非歐幾何下的妖異宇宙，以及羅巴切夫斯基的巨大三角形

注意看 如果有一群二維智慧生物 它們快樂地生活在一個二維平面中 那麼當我們把它們的世界扭一下 扭成這麼個樣子 它們會知道自己的世界產生了變化嗎 有朋友會說了 既然是二維生物 那麼它們大概率永遠都不會知道 自己的世界產生了變形吧 如果你確實這麼想 那麼你就太小看這些平面生物了 雖然它們對世界的形變沒有直接的感受 但如果它們真的具有智慧 就能通過一些線索來獲知自己的世界 比如它們可以派出一個它們的冒險家 沿着一條直線一直走一直走 如果有一天 它的朋友們驚奇地發現 這小子居然活着回來了 那麼它們就會得到一個邏輯推論 我們的世界其實是一個球面 事實上我們人類也正是這麼幹的 在15世紀的時候 正是因爲有位叫麥子倫的冒險家 朝着一個方向一直走一直走 居然又回到了原點 人類才最終確認 我們的世界是一個球體 而且呢 這位麥子倫同學 還沒有二維生物那麼幸運呢 他半路就死了 只有他的船和他的同事回來了 不過其實無論是二維生物 還是麥子倫同學的冒險 這裏面其實是有一個巨大的邏輯漏洞的 因爲一個人沿着同一個方向走一圈 又回到原點 這並不能確保我們就是在一個球體上啊 也有可能是一個環體啊 比如這樣 我們在環體上繞一個方向 一直走一直走 最終也會回到原點 而且即使我們換一個方向走 也一樣會回到原點 有朋友要說了 哎 你這不對啊 如果一開始就是斜着走呢 那可能就回不來了吧 嗯 如果是斜着走的話 那就是這樣了 你看 照樣也能回到原點 所以我們可以很自信的宣佈 地球其實是一個巨大的甜甜圈 而且太香了 隨時都可能被外星人咬上一口 好吧 至少外星人這一段是有點扯的 在19世紀初 我們的數學王子高斯 也被這個球面還是環面的問題給迷住了 哎 對呀 怎麼才能證明我們的地球並不是一個大甜甜圈呢 要知道那時候還沒有宇宙飛船 人們不可能說 切 我飛到外太空去看一眼不就完了嗎 地球就是藍色的一大坨 所以對於高斯而言就沒有這麼方便 於是乎就只剩下實地測量這一條路了 測什麼呢 測三角形 爲啥要測三角形呢 因爲在當時高斯已經發表了他的關於曲面的一般研究 在這篇論文裏 他給出了空間曲率的著名定義 也就是現在我們所說的高斯曲率 我們來簡單的解釋一下高斯曲率這個概念 就是說在一個曲面上的三角形 它的內角和並不像是在平面上一樣是180度 它可能更小 也可能更大 比如在球面上就是更大 那麼我們把曲面三角形的內角和減去180度 就能得到一個曲面的角銀量 然後再把角銀量除以面積 就得到了高斯曲率 所以如果我們在地球上不同的地方測出的曲率不一樣 那麼地球就是甜甜圈 如果全都一樣 那就是球體 嗯 邏輯上簡直天衣無縫 那結果高斯測出來沒有呢 哎 結果卻是也並軟 因爲以當時的測量水平 無論你測的三角形有多大 對於地球而言都是無窮小 所以高斯測出來的三角形內角和全都是180度 角銀爲零 好嘛 如果按照這麼個測量結果 那我們只能說 還是我們的老祖宗是對的 地球不是什麼球體 也不是什麼甜甜圈 它根本就是個掃筆 它是平的 啊 這 當時高斯有一位俄羅斯的通信好友 那時候的通信好友呢 就相當於現在的微信朋友圈了 這位好友名叫羅巴切夫斯基 他聽到高斯的測量工作後 簡直笑得喘不過氣來 於是寫信給高斯說 我親愛的高斯同學 你測的那些三角形哪裏夠大呀 你還不如找兩顆星星 再加上一個地面觀測點來做測量 這樣你的三角形纔是真正天文級別的三角形 我們現在回過頭來 必須說羅巴切夫斯基的這個想法 絕對是天才級別的 而他後面一系列神仙級別的成就 也確實印證了 他就是一位數學金字塔的頂部成員 在他得知高斯沒有繼續他的三角形測量工作之後呢 他就自己實施了他所構想的測量計劃 不過跟他信中所說的有了一些變化 他只確定了一顆星星 也就是天狼星爲頂點 然後在地面上固定一個觀測點 先測一次星光的入色角 然後過6個月之後 地球已經運行到太陽的另一邊 再測一次星光的入色角 再根據當時已有的天文數據 計算出天狼星與兩次地面測量所構成的三角形頂角 這樣就得出一個天文級別的巨大三角形的三個角 羅巴切夫斯基測算出這三個角的內角和 跟高斯預計的並不一樣 它不是大於180度 而是小於180度 雖然這並不能說明宇宙整體是個什麼形狀 但它確實證明了我們的空間是有變形的 羅巴切夫斯基整個人都震驚了 我們所在的空間居然並不是歐式空間 於是乎後面的事情我們也就知道了 他開創了數學史上的第一類非歐幾何學 也就是現在所說的羅氏幾何 這個發現直接動搖了人類已經沿用千年的幾何學五大公設 因爲第五公設也就是平行線公設 可以直接推導出三角形內角和爲180度 比如這樣 我們在三角形的一個頂點上畫一條底邊的平行線 然後因爲平行線內錯角相等 於是三角形內角和就等於平角 也就是180度 那反過來呢 如果在某個空間裏三角形的內角和並不等於180度的話 那麼就意味着歐幾里德的第五公設就不成立了 這個推論實在是過於驚世駭俗 所以羅巴切夫斯基的理論很長時間裏都沒有被普遍接受 只有高斯、黎曼等少數幾個人才知道 一場轟轟烈烈的幾何學革命正在悄悄的醞釀之中 而它呢 將徹底顛覆我們對宇宙和空間的所有直覺 而且它還將在不久的將來 把現代物理學和整個人類科學推向一個前所未有的高峯 好了 今天我們介紹了一下高斯曲律和羅氏空間的緣起時刻 高斯、黎曼和羅巴切夫斯基可以說是相對論的早期開路人 下一期視頻 讓我們繼續放開想象 在那些歪歪扭扭的空間中隨意遨遊 感興趣的朋友 請千萬別忘了點贊加關注 謝謝大家 拜拜