完整的答案你要到 大二的時候寫高等回積分 寫高等回積分 當你寫這個隱函數定理 到大二寫高等回積分寫隱函數定理 寫這個隱函數定理的話 你才會知道一個完整的答案 不過roughly speaking 就是說粗略的來講 它大概是這樣 就是說絕大部分的x 如果你局部上來看 它真的是含x的關係 含一個函數的關係 這個高等回積分裡面是告訴你說 除了少數的點之外 其他點的局部的附近 這個答案是肯定的 它確實藏著一個函數的關係 那在這裡我們當然沒辦法多手著墨 所以在這一本 我們目前初尾的能力上面 我們其實都假設告訴你說 就把它當成有啦 其實它是有一個 背後有一個完整的理論在支持 可是你就假設當成有 所以這裡我簡單先介紹 先這樣講一下 就是說我們就假設 目前在初尾這個地方 我們就假設有啦 它確實是有一個函數 那這個函數因為是不明顯 這個例子解出來又怪怪 因為它有兩個 那其他的例子就更難解 更難解 所以因為你很難把y解成x的樣子 所以我們通常就講成說 它背後就隱藏著一個函數 就叫implicit function 這隱函數它這裡就是implicit 方程式裡面局部上來講 對大部分的點來看 它都隱藏著一個函數 所以我們做這個假設 不過這個部分就算你 如果不是很清楚不要太擔心 這個真的要比較瞭解 其實要到大二的高位裡面 你只要知道說 答案是果然是局部上是 大部分的點是含著 這函數的關係就可以了 所以我們就回來看這個例子 我們回來看一個例子 好 我們來看這樣的一個問題 我們現在就利用這個問題 要來介紹這個隱函數的微分 我們這一節的title叫做 implicit differentiation 就隱函數的微分 換句話說它的意思就是說 這個方程式裡面其實隱含著函數 隱含著函數 那我怎麼做微分 因為它的樣子 不是一定可以解得出來 那我怎麼做它的微分 換句話說你看這個式子 給一個x你可以解y 所以它確實有對應的關係 而且我們剛才講說 其實這個局部上來看 對應的關係對大部分的點來講 都是果然是隱藏著函數的關係 那這個其實是比較技術 比較難的部分 我們先跳過去 大二的時候會看 但是現在我們就假設 它是有這樣函數的關係 也就是說我們現在是想成 這個y其實是隱藏著一個f of x 隱藏著一個f of x y其實是等於f of x 我有隱藏著一個函數的關係 大部分的方程式 你可以解得出來 那是偶然 大部分方程式是解不出來 解不出來 那解不出來怎麼微分呢 這是我們今天要寫的 所以有一個函數 隱含在方程式裡面 那你怎麼做微分 怎麼找dy dx 這是我們今天要學的 我們先來看一下 怎麼找dy dx 其實方法很簡單 就是說你直接微分 直接對方程式微分 逐項微分 所以隱含數的微分 它的意思就是說 給你一個方程式 這方程式隱含著函數 那我怎麼做微分 我就逐項微分就好了 那我可能用到一些微分的法則 我用這些微分法則 可能包括chain rule 可能包括product rule 可能包括quotient rule that's it 我們來看一下 以這個題目 我逐項微分 我對第一項 我對x微分 我第一項對x微分 微出來當然就2x 這沒有問題 2x 那我第二項 第二項 我是把它想成 它裡面隱含著一個 函數f的關係 我現在要微分 這時候你在這個例子 你可能要用chain rule 所以你心裡先想想看 我還沒有給出答案之前 你先想想看 我這個項 也就是說 這一個項 對x做微分 我利用chain rule 我應該寫出什麼樣子 我看底下有同學這樣逼 這完全對 你就會得到 以這一個來看 就2y乘下來 然後再乘上什麼 dy dx 也就是說這一項的微分 這一項的微分 是等於 你要把這個東西看成u 好像把這個東西看成u u平方對u的微分是2u 現在u就是y 然後du dx 現在u是y 所以dy dx 所以這個東西就chain rule 我用到chain rule 就這個地方 是2y dy dx 等於常數的微分是0 所以等於0 那由這裡 你就得到 dy dx 其實是等於負的 y在樓下 x在樓上 你就等於這樣 那這就是你要的答案 你圍出來其實像這樣 那比方說 我要算這個 算這個圓過三四這一點的 切線方程式 第二個問題是 我圓過三四這一點的 切線方程式 那我們知道 y對x的微分就代表 切線斜立 所以切線斜立 切線斜立是dy dx 它作用在 三四這一點 作用在三四這一點的 切線斜立 那x是3 y是4 負號 所以呢 這個切線斜立就 負的四分之三 那你要算到切線方程式 現在斜立已經算出來了 一個點也出來了 所以你就代點斜四 所以切線方程式呢 切線方程式就是 y減掉4 乘上 等於負的四分之三 這是斜立 乘上x減三 這是它的切線方程式 好 我再提醒你一下 這整個微分的過程就叫做 隱含數的微分 所以其實想法很簡單 你就對方程式直接微分 但是 你要知道你是對什麼微分 你現在是用x當成獨立變數 把y想成一個 被動的變數 也就是說 這個y跟x是想成一個 函數的關係 那我逐項微分 我可能用到一些微分的法則 所以以這個例子 它是用到嵌入 我就得到這樣 好 第一題還有這個例子 還有這個例子 x對y的微分 因為這種觀點是相對的 你給我一個x 你解可以解y 你可以問 y能不能 x跟y裡面有沒有 隱藏一個x的函數關係 相對的 你也可以問說 x裡面有沒有隱藏著一個 y的一個函數的關係 這是相對的 因為這個沒有誰 一定要當成獨立變數 因為這是方程式 所以我們也可以問 這個x裡面 有沒有藏著一個 y的一個g函數 有沒有這樣的關係 也可以這樣問 這時候 你這樣問 你是把y當成獨立變數 就是給我一個y 我可以把x解出來 給我一個y 我把它解 我問這樣的一個問題 所以 我們也可以算dxdy 算法也是一樣 所以你算dxdy 你怎麼算 這時候 你是對 也是逐項微分 可是你的獨立變數 是想成y x是想成 它跟y有關係的一個函數 所以 這個 你如果要求 dxdy 你就這樣算 也是一樣 對方程式直接微分 那現在x裡面 含著g 含著gy的一個關係 所以呢 我要用嵌入 我就得到兩倍的 兩倍的x 乘上 dxdy 跟剛才一樣的嵌入方式 加上 那現在y是獨立變數 所以你對y直接微分 y的平方對y直接微分 就是2y 然後常數對y的微分 也是0 所以你就得到 dxdy 是等於 負的x分之y 好 所以對方程式來講 x或者y 哪一個要當成獨立變數 你是可以選擇的 其實沒有任何的偏好 你就看他問題是怎麼問 如果他要叫你這樣算 他的意思是 就把x當成獨立變數 如果叫你這樣算這個 你就是把y當成獨立變數 好 我們來算第二個例子 這第二個例子 就讓你自己先練習 好 你先練習算算看 這個題目當然你要用到的是嵌入 也要用到product rule 所以 算算看 這個時候dydx是多少 我們來看一下 以第二題來講的話 我覺得反正也是逐項微分 但是我心目中知道 我是x對x微分 把x當成獨立變數 所以 x三次方對x的微分 就3x平方 那現在這個y呢 你要把它想成是 裡面 隱藏著一個函數 f or x 所以 做這個微分你要用嵌入 所以 y三 y的三次方對x微分是 三的y平方乘上dydx 我用y'表示 那這個東西 右邊這一項你要先用product rule做 你要把它想成它是 兩個函數相乘 所以 你第一個 函數把它想成6x好了 第二個函數想成y 那6x對x y對x微分就是6 6乘y 加上 6x現在不要動 你對y y對x的微分 就是dydx 就這邊就y' 然後接下來你就把y'解出來 把它解出來 那這種題目都一樣 所以你現在只要心目中想像 你要知道說 我的獨立變數是什麼 我裡面哪一個是我的隱藏性的函數 在這裡的話是把y想成 它隱藏著一個x的函數在裡面 所以這種符號都這樣 所以你就直接微分 sin的微分是cos 可是你要嵌入 也就是說你要把這個叫成u 把這整個叫成u sin u的微分就是cos u 然後dudx u現在是等於x加y 所以dudx x的微分是1 y的微分就是y' 然後右邊這個 先把它想成這兩個函數相乘 這兩個函數相乘 那y裡面隱藏著一個x的東西 x的函數在裡面 所以你要嵌入 y'的微分就是2y y' 那cos x不要動 你就變成這樣 那第二次是 d向不要動 所以y'不要動 你微cos cos微分是負的sin 所以你就得到這樣 again你就解y' 你把它解出來 那這裡我都是算dydx啦 你當然也可以問 dxdy也可以 那道理都一樣 只要你會算dydx 理論上你要會算dxdy 這個例子是說 假設我這個f是 一對一函數 它就有緩函數 它有緩函數 那我要問的是說 這個緩函數呢 微分之後 把它作用在5 這個值是多少 這個符號的意思就是說 f這個緩函數呢 你把它微分之後 把它作用在5 上面去 那得到的答案是多少 如果我給你上述的消息 如果我知道這個函數呢 是一對一函數 而且把4代到5 而且我知道這個函數 微分出來之後 作用在4 是等於三分之二 那請問一下這個是多少 我知道這個算這個 算算看 那我給你的hint 就是這緩函數的定義 緩函數的定義是這樣 換句話說 你把這個方程式 做隱函數的微分看看 你把它看成方程式 這橫等式嘛 你兩邊對x做微分 然後你看這個得到 答案是什麼 試著算算看 好 第四題的話 你就利用這個是 緩函數的定義 那你就直接 做隱函數的微分 那現在這裡的符號 看起來有點討厭 寫一個f inverse 你好像覺得 好像很麻煩 你就心目中 把它想成這個f inverse 就記好了 把它想成另外一個函數 那我們知道這是嵌入 這就是嵌入的第二種型態 你怎麼做合成函數的微分 f合成g微分 是f' 就是f對x微分之後 再把x用g of x代 然後再乘上g'x 你現在就把這個東西 想成是g嘛 如果你多一個f inverse 你看起來很討厭 那這個 我接下來寫的這個式子 這個式子 就是這一個式子 那x對x的微分 當然是1 x對x的微分當然是1 所以你就得到一個 這邊就是一個 inverse function的微分 就是反函數的微分 所以 那這個題目要求什麼 反函數的微分之後 把它作用在5 所以呢 你現在x用5代 x用5代 那你發現它給的information 剛好就可以把它解出來 因為 f是把4送到5 inverse function是把5送回到4 而且4 這一點的微分值也知道 它三分之二 所以你就把它代出來 好 接下來我們要介紹 反三角函數的微分 這個 這個負一這裡不是除法 那個負一 它是反三角函數的符號 是這一個符號的意思 反三角函數 這裡的 這個是反三角函數的符號 它不是1除以f 不是1除以f 是反函數的符號 所以我這邊的負一都是 反三角函數 那反三角函數的微分 微分的藤次號是這個 這個當然 你要刻意記 其實有點痛苦 不過你用久了 慢慢你就記住了 那一開始 當然我不強調 也不希望說你刻意要記 其實自己倒 大概30秒鐘 可以算得出來 你倒了幾次 用了幾次 你大概就記住了 當然一開始 你要刻意去強記這個 會造成很多的負擔 這樣也不必要 所以你要知道它怎麼算 它其實怎麼算 大概很快可以 自己倒一下 很快可以算出來 待會我會告訴你 不過這裡我強調一下 就是說 在這裡 這個當x是負的時候 它是在第三項線 我那時候在講 反三角函數的時候 有特別提醒你說 這個secant跟cosecant 如果是負的話 它是角度是取在哪裡 我那時候特別強調說 這個寫法沒有一致性 每本書的寫法不一樣 我們這本書 把它寫在第三項線 原因就出在這 它微分的形式 會比較漂亮一點 待會你會看得到 我看第一個 第一個 第一個是這個函數 y是arcsin 那這個意思 當然就是sin y等於x 是sin y等於x 那現在呢 你就用隱函數的微分來做就好 用隱函數的微分 我就直接對這個方程式 然後把這個方程式 對x做微分 所以你第一步驟怎麼樣 你第一步驟把它變回到 你比較熟悉的sin 先把反三角那個負一 這個inverse去掉 利用定義 這是sin y等於x 你就發現你的 反函數不見了 接下來就你用 隱函數的微分 你就直接對這方程式微分 不過你要知道 現在y是隱藏著函數 x的一個函數 所以這裡的 這裡你sin的微分 當然就cos 可是因為y是隱含著x 所以你帶前路 所以就y' 這y'就dydx x的微分 1 所以你就得到 y'等於 1 over cos y 那這邊這個圖是什麼 你把這個圖畫一下 y是它的角度 sin是這樣子 斜邊是1 對邊是x 這是x除以1 所以畫出來的圖是這樣 所以cos cos是這樣 這個鄰邊就是 √1-x² 因為 你反三角函數的sin的y 正的在第一象限 負的在第四象限 負的在第四象 所以這個角度 這個y是在第一象限 或者第四象限 因此 它的x座標都是正的 這個是正的 你這邊不需要括弧 這是反三角函數 起回去的角y 是在第一象限第四象限 我們雖然都畫銳角 可是這個角其實這個y 它是屬於第一象限 也有可能屬於第四象限 但是不論屬於1或4 x座標都正的 所以cos y 就是 這一個在分母 這一個在分子 所以這樣倒過來 這是下課中嗎 這是我們下課中 我們這一節課過得這麼快 我還沒講完 所以這個y算出來就是這樣 第三個同樣的道理算 你用同樣的方法算 所以我大概就不算了 基本上都同樣 或者利用這個橫等式 你或許看過這個橫等式 對任何一個x 這個橫等式都對 arcsin加上arccos 加起來是90度 所以你如果對這個方程式 直接微分 它們就等於0 所以這為什麼 這兩個差一個符號的原因 這兩個合起來 要等於0 這是這個符號的意思 arcsin 這兩個合起來 你也可以這樣證 或者直接用定義 也可以得到這個 不過這就為什麼 我把它列出來 這邊是正的 這邊是負的 抱歉我這裡寫 應該沒有根號 改一下 這邊應該沒有根號 這邊是正的 這邊是負的 也是一個常數的關係 這邊正的 這邊負的 因為它這個都是 兩個相對的關係 我沒有時間做這個 本來我有規劃要講這arc tangent 可是都依照定義 很快可以算 其實唯一tricky的地方是在這裡 唯一有點小陷阱的是 這個公式的導法 那這個公式的導法 如果你不是把它放在第三象限 可是像你高中講的那個象限 這邊答案要寫絕對值 這比較麻煩 這公式弄起來比較麻煩 那個我們看一下 這樣的一個結果 我們看一下這個結果 這個方法都一樣 都先依照定義 把它變成 沒有反三角的東西 然後我用隱含數的 微分直接為 sec的微分就是sec tangent 然後因為 y隱含著函數 所以我要嵌入帶一個y' x的微分是1 所以我就得到y' 等於這樣子 sec y tangent y 那這個也是這樣 我們把它畫一下圖 y還是它的角度 可是sec是cos的 cos的那個 微分 sec是 cos的導數 所以這個反而變成斜邊 這個是 但是你這樣寫 會有點問題 也就是說如果你這樣寫的話 萬一x是負的怎麼辦 斜邊是不能換負的 兩邊的話 它代表的是x軸跟y x座標跟y座標 所以這兩邊可以是負的 可是斜邊都是維持的是長度 所以它都維持是正的 所以這個 是在第一項線的角 可以這樣畫 第一項線的角可以這樣畫 你把x當成斜邊 這時候因為在第一項線x就正了 也就是說x是正的 y是在第一項線 x如果是負的 你要把它 變一個負號它纔能夠當成斜邊 這時候y是在 第三項線 因為我們的起法 第三項線 在第三項線x座標是負的 剛好也是負一 所以這兩個match起來剛好是一樣 剛好是一樣 第三項線的 第一項線的y座標 是正的 這樣寫沒有問題 第三項線的y座標 是負的 所以這個題目你要這樣寫 第三項線的y座標是負的 你現在把這個關係帶回去 帶回去這 你就會得到這個式子 你要分情形討論 第一種情況是x是正的時候 x是正的時候你角度在 第一項線 x是負的時候角度在 第三項線你斜邊要這樣子畫 那這一個邊 是x座標 這個邊是y座標x座標在 第三項線是負的 y座標在第三項線也是負的 帶進來 就是這個式子 剛纔有同學很激進的