易學族 SR_8531 電磁場與電磁波

各位同學,大家好。 電磁場與電磁波這門課呢,這期我給同學們主講。 電磁場與電磁波這門課,對同學們來說呢,應該是一門專業基礎課了。 它呢,關係到同學們今後的學習能否順利地掌握和完成。 因為呢,它的很多的一些理論和一些這個知識啊, 在同學們今後的學習,甚至今後的這個工作當中, 那麼都是非常重要的,都是非常重要的。 我們說這個電磁場與電磁波這門課, 就是說究竟有什麼,學習它究竟有什麼意義。 我們說這門課的重要性, 在這個國家教委提出的電子類工科院校學生說必須掌握的五大知識模塊當中, 其中一個呢,就是指這個電磁場與電磁波,這樣一個知識模塊。 當然除了這個以外,還有比如說計算機,信號與系統,電路分析,對吧,等等。 那麼又是可以看出來,對於工科學生來說,特別是電類專業的工科學生來說, 那麼電磁場與電磁波呢,是非常重要的一門課,非常重要的一門課。 那麼從我們現在來看,比如說從IT業吧, 那麼IT業它所涉及到的幾乎可以說是所有的領域都和電磁場與電磁波有關。 舉個例子,通信,對不對,現在通信。 我們說現在通信的這個媒體或者載體的話,實際上就是電磁場與電磁波, 不管是有線的還是無線的,對不對,它靠什麼通信,就是靠電磁場與電磁波,對吧。 那麼當然了,這是在古代,不說了,古代通信這個東西就是說用人來傳遞,對吧。 那麼現在我們知道這個網絡信息時代,那麼這些信息的傳遞這個都是靠電磁場與電磁波。 那麼作為我們工科,電類工科學生或者說今後要從事IT業的這樣一個學生來說的話, 那麼對於這個電磁場與電磁波它的一些基本的理論知識, 那麼做一個瞭解應該說是非常必要的,應該說是非常必要的。 那麼我們在這個電磁場和電磁波當中涉及到的有關的一些理論知識, 我們在後面這門課當中將會一一的加以討論。 那麼我現在這個地方還要說明一點,就是說因為這門課它是一個專業基礎課, 那麼它需要一些相關的知識作為前提, 比如說我們的高等數學,還有大學物理當中的電磁場這一部分。 那麼在今後的學習當中,同學們也會碰到這個問題, 比如說一個公式推導,或者說一個公式老師在用的時候, 那麼我可能就說一帶而過,這是數學當中的, 那麼同學們這個數學學過了, 那麼很顯然這些知識應該是要從裡面掌握的, 那麼但是可能要忘記,我說這也沒關係, 那麼所以說你們在學這門課的時候, 回去一定要把你們高等數學的有關的書,還有大學物理有關的書找出來。 那麼在我們這門課當中,比如說如果要用到那些內容了, 比如說我忘了,那麼沒關係,再去翻翻書, 那麼這樣就可以不至於影響到我們這門課本身的一些學習, 這是我們在學的時候要注意的一些問題。 因為可能有同學可能從不同的渠道也知道了, 也就是說這門課是比較難學的,理論也很多, 公式,特別是公式也很多, 而且好像就是說光把公式記住了,那個題還不一定會做。 我說這個當然有這種情況,但是我們說並不是不能解決, 那麼就是說只要同學們在學習的過程中勤快一點, 不懂的,那麼我要去查書,去看書, 能夠有問題,那麼能夠盡量地提出來,能夠解決。 這是最好的,千萬不要就是說因為一個知識點不懂, 那麼後面的就不管它了, 那麼這樣可能這門課你最後可能學完了, 也不知道這門課講了什麼東西, 這是同學在學的時候要注意的問題。 另外,就是說在我們這門課當中, 我們這門課總共安排的學士數是48個學士, 那麼涉及到的內容還是比較多的, 那麼總體說有這麼三個部分, 第一部分是電磁場理論部分, 那麼它主要介紹一些有關電磁場的一些基本的理論, 一些基本的理論,對不對? 包括這個麥克水方程,波動方程,對不對? 邊界調節,以及這個波的傳播和反射的一些這個知識, 這是第一部分。 那麼第二部分和第三部分實際上是一個應用了。 那麼第五章和第六章,就是說這個傳輸線, 它實際上是包括了波導和傳輸線這兩個問題, 那不管是波導也好,傳輸線也好, 實際上它都是一種引導電磁波的裝置,對不對? 那麼比如說我們現在有很多了, 這個所有的這個有線的這個通信,對不對? 不管是用電纜,對不對? 用光纖,對不對? 還是是那個微波裡面的一些這個波導, 那麼我們通通地把它稱為傳輸線, 也就是說它是一種引導電磁波的裝置, 就是說我把這個電磁波的能量或者說信號從一個地方, 那麼引導到我需要的這個地方去,這是第二部分。 那麼第三部分呢就是這個天線, 就是第七章。 天線呢我說它實際上是一種發射或者接收電磁波的這種裝置。 那麼在這一章當中呢我們會介紹這個, 因為無線通信它就非要涉及到這個東西, 對吧?非要涉及到這個東西。 也就是說對於發射來說, 那麼它的末端就是天線。 那麼對於接收來說的話, 接收這個信號來說它的始端就是這個天線。 那麼對於這個天線這一部分呢, 我們會簡單地介紹一些就是說根據電磁場的理論, 那麼得到這個天線的這個基本的工作的這個基本原理, 對不對?那麼還會介紹一些簡單的天線, 比如說我們的摺合天線,板波天線, 還有這個影像天線,對數週期天線, 這是我們常見的一些簡單的天線, 它的這個基本工作原理呢, 它的這個電參數啊,對吧? 也就是說, 就是介紹一個天線怎麼樣是描述這樣一個天線, 對吧? 比如說我根據這個某一個某一項用途, 那麼我要去設計或者是去選購天線, 那麼從什麼樣的指標來選這個電參數進行這個選擇, 那麼這樣呢, 我們簡單地介紹它的一些電參數, 整個的這個內容呢, 大概就是這麼從七章吧, 那麼在這個七章當中的其中的這個第一章呢, 是我們的一個數學的基本知識, 也就是我們這門課要用到的一些數學的基本知識, 那麼這些東西呢, 嗯, 可能有的同那個同學們的在高等數學當中呢, 已經涉及到了這方面內容, 但是可能呢, 在那個當中的就是說, 嗯, 要求的程度不一樣, 那麼我們在這呢, 在第一章當中呢, 就是說, 嗯, 再把它進行歸納總結, 對吧, 歸納總結, 也就是說有的地方呢, 我們需要這個, 嗯, 加深, 嗯, 他的這個理解, 加深他的理解, 嗯, 這個是也是我們這門課用到的數學, 在第一章呢, 嗯, 進行討論, 好, 嗯, 那麼下面呢, 我們就這個看一看第一章, 嗯, 第一章我們的題目呢, 叫場論分析, 實際上也就是我們的電磁波, 對吧, 電場和磁場, 那麼它歸根結底呢, 嗯, 就是一個場, 對不對, 一個場, 那麼什麼叫做場, 對不對, 我們說對於場, 從數學的這個角度來, 嗯, 討論它, 對不對, 我不管你是電場也好, 磁場也好, 嗯, 對不對, 或者甚至是這個, 嗯, 速度場也好, 什麼什麼力, 重力場也好, 對不對, 我從不從物理這個性質上去討論, 從數學的這個角度來看, 就是說把這些, 嗯, 場它具有的一種共同的特性, 把它這個提出來, 把它提出來, 那麼這樣呢, 嗯, 我們就這個便於, 嗯, 掌握和應用它的這個場, 討論這個場當中的, 嗯, 一些這個基本的一些性質, 基本性質, 那麼我們先看這個最簡單的, 標量場, 我們說場呢, 我們把它可以把它封為標量場, 實量場, 還有這個甚至是張量場, 對不對, 那麼我們呢, 實際上呢, 在這一章當中呢, 實際上就只涉及到這個, 嗯, 標量場和實量場, 標量實量場, 那麼什麼叫做標量場, 對不對, 我們先給它一個定義, 先給它一個定義, 那也就是說, 所謂標量場呢, 就是指在空間, 嗯, 某一個區域, 定義了一個標量函數, 注意是標量函數, 那麼這個標量函數呢, 它呢, 你說這個標量它的大小啊, 它會隨著你空間坐標的變化而變化, 你說, 嗯, 不同間空間不同的點, 那麼這個標量值呢, 跟不一樣, 那麼有的時候呢, 它還可以呢, 隨著時間, 嗯, 而發生改變, 對不對, 那麼我們呢, 就稱為空間這一部分區域呢, 存在一個標量場, 呦, 存在一個標量場, 比如說, 嗯, 我們的溫度場, 對不對, 我們整個這個, 嗯, 空間的這個溫度分佈, 嗯, 不同的點, 那麼它的溫度呢, 不一樣, 對不對, 嗯, 而且呢, 不同的時間, 同一點, 它的溫度呢, 也不一樣, 那麼就可以說, 就把這個, 嗯, 空間呢, 這一部分呢, 我們就可以認為它存在著一個溫度場, 存在著一個溫度場, 另外呢, 嗯, 因為溫度, 它只有大小, 對不對, 沒有方向, 只有大小, 所以說呢, 它是標量場, 那另外呢, 還有這個視察, 包括我們的重力視察, 還有這個靜電視察, 對不對, 那麼這個呢, 嗯, 它都是這個標量場, 這是關於標量場的定義, 那麼在這個標量場當中呢, 嗯, 還有第二個問題, 就是說等質面, 等質面, 嗯, 我們定義這個等質面的目的是什麼呢, 我們後面呢, 嗯, 會詳細地討論, 那麼先看一下, 什麼叫做等質面, 那所謂等質面呢, 就是指在這個標量場中啊, 我把這個量值相等的點, 所構成的面, 把它叫做等質面, 比如說, 嗯, 在這個空間, 嗯, 溫度相等的點, 對不對, 溫度相等的點, 那麼它構成的這樣一個面, 我們呢, 就把它叫做等溫面, 對不對, 那麼比如說在重力視察當中, 那麼重力是能相等的點, 我們把它叫做一個等式面, 對不對, 叫做等式面, 比如說同學們, 比如說同學們的桌面, 對不對, 在你整個這個桌面, 這個平面上面, 那麼我們的重力是能都是一樣的, 那麼這個面呢, 我們就叫做等式面, 但是那是等式面的一個定義, 等式面定義, 好, 那麼, 對於這個標量場, 我們究竟要討論它什麼, 我們對它感興趣的問題是什麼, 當然, 嗯, 首先我要應該知道這個標量場, 對吧, 我就希望把這個標量函數, 它隨著空間, 隨著時間, 究竟怎麼變化, 這個函數關係, 我要把它找出來, 對不對, 要把它找出來, 這個是前提, 對不對, 如果這個你都不知道, 那麼你可以說你對這個標量場就沒有認可瞭解, 那麼就是說在知道了這個標量函數, 你說在知道了這個標量場分佈的前提之下, 那麼我們還對另一個問題感興趣, 對什麼問題感興趣, 就是說就是說這個等值面, 剛才我們定義的這個等值面, 它隨空間的變化情況是怎麼樣的, 我們對這個問題感興趣, 那為什麼呢, 就實際上啊, 很多物理現象, 就是發生在不同的等值面之間, 我舉個例子, 比如說我們的重力做工, 同學們可以知道, 如果一個物體, 它在一個市面上運動, 那麼這個時候重力是不做工的, 比如說啊, 你同學們, 你們現在拿到你們手上的這個一支筆, 對不對, 那麼這支筆在你們的桌面上, 不管怎麼運動, 那麼這個時候, 重力對你手上的這支筆是肯定不做工的, 但是呢, 你如果把你的這支筆丟在地上, 那麼也就是說, 你的桌面是一個等式面, 地面呢, 是另一個等式面, 那麼當這個物體, 就當你的這支筆, 在兩個不同的等值面上運動的時候, 那麼這個時候, 重力就不做工了, 重力就做工了, 對不對, 那麼就是可以看出來, 這個等值面, 兩個不同的等值面, 之間會發生一個物理現象, 那麼另外在氣象上面也有, 就是說, 往往就是說, 很多這個, 比如說, 它的這個大氣的流動, 它就和這個等紋面有關, 在不同的等紋面之間, 會存在著一些大氣的流動啊, 大氣的運動啊, 對不對, 那麼也是發生在, 不同的等紋面之間的, 所以說為此呢, 我們呢就希望, 討論這個標量場, 它的這個等式面, 究竟隨著空間的變化是什麼樣, 空間變化什麼樣, 那麼下面呢, 為了討論這些變化呢, 我們給一個定義, 這個定義呢, 叫做方向性導速, 它定義是什麼呢, 就是說等值面, 剛才我們說的定義那個等值面, 沿著某一個方向, L0的變化率, 就稱為該標量場, 沿L0方向的方向性導速, 方向性導速, 那麼當然, 這個是個定義了, 這樣字面讀起來, 可能一下子會感覺到呢, 比較抽象, 好, 那麼下面呢, 我們來看一個例子, 看一個例子, 那麼這個圖呢, 是這樣的, 那麼這個曲線呢, 假設呢, 它是, 這是一座山, 我簡單地畫一個山, 那麼這個山呢, 現在有三個人, 一個呢, 是甲一, 第一個甲一, 這個呢, 這是第二個, 這個是第三個人, 那麼第一個人呢, 就從這一邊呢, 從山腳呢, 就是爬山, 爬到山底, 好, 那麼現在這個, 整個這個山的周圍呀, 它的這個溫度分佈是什麼樣的呢, 就是說在山底, 它的這個溫度呢, 是比如說是30攝氏度, 好, 那麼到了中央呢, 就是20攝氏度, 那麼在越往上面走呢, 溫度越低, 那麼這個呢, 10攝氏度, 那麼到了山頂呢, 這個溫度呢, 那麼就是隻有零攝氏度了, 好, 那麼第一個登山者呢, 就是說他從這一邊呢, 爬上去, 那麼從這一邊這個山爬上去, 它的這個山腳到這個山頂的這個路程呢, 是我們假設是100米, 是100米, 那麼現在呢, 第二個登山者呢, 他從這一邊往上面走, 從這邊上面走, 那麼這邊上面走呢, 假設這一段的距離呢, 就從這一邊上去呢, 它的距離呢, 是200米, 就是從山腳到山頂, 它的距離呢, 是200米, 那麼現在呢, 還有第三個人, 第三個人呢, 他呢就更簡單了, 他坐了支撐飛機, 就從這個山底呢, 直接的坐支撐飛機呢, 就到了這個山頂了, 那麼這個山的高度, 這是80米, 好了, 那麼現在這三個人, 他們到了山頂以後啊, 他們就要得到一個結論, 就得到一個什麼結論呢, 就第一個人呢, 他就說, 我在山底的時候, 溫度是30度, 到了山頂呢, 溫度呢, 變成零度, 而我走的距離呢, 是100米, 走的距離是100米, 好, 他一算, 他說, 我這樣呢, 我這個每米啊, 這個溫度的變化, 好, 他就可以算出來了, 對不對, 零度減去這個30度, 然後呢, 用100來除, 那麼就等於什麼呢, 就等於這個, 就等於這個負的, 負的這個十分之三, 負的十分之三, 好, 這是第一個得到的結論, 那麼第二個登山者呢, 他得到的結論呢, 就說, 他同樣的溫度變化, 也是從零度變到30度, 但是呢, 他說, 我走的距離啊, 我走了200米, 那麼因此呢, 我認為呢, 就是說, 這個每米溫度的變化呢, 應該是負的二十分之三, 對不對, 是二十分之三, 那麼第三個人, 他又得到另外一個結論了, 他說, 不對, 你們兩個說的都不對, 呃, 我明明是這個只走了80米, 對不對, 溫度還是從零度變到30度, 那麼他實際上, 他說, 這個是每米的溫度變化數呢, 應該是負的八分之三, 負的八分之三, 那麼從這個例子, 我們就可以看出來哈, 就是說, 在同一個溫度場當中, 那麼他的這個等溫面呢, 沿著不同方向的變化率是不一樣的, 對不對, 不同方向的變化率, 比如說第一個, 那麼你說沿著L1, 就是第一個登山者, 他的這個前進的方向, 這個變化呢, 是負的十分之三, 那麼我們就把這個負的十分之四, 十分之三, 叫做什麼呢, 叫做這個溫度場, 沿著L1這個方向的方向性導數, 那麼同樣的, 這個L2方向的方向性導數呢, 那麼就該是負的二十分之三, 對不對, 二十分之三, 那麼L3這個方向的方向性導數呢, 當然就是負的, 所以說他們三個到山頂得到三個結論, 那麼這三個結論呢, 都是正確的, 只不過呢, 前面呢, 你應該給他加上一個定義, 對不對, 第一個應該是沿著L1方向的, 第二個呢, 是沿著L2方向的, 第三個呢, 是沿著L3方向的, 那麼剛才我們說的這個, 剛才我們說的這個方向性導數, 那麼就這個意思, 方向性導數就這個意思, 就是說沿著某一個方向的變化率, 它的這個等值面的變化率, 那麼就叫做這個標量場呢, 沿著這個該方向的方向性導數, 那麼在一般的情況下, 在一般的情況下, 我們來看一下, 對不對, 剛才我們是從一個實際例子, 現在我們在一般的情況下來看, 就現在呢, 假設一個標量場, 一個標量場, 那麼現在呢, 這是標量場當中的兩個等值面, 對吧, 這個下面這一個, 這是一個等值面, 然後呢, 這個上面這一個呢, 也是一個等值面, 那麼標量場U, 它在M0這一點, 沿著L這個方向的方向性導數, 那麼我們把它定義, 對不對, 或者它的數學表示呢, 我們就這樣表示出來, 那麼我們現在看一下它的含義是什麼呢, 就是說我在這一個M0所在的等值面的附近呢, 再取另外一個等值面, 那麼當然這兩個等值面是靠得非常近的, 比如說剛才我們那個例子啊, 就是從30度變到0度, 對不對, 這變化範圍很大, 那麼我們得到的這個方向性導數, 比如說負的三十分之三, 或者負的二十分之三, 那麼這個都是一個平均值, 那麼現在我要考慮它的這個一個等值面附近的一個微量, 微小變化的話, 那麼也就是我這個時候兩個等值面啊, 我去靠得很近, 對不對, 靠得很近, 那麼也就是說, 第一個等值面, M0, 那麼在這個M0的這個靠得很近的附近呢, 我另外再取一個等值面, 對不對, 另外再取一個等值面, 那麼根據我們方向性導數的定義的話, 就是說沿這個L這個方向的方向性導數, 那麼M是L這個方向, 對不對, 在這個等值面上的一個交點, 那麼它的定義呢就是說, 標量場U在M點的值, 減去標量場U在M0點的值, 然後呢, 除以一個M, M0, 除以這一段距離, 那麼這個機械過程呢, 就是說我要讓這兩個面盡量的靠近, 從而呢能夠得到一個M0附近的一個確切的值, 而不是它的一個平均值, 而不是它的平均值, 這是關於方向性導數它的定義的數學表達式, 數學表達式, 那麼方向性導數討論了以後呢, 我們還要介紹就是說標量場中的一個非常重要的一個物理量, 叫做梯度, 那麼梯度, 什麼叫做梯度, 我們先把這個定義呢來看一看, 然後呢再來解釋, 標量場中M0點的梯度是一個矢量, 就是說先給這個梯度已經有個定義了, 它是一個矢量, 那麼說這個矢量, 一個矢量就是既有大小又有方向, 那麼它的大小是什麼呢, 它的大小就是該點, 哪一點呢, M0這一點, 對吧, 就是該點的最大方向性導數, 該點的最大方向性導數, 我們來看一下什麼意思, 對吧, 剛才我們說了, 就是說還是以這個登山這個例子為例, 那麼這個例子呢我們來看, 剛纔得到三個方向性導數, 沿著L1, 對吧, 也就是說甲這個登山者L1的這個方向性導數, E得到的這個方向性導數, 丙得到這個方向性導數, 那麼這三個方向性導數, 我們說它有一個最大值, 它有一個最大值, 就是說每單位每米溫度變化最大的這個方向, 對不對, 那麼從這個例子看出來呢, 從這個例子看出來, 那麼應該是坐直升飛機上來的這個, 對不對, 坐直升飛機上來的這個最大, 對不對, 那麼也就是說和這個等溫面, 我們因為在這個例子當中, 我們假設這個等溫面是個平面, 和這個等溫面垂直的這個方向上, 它的變化率是最大的, 那麼從我們這個圖一般的情況, 我們也可以看出來, 就是說這個方向性導數最大, 從我們這個式子可以看到, 對不對, 從這個式子可以看到, um減um0, 這個是對兩個等值面而言, 這個是一個確定的值, 對不對, 是確定的值, 那麼這個方向性導數大小的話, 實際上就要看什麼呢, 就要看這個分母, 分母越小, 方向性導數值就越大, 那麼在這兩個面之間, 肯定有一條最短的線, 那麼這條最短的線在哪個地方, 當然就是在這個等值面的法線方向, 對不對, 從我們這個圖可以看出來, 那麼就是在沿著哪個方向呢, 沿著這個等值面的法線方向, n方向, 就是說nm0, nm0是這兩個等值面之間最短的一條線, 那麼如果用最短的這一條線來作為分母的話, 那麼肯定得到的這個方向性導數值就應該越大, 好, 所以說呢, 我們這個地方說了, 就說這個t度啊, 它的大小呢, 就是最大的方向性導數, 而且呢, 這個方向性導數呢, 是過該點的等值面的法線方向, 在這個方向產生的, 對吧, 這個方向產生的, 好, 這是t度的大小, t度的大小, 一句話, t度的大小等於什麼, 那麼就是最大方向性導數, 而且, 也告訴你了, 最大方向性導數會在法線方向, 就是等值面的法線方向產生, 這是第一個, 那麼既然是個矢量, 它就有方向, 方向, 在哪呢, 就是我就把它規定為, 法線方向, 就是說過m0這一點等值面的法線方向, 因為這個時候啊, 我的這個, 呃, 最大方向性導數是在法線方向產生的, 那麼我就把這個t度的方向呢, 就規定為這個等值面的法線方向, 那麼但是有問題, 我說對於一個面來說, 對不對, 對一個面來說, 它的法線方向, 應該有兩個, 對不對, 應該有兩個, 比如說, 我們的xy平面, 最後坐標系啊, 直角坐標系, xy平面, 我說這個z方向, 是這個xy平面的法線方向, 那我說-z方向, 也是這個xy平面的法線方向, 那麼我就僅這個t度的這個方向, 那麼這個法線方向, 去哪個方向呢, 那麼我們這就規定, 明白, 你看後面, 就是說規定, 以等值面增加的方向, 為正法線方向, 等值面增加的方向呢, 為正法線方向, 好, 這是, 呃, 關於這個t度的定義, 對吧, t度的定義, 那麼用這個, 呃, 數學表示呢, 我們就這樣來表示了, 對吧, 因為這個偏u偏n, 這個就是法線方向的方向性導數, 然後呢, 前面加上一個n, 就是法線, 所以說呢, 這就是我們的t度, t度, 那麼它的定義呢, 就是這樣的, 對不對, 就這樣的, 嗯, 那麼在數學上呢, 還有一個符號, 咱們來記它, 那麼就是說, 呃, 叫做u的t度, 這個叫u的t度, 那麼它就等於什麼呢, 等於, 偏u偏n, 就是說法線方向的方向性導數, 方向呢, 就是在法線方向, 方向就是在法線方向, 好, 這個呢, 就是我們, 呃, 關於這個t度的定義, 關於t度的定義, 那麼第三個問題呢, 我們來看一下這個, 關於這個t度和方向性導數的關係, t度和方向性導數的, 呃, 為了簡單呢, 我現在假設兩個等值面, 一個等值面呢, 是等量值呢, 是u, 另一個等值面的量值呢, 是u加delta u, 假設呢, 它們都是平面, 對吧, 為了討論簡單, 假設它們都是平面, 那麼我們先來看一下, 就是說, 沿著這個L方向, 沿著L方向的方向性導數, 那麼根據我們的定義呢, 那麼就該等於這兩個等值面量值之差, 那麼u加delta u減去u, 那麼就該等於delta u, 然後呢, 再除以L方向的m, m0, 對不對, m, m0, 那麼m, m0也就是說, 我們現在看這個三角形, 看這個三角形, 就是n, m0, 和m, 這個三角形, 那麼這個三角形呢, 我們看一下, 呃, 這個, 呃, n, m0n, 就是說, m0n除以cosθ, 也就是說, 這一條直角邊, 除以這個角度的餘旋, 那麼正好呢, 就應該等於這一條邊, 正好等於這一條邊, 所以說呢, m0m可以等於m0n除以cosθ, 除以cosθ, 那麼, 現在把它翻上來, 對不對, 接著又等cosθ拿過來, 好, 現在呢, 呃, 同學們注意一下, 就是說, 這個啊, cosθ, cosθ呢, 它實際上是什麼呢, 它實際上是n這個方向, 就是說是這個面的髮線方向, n和我說討論的剛才這個L, 這兩個方向之間的夾角, 那麼這兩個方向n和L呢, 我都把它看成是單位始量, 那麼在數學上我們講過, 就是說兩個單位始量n點成L, 兩個單位始量的點成等於什麼呢, 就等於這兩個始量之間夾角的餘旋, 所以說這個cosθ可以把它表示為n點成L, n點成L, 好了, 那麼現在我們來看前面, 就是說Δu除以m0n, 那麼這個正好是什麼呢, 這個正好就是在繩上一個n, 這個正好就是我們的t度, 因為什麼呢, 因為Δu除以m0n, 對不對, m0n是在髮線方向了, 是在髮線方向了, 對吧, 那麼在這個就是髮線方向的方向性導數, 它是最大的, 然後呢在繩上一個髮線, 比如說髮線方向的單位始量n, 那麼這個正好就是什麼呢, 這個正好就是我們的前面說的t度, 好, 可以表示為t度點成dL, 那這個說明什麼呢, 就說明沿著L這個方向的方向性導數等於什麼呢, 就等於t度在該方向的投影, 就是沿著這個L, 剛才我們說, 剛才這個地方不說了嗎, 偏u偏L, 這個就是L方向的方向性導數, 它就等於什麼, 就等於t度沿著L方向的投影, 或者就是說t度和這個方向做點測, 對吧, 做點測, 這是關於這個t度方向性導數的定義, t度的定義, 以及t度和方向性導數的關係, 方向導數的關係, 那麼下面我們來看一下這個t度的計算, 怎麼樣的計算一個t度, 那麼可能有同學說, 就是這個t度啊, 你剛纔不是定義已經給出來了嗎, 對吧, 最大方向的方向性導數它的大小, 然後再乘上一個法線方向, 我說這個當然你可以按照這個定義來做的話, 當然可以, 但是這個呢, 如果每一個問題都要這樣討論的話, 就是顯得很麻煩, 但是我們下面呢, 就希望得到一個什麼, 得到一個公式, 就是說, 當我的這個標量函數u, 知道了, 那麼我就可以直接帶這個公式呢, 把這個t度呢, 計算出來, 那麼我們下面講的呢, 就是說, 有個條件是指在直角坐標系, 指在直角坐標系, 那麼在直角坐標系當中呢, 我們說, 就剛纔得到t度和方向性導數的這個關係, 那麼我們說這個, 標量函u, 沿著直角坐標系的三個方向, 也就是說x方向, y方向, z方向, 這三個方向的方向性導數, 那麼分別呢, 就應該等於t度在x方向的投影, 對吧, 等於t度在y方向的投影, 等於t度在z方向的投影, 對不對, 在沿x方向的方向性導數, y方向的方向性導數, z方向的方向性導數, 那麼就該等於相應的t度在這三個方向的投影, 在這三個方向的投影, 好, 那麼既然, 既然我們現在要求的什麼呢, 我們現在要求的是這個t度, 對吧, 要求的這個t度, 但是呢, 我們現在已經知道了, 這個t度在x方向的投影呢, 就是等於在x方向的方向性導數, t度在y方向的投影呢, 當然就等於y方向的方向性導數, t度在z方向的投影, 等於z方向的方向性導數, 那麼咱們看一下, 由這個式子是不是馬上就可以得到什麼呢, 就是說可以得到t度的x分量, 就應該是等於偏右偏x, t度的y分量就等於偏右偏y, t度的z分量呢, 當然就該等於偏右偏z, 對吧, 該等於偏右偏, 所以說呢, 那麼我們就得到這個式子, 對不對, t度, 它還是這個矢量, 有三個分量, x分量, y分量和z分量, 那麼我們把它做一下, 對不對, 把u提出來, 就可以顯這個式子, 然後呢, 我們把這個括號裡面的這一部分, 這個符號, 這一份符號, 用一個三角形, 倒著的三角形, 那麼我們把它叫做什麼呢, 叫做哈米爾登算子, 也叫做Dell算符, 那麼其中的這個Dell算符呢, 等於什麼呢, 就是等於這樣一個符號, 那麼把它叫做哈米爾登算子, 這個哈米爾登算子, 它有個特點, 它叫什麼呢, 叫做矢量微分算子, 為什麼叫矢量微分算子, 就是說它是一個矢量, 你看它有x分量, 有y分量, 有z分量, 同時呢, 它也是個算符, 是一個微分算符, 它對x球微分, 對y球微分, 對z球微分, 所以說呢, 我們把它叫做什麼呢, 叫做矢量微分算子, 那麼這個矢量微分算子的話, 我們說在後面呢, 會用的相當的多, 都會涉及到它, 那麼至於它的一些運算, 它的一些性質呢, 我們後面呢, 將逐漸地討論它, 好,第五個, 我們來看一下關於t度的性質, 那麼這個地方呢, 實際上我只講一個性質, 這個性質就是我們後面要用到的性質, 那麼這個性質就是說, t度的線積分, 與路徑無關, 對不對, 我們說t度, 是一個矢量, 對不對, 這個是to dare you, 這個矢量, 那麼對於這個矢量, 我就可以對它呢, 做線積分, 大家可以做線積分, 那麼這個線積分的話, 我們說它呢, 是與路徑無關的, 那麼要證明, 這個積分與路徑無關, 在數學上, 我們說, 只要這個倍積函數, 可以表示為某一個函數的權威分, 那麼就可以證明, 這個積分與路徑無關, 那麼在數學上的, 講過的這麼一個定理, 那麼我們下面呢, 就看一下, 這個倍積函數, 是不是與這個倍積函數, 是不是可以化為某一個函數的權威分, 那麼我們來看一下, 因為剛才我們說了, 就是說這個沿著L這個方向的方向性導數, 對不對, 方向性導數, 等於這個t度, 所以今後的t度呢, 我們就用這個dare you來表示了, 對不對, 下面我們就說了, t度就dare you來表示, 等於t度呢, 點乘L, 也就是t度在L方向的方向性導數, 那麼就這個式子呢, 馬上就可以得到, 所以說呢, 這個du, 就該等於什麼呢, 就該等於dare you, 點乘L, dL, 那麼這個L, 正好呢, 是dL這個, 為原的方向, 那麼可以寫成dL, 一個始量為原, 那麼看一下, 這個dL, uDL, 正好是這個北極函數, 那麼它呢, 可以表示為u, 這個函數的全位分, 所以說呢, 我們就證明瞭剛才所說的, 這個問題, 剛才說的這個問題, 就是說, 一個t度, 它的積分, 線積分, 是與路徑無關的, 那麼關於這樣一個定理, 它是還有很多推論, 比如說這個t度, 沿著一個地殼曲線的積分, 為0, 對吧, 那麼這個實際上, 和剛才那個定理呢, 是等價的, 和剛才那個定理是等價的, 好, 呃, 下面呢, 我們來看一下這個, 例子, 來看一下這個例子, 這呢有一個這個, 立體, 有一個立體, 就是說要求這個標量場, 在這一個, 點, 的t度, 以及, 沿著這個矢量的, 方向性導數, 按這個矢量方向導數, 那麼這個立體, 我們可以考慮一下, 對不對, 那麼這個立體, 它的關鍵, 在哪一個地方, 關鍵在哪一個地方, 對不對, 它這個你說你要求t度, 或者求方向導數, 我們是, 是用它的這個定義, 對吧, 是用它的定義, 來直接做嗎, 還是, 呃, 用我們前面得到的, 有關的一些公式, 對不對, 那麼我們說, 在這個題當中啊, 首先, 我們前面講了, 一個最關鍵的, 就是說, t度和方向性導數, 它之間有關係, 就是說, 我只要求出了t度, 那麼在這一, 沿著某一個方向的, 方向性導數呢, 我就可以, 把這個t度, 和這個方向呢, 做點層, 或者說, t度在這個方向的投影, 它的投影, 這是一個, 對不對, 那麼也就是說, 關鍵是要把t度求出來, t度求出來, 那麼求t度怎麼求呢, 誒, 我們剛纔得到了, 在直角坐標系當中, t度的計算公式, 對吧, 我們已經有了, 這個計算公式我們已經有了, 那麼我就直接帶這個公式呢, 就可以把這個, 呃, t度呢, 就可以, 一下子就計算出來, 計算了, 求出了t度, 然後根據t度, 和方向性導數的關係, 就可以把這個方向性導數呢, 就可以求出來, 對吧, 可以求出來, 好, 那麼, 呃, 我們先休息一下, 呃, 下節課呢, 我們再來具體的, 來看一看, 這個漆究竟該怎麼做, 好,