ルジャンドル変換とは何か【熱力学・解析力学での例を使って説明】

はいこんにちはえ今回はルジャンドル変換 についての授業をしていきたいと思います えこのルジャンドル変換ってやつはね物理 をやってるとなんかどうしてもね ちょこちょこ現れてきてしまってえもし 許されるなら見なかったことにしたい そんなね厄介な概念だと思ってる人多いと 思いますえ自分自身もですね大約生の頃 そうでしたなんか熱力学とか解析力学の 勉強をしていてルジャンドル変換が出て くるとま少しねえ罪悪感ありながらねその 賞を飛ばしながら先に進んでましたまそう いうやつだと思うんですよねで自分自身 しっくり来たのもいろんな教科者を読んで ようやくて感じなのでまなかなかですね その最短ルートで歩んでこれなかったなと 思ってますで実際にこのルジャンドル玄関 で困ってる大学生は非常に多そうですねえ コメント欄でもこの授業のねリクエスト たくさん来ますしえ道端でね歩いても大学 生からね後ろでこうやって銃突きつけられ て振り向くなルジャンドル喧嘩の動画を 上げろ分かったら振り向かず前に歩けって 言われたこと何度もありますけどまそれ ぐらいに困ってる人すごく多いと思います え今回はそのルジャンドル変換の気持ちの 話をしていきたいと思いますまどうしてか というとこのルジャンドル変換はですねま 数学的にどこまでしっかり話すかによって その本質は同じなんですけどその式の見た 目がね結構異なっちゃうんですねえ記号と かたくさん出てきてえなので今回そういう 数学的に難しい部分はまなるべく排除して まその理想的なねえちょっと過程の元で 色々話をしていって本質部分のねえ気持ち を掴んでもらえたらなと思いますではやっ ていきたいんですがまずルジャンドル変換 のポイントを3つお話しします はいこの3つですねえ順番にポイント話し ていきますえまずルジャンドル変換の対象 になるのは凸関数と言われる関数です ルジャンドル変換はこの突関数から突関数 への変換になります えこの凸関数の定義ま数式ねしっかり 書こうと思うと少しややこしになって しまうのでえちょっとねえちょっとあの 図形的に話をしたいと思いますえいわゆる 下に凸と言われる凸関数はこんな形のやつ ですねグラフ がはいまこういう風に出っ張ってる形の 関数ね骨関数って言いますがこういう関数 からこういう関数への変換がルジャンドル 変換になりますえそして次にこの関数の 微分を独立変数にするこれがですねすごく 重要になります関数の 微分はい詳しくはこっから話していき ましょうえで最後にこの情報を保存すると え何か関数を変換する時にま情報が落ちて しまっては悲しいですよねま何か物理的な 状況を考えたい時に関数変換しちゃって 元々の情報をね大幅に失って失ってしまい ましたって言ったらねえ変換したくなく なってしまうので大事なポイントとして このルジャンドル変換っていうのは情報を 保存する情報を保存して欲しいということ ですでこの情報を保存というのはどういう ことかと言とえ変換をもう1回したら元に 戻るってことですね元に戻ることが 大事はいえまずねすごく大事なのでこの3 つのポイントを抑えてルジャンドル変換と は何かっていうねえ概要を掴んでください ジャンド変換とは突関数から突関数への 関数の変換であることそして関数のその 関数の微分を独立に独立変数にするような 変換であることえそしてえ関数が元に戻る ような情報を保存するような変換である ことえこれがですねジャンド変換の ポイントになりますえでは実際にですねえ 少し数式を使って説明をしていきましょう え今ここにこんな関数があるとし ますはいFのXとえこのルジャンドル変換 の説明をする時にま1番ねミニマムな1 変数でするかもしくはえすごく一般的に多 変数の場合でねえやるか色々パターンが あるんですけどま1変数の場合でねえ1番 ミニマムに理解したとしても実際に物理で え物理で出てくる状況って結構多変数関数 のルジャンドル変換なんですよねなので そこにギャップを感じて欲しくないのでえ 2変数にしてるというのとそれ以上にして ない理由は数式がややこしくなってしまう からですねえシグマとかがたくさん出てき きてえなんか本質部分にねなかなかえ振り にくいのでえなのでえ今回のジャンド変化 の説明にはえちょうどいい安倍のねえ2 変数関数で話をしていきたいと思いますえ この話はもちろん本質的にはえ1変数の 場合もそれ以上の多変数の場合も同じに なりますえとりあえず2変数でちょっと 理解してみてくださいはいとりあえずです ねこんな関数fxYを考えますで話を簡単 にするために今回この関数fってのはえ 滑らかな関数だと思ってくださいえつまり 微分が可能でその同関数が連続になってる えやつですね実はそうなってない関数にも ルジャンドル変換が考えられるってのはね ルジャンドル変換の偉いところでありえ 物理で使われる理由にもなったりするん ですがえ本質を理解するためにはまずです ねまそういうえちょっといわゆる得意性の あるようなえ特殊な状況は除いてですねえ 滑らかな関数まやりたい時に微分も使っ ちゃうしっって感じでねえものを考えて くださいそしてこんなFXYというのを こんな関数に変換したいというのが ルジャンドル変換 ですはい新しい関数gのpyってやつです ねえ注目して欲しいのはxがPに変わって いますとはいこのPというのが何でもいい わけじゃなくてさっき言った関数の微分を 独立変数にしたいと言ってるのでこれ実は 関数の微分になってるんですねえこれが どう定義されるものかという とはいこのFっていう関数のX変微分をP と置いていますえつまり今から変換したい 変数で元々の関数を変微分したやつを 新しく独立変数にするような変換になっ てるわけですねはいでこの話を聞いた時に まず自分が思ったことそして多くの大学生 も思うであろうことは何かというとこんな 微分したものを独立変数にして変換したい 瞬間なんてねえよって思うんですよねえ その気持ちすごく分かるので今黒板の こっち側でですねすぐに説明するので一旦 ここでは我慢してですねえ続きを聞いてみ てくださいこうやりたい瞬間が物理には たくさん実はありますなので一旦えそのえ 荒ぶってる気持ちを抑えてくださいはいえ ではですね続きの話をしてかなきゃいけ ないんですがじゃあ具体的的にこっから こういう風にどんな式によってまどんなえ 関係によって変換するかという話をし なきゃいけないですねこんななんか適当に 矢印でえやっただけではえ中身については 触れてないのでじゃ実際にどんな数式で 変換していくかというとえ元々の関数fを Gにはこういう式でですね変換します はいこの式ですねまこれをパッと見た瞬間 にねえすぐ分かるでしょなかなかいないん じゃないかなと思うのでえ丁寧に説明して いきますまこっち側はいいですねこの形に 変換したいと言ってので左辺にはこれが来 てますで元々の関数何かちょっと中身が 変わってるんですがこれ何をしてるかと 言うとえXをPとyの形で書くって言っ てるんですねえこれを使って実はそれをし ます今元々の関数とPってのはこの関係式 で結ばれてるんですよねなので実際にこれ 具体的なえ関数fを考えると左辺にPが あって右辺にXとYがあるような式になっ てるはずですよねそれをxについて解き ますそうするとXがPとyの形で表される はずですよねその表された形をxpyと 表してるわけですこれをXについて解いた 結果をこう書いてるもう一大事なんで言い ますがそしてつづきやすいから言いますが この右辺ってXとYで書かれた式になる はずなんですよ具体的に関数fxYを考え たらなのでp=xとyの式になってるん ですけどそれをxについて解いたものそう するとXがPとYで表されるはずなのでえ その解をこういう風に書くと言ってますな のでえこういうことです ねこれを解いたXについて解いたものを こう書くんだと言っていますえそして実は この時に特性が重要になりますどうしてか と言うとこれが1位にこういう風にえ かけるというのは今この関数fxyという のが凸関数Xについてこれ凸であればこう いうことが言えるんですねえ少しこっち側 で説明しますえ今この関数えFをx変微分 したものを縦軸に取る とはいこうなってるわけですねでえ いわゆる下に凸な関数の場合ってのはどう なってるかっていうとこれえ関数fの2回 微分が え0以上になってるこれがですねま滑らか な関数の場合の下に凸の条件ですねえ つまりこれ の関数fの2回微分がこれ0以上になっ てるとということは何が言えるかと言うと えこれが増加関数だっってことですよね だって1回微分したこれを1回微分した ものが0以上ってことはどんどんXが 増えると増えていくな増加関数になってる となのでこういう形になってるわけです ねはいこういう形になってるととするとえ 1つのPつまりこの値がPな時ののXって のが1つに決まるというわけですねそれを 高角と言ってるわけですはいXのpy今Y は固定してるんで定数だと思ってください はいという風に1つに決まるよねとえなの で関数の突性が重要になってきます はい難しいなと思う部分はですねまあ少し なんとなくそうなんだと思って聞き流して もらって構いませんいきなり最初からね 全部を理解しようとしなくてもいいと思い ます今回いろんな話がねえ関わってくるの でとりあえずこの解くって時に一時的に これが書ける上で大事なえ条件というのが え凸であるどってことです ねこう書いてきました土性が鍵を握ってる よということでまこれがえ解けた先の話を しましょうえなのでXがPとYで書ける わけですなので元々の関数fxYのXの ところにそのXをPとYる形をえXをPと Yで書いた形を代入したものを考えること ができますよねその代入したものがこれ ですと言っていますだって今からPとY だけで書きたいんだもんてことですねXの ところにX使いたくないからPとYで書い た式を代入したものですよって言ってます そして引くことのその今解いたXとPを 掛け算したものを取りましょうって言っ てるんですねはいでこの式だけ見ると こんな形の変換物理で見たことねえよって 言いたくなるんですけどこれを簡単に書い た形をめちゃくちゃこれまで見たことが あるはずですえ物理をある程度勉強してれ ばこの形をもっと簡略化したものつまり見 やすくしてるけどかなり分かりにくくなっ てる式をたくさん見てきたはずですえその 式を書いてみましょうこの変数の部分を 全て省略して書くとこうなるんです ねはいG=FXPとこんな形で何か考え てる関数引変数元々の変数とその関数を その編数微分したものの引き算で新しい 関数作るっていう式をですねこれまで実は たくさん見たことがあるはずなんですよね そんなことないよという人のために今から こっち側にですね3つほど物理で現れる この形の式つまりえ本質的に背景が ルジャンドル変換であるものをですねここ にまとめてみましょう 無力になったみたい にでは1つ目の例の話をしましょう今ここ に書いたのが熱力薬の内部エネルギーて やつですねでこの理由は熱力薬をしっかり 勉強してもらえたらなと思うんですがこの 内部エネルギーを資料変数で書いた形そう いう関数が熱力薬のベースになっていき ますえ2つの資料編数ここで書いてますね エントロピーと体積これががですね熱力薬 を考える上でま元となる部分だと思って くださいですごく性質はいいものの実際に 使いやすいかと言うと資料変数ですねえ ちょっと扱いにくいんですよね実験で一定 にするものとかってエントロピーとか体積 ではない場合全然ありますだから今から何 をしたいかと言うと変数を変えたいなと 思うわけです変数を変えたものを考えたい つまりこのエントロピー今回は エントロピーを温度にしてみたいなとなん で温度になってるかと言うと内部 エネルギーをエントロピーこの形の関数の 内部エネルギーをエントロピーで変微分し たものが温度になるからですなので エントロピーから温度を独立変数に取る ようなえ形の関数に変換したいなと思う のって自然ですよねって話ですねさっきは なんかその関数の微分を独立変数にしたい ことなんてねえよって怒りたくなる気持ち ま分かるよという話をしたんですが実は 熱力薬ではめちゃくちゃ自然に出てくるん ですよねこの内部エネルギーを エントロピーで変微分した温度をむしろえ 独立変数にとったまエネルギー的なもの 関数を考えたい瞬間って全然あるわけです なので今からこの内部エネルギーを内部 エネルギーのSをTその変身分のTに独立 変数を変換したものを考えますそして熱力 薬ではその関数のことをFと書いてヘルム ホルスの自由エネルギーと呼んでるんです よねえとりあえずまそのヘルムホルスの 自由エネルギーであるということとか忘れ てこの式そのまま書いてみたいと思います まずはこの変身分のえ式の関係からこれを 解いてあげ てこれを導いてあげればいいんです ねはいエントロピーを温度と体積で書いた 形を求めてあげればいいこっからえちなみ に熱力学の関数熱薬関数ま正確には完全な 熱力熱力薬関数と呼ばれるものこれはです ねえ突関数になっていますえこれはですね 変分原理と言われるものと深く関わってる ことなのでえ気になる人はしっかりと勉強 してみてくださいすごくね熱力学で重要な 考え方になりますえ突性はもあると考えて くださいそして今続き話をすると エントロピーをtとVの関数で書きました なのでこの式を今回のケースに温めると こうなりますよねこうなりますSをTとV で書いた形にしてそして引くことの今やっ たSと新しい特立変数Tの掛け算元々の やつからそれを引いてあげるとこなります でこの形で見ると分かりにくいかもしれ ないけどもこの変数をですね省略した形 めちゃくちゃ見たことがあると思います 省略して書く とはいF=UTSなんですねえ熱力規約 とりあえずタインだけ取ろうと思って 頑張った人ねこの式え必死に暗記した人も 多いと思いますF=uuTSちょっとね よく意味も分からずかもしれませんけども えこの形って実はルジャンドル変換をした ものになってたんですねはいというわけで まこのヘルムホズのジエネルギーが熱力薬 考える上でねえどんな風に分かりやすい かってのは熱力薬の方で勉強してもらうと して今ここでも感覚的に言えそうなのはま 温度を一定にするような環境の実験を考え たい時にめちゃくちゃ便利そうですねだっ て独立編数の1個が止まってるんだからっ て話ですといった具合にですねえさっき 言ってたまルジャンドル変換勉強するで 1番出てくる疑問なんで関数の微分を独立 変数に取るんだってのは熱力学を考えると 確かにそういう時もありそうだと思えたと 思いますえではですねもう1つ熱力学の例 を話すとえよりその気持ちが伝わるのかな と思うのでもう1つ話し ます今ヘルムホースの自エネルギーを作り まし たはいでもこう考えたい時ありますよね今 か熱力学的な実験をしたいんだけども体積 を一定にするのってあまり嬉しくないなっ て時たくさんありますえむしろそのこいつ の体積品微分である圧力を一転する時の方 が多いのになって思う瞬間あるんですね いわゆる実験的に等圧環境と言われるやつ ですこれはまあの我々がね感じてる待機圧 基本的にはほぼ一定なってのでえよく 起こりうるケースですよねなのでこの変数 を変えたいこういう風に はいTとPの関数にしたいでFをそういう 風にルジャンドル変換したものを実はえG と書いて熱力薬ではギブスの10 エネルギーていうんです ねはいえVとPの関係を書いておくとこう ですはいV微分がま正確にはマナのPです ねま別に変数として時にマイナスつけよう がつけないが関係ないのでえ今マイナス ついてても気にしないでくださいこういう 関係式で 結まーる Jの変化の形考えてみたいと思いますやる ことは同じこの式を使っ てまずはこれを解いて あげるはいVをtとPの形で表すそして はいこうですねえ最後微分した形が-Pな のでこれ注意してくださいここに来んのは マナのPですこの形がAFからGへの ルジャンドル変換になってますこの変数を 省略したものがこれになってる とはいG=F+PVですよねこの式も たくさん見たことがある人がえ多いと思い ますヘルムホスのジエネルギーとギブスの ジエネルギーの間の関係と言われるやつ ですね実はこれもルジャンドル変換をした ものでしたといった具合にですねま ルジャンドル変換をするましたいという モチベーションの部分の理由はこの熱力薬 の話をするとねえすごく伝わりやすいのか なと思います個人的にもこういう話を たくさんえ目に触れていってしっくりして いった記憶がありますえそしてですね物理 ではえ解析力学でもルジャンドル変換が 現れるのでえ少しねよりも感覚的には掴み づらいかもしれませんが一応ね目にする ことが多いと思うのでその例もここに書い ていき ましょうはいではもう3つ目の例なので さっきみたいに丁寧に書かずにいきなり 元々の関数と変換後の関数の間の関係を 書いてしまいましたえこれがルジャンドル 変化になってるよって話をしたいと思い ますこれはですね解析力学で現れる ラグランジアンと言われる関数を ハミルトニアンに変換した式になってます なのでこの関数からこの関数の変換になっ てる とじゃあどういう風に独立変数を入れ替え てるかって言とこのQ.Qというのが正純 座標と言われるものでそれを時間身分した ものがP正純運動量と言われるものになっ てるとこういう変換をしてるんですねで こう変えられるこれがまルジャンドル変換 な理由はもちろんえこのPとかQ.が こんな関係式で結ばれてるからですねこの Pというの がはい元々の関数を変換したい変数で変 微分したものになってるかなとこれを見て もらうとまほぼルジャンドル変換今まで 話したえような形になってるのが分かると 思いますが一応ですね符号だけこれ反転し ちゃってるんですねこの関係と反対になっ てますただま別にこの全体を-1倍しよう がルジャンドル変化の本質部分は何も 変わらないのでえよく解析力学ではこっち のですねえ形の符号がこれと反転したもの のルジャンドル変換が採用されますえでも 今とりあえず分かって欲しいのはこのQ. からPへの独立変数の変換ラグランジアン からハミルトニアンの関数の変換ってのが ルジャンドル変換の形になって るってことが分かればですねあ確かにえ 自分が勉強していた物理解析学でも ルジャンドル変化現れていたんだなと 思えるはずです最初に勉強した時にねこの 式を見た時よりももう少しねこれまで話を 聞いてるとよりクリアになったかなと思 ますま見方が変わったかなと思いますはい えではですねえここまでが物理学で現れる 実はルジャンドル変換だった物の例そして ルジャンドル変換をしたいえ モチベーションの話でしたではここから ですね話をしなきゃいけないのが何かと いうとではそもそもなんでこんな形で ルジャンドル変換を定義するのかってこと ですよねもちろんこうするからにはこう するとうまくいく理由がたくさんあるから ですえその話をしていきましょう ではこの変換の式の形が好きになって もらう理由になる1つ逆変化の話をし ましょうはい逆変換え最初に話したのが ルジャンドル変換はしっかりと情報保存 するつまり元に戻るんだよって話をしまし たねえこの1回変換をかましたGがもう 1度ルジャンドル変換をすると元に戻る こと説明しましょう同じ変換で元に戻るの がめちゃくちゃ気持ちいいですよねこの形 好きになっちゃいそうですえではやってみ ましょうえまずこのGPYという関数をP で変微分することを考え ましょうはい今後大事になってくるんで くどいようなので言いますがこれはYを 固定してPで変微分するって意味ですねえ では右辺の形を見ながら変微分考えていき ましょうえまずこのFのこの形をですねP で変微分するんですがえここにPが入っ てんのは今こっちですねこのXの中にPが 入ってますYは固定してるんでこっちが 考えなくていいですXを通してえこれPに 依存してるのでこんな形で合線関数の微分 書ける でしょうはいいいですねこうなりますまず Xで微分してからXをPで変微分する いわゆる合成関数の微分というやつですえ では2項目にいきましょうえ今ここにもP が入ってるのでまずこれの変微分がき ますはいこうですこれ積の微分なのでこれ はそのままでこれのP辺微分が来るので これ1になりますなので単純 にはいこれだけ残るえそしてこの式を見て みる とえっとこれですねこれを見てみるとこ れってPの定義そのものですよね元々の 関数をえY固定でXしたものをPと置こう としたんだからこれがPですと思うと第1 項目とこれ第2項目は完全に符号違いに なってるので打ち消し合いますはいなので 残ってくるの ははい-のxpyという形でしたなのでP 変微分するとえ変換前のこれ変数が出て くるんですね-のxpyとまマイナスが ついた形でえなのでこっから言えることっ てのはGをルジャンドル変換したこの形 右辺から書いていき ますはいあXをこうやって書き ましょうはいこうですねこの右辺ってまP 元々の定義のえ形で書いたバージョンで やったら今回はこうなりますねGPのGの P変微分とこうなりますがこれっていうの は イえっとGマナのこれPとこのGのP辺 微分が-xになったのでこうです ねg+xpと思うとこれはえこのXPを こっち側に移行した形になってるのでそれ は元々の関数にししですよ ねはいというわけでこれルジャンドルの形 になってるの でルジャンドル変化をもう1度かますと 元々の関数に戻ることが確かめられました はいこうすることによって少しはこの式 好きになりましたかなんかこれよくできて ますねめちゃくちゃえ気持ちいいかなと 思いますではですねこの式の形もっと好き になってもらおうと思いますえ今回はね なんと言ってもルジャンドル変換の気持ち なのでえこのね式の形の変換が好きになっ てもらうことがですね気持ちを理解する 大事なのでえこのルジャンドル変換のセス を2つお話しして今回はえ気持ちの話をお ししたいと思いますではセスの1つ目の話 をし ましょうでは性質の2つ目の話をし ましょうまずですねこのGPYという変換 後の関数を変数を変換していない方つまり Yで変微分してみたいと思い ますでまこかけば意図は伝わると思うん ですが今からもう少しですねえややこしく なっていくので何を固定してこの操作をし てるかっていうのは分かりやすくするため にこの記号を用い ますはいよく熱力学でねえ使うようなPを 固定したY変身分ですよってのを めちゃくちゃ分かりやすくここに書いて おきますくいようですけどもこうしておく こと便利なりますえなので今右辺もその ことをやってみましょう イコールまずY変微分なんですがYはこれ 2箇所にあるので両方ともしっかり考える 必要がありますまずはxを通してYにえ 依存してるのでこうです ねはいこれがまずこの第1項目の変微分の 結果になりますえXを通してYに依存えし てるのでこの形でXを止めてY変微分で そしてP止めてこれのY変微分ですよね これがま合成関数の微分です少し ややこしいけどもこういう操作になります こういう風に複雑に依存してるけどもこう いう操作に慣れてくださいそしてこっち側 の依存性の処理をしていきますえこっち側 のことは動かさずにこっち考えるのでX 固定でX固定でY品微分したものですよね これこれが第1項目の変微分の結果ですえ ではこっち側いきますが今P固定してY変 微分してんのでこれ ははい単純にこうなりますよねPはもう これ定数扱いなのでこっちは変微分する 必要ありませんこれをP止めてY変微分し た形だけが残ってくるそうするとえこれも 今までやったよの話似てますがこれっての はんどこだえっとごめまさこっちですねえ んちょっと待ってくださいねえっとあこれ がミスってるんだえっとXで変分ですねえ 今このここのYの処理してんのでXでした ね失礼しまし たすいませんこうですねこっち側のYをえ まず無視してこっち側の処理をしてから こうついてんのでY止めのX微分ですね はい一瞬混乱しましたがすいませんこれが 定義からPになりますよ ねそうするとこれというのは全く大え 123項目と同じで符号違いなのでここ 消えるそうするとこれ残ってくんのが イコールはいこのようになるわけですね これ何が起こってるかと言うとえ変換して いない方の変数で変微分したものもちろん 固定する変数自体はですね変わっています 変換5の変数を固定して変分したいのでP 固定でこっち側では元々のX工程のY品 微分になってますがY品微分自体の値は 変わりませんと言っていますこれってまあ なかなか気持ちいいことが起きていてえ なぜかと言うと少しちょっとねスペース なくなってしまったのでここに具体例書き ますが熱力薬ではよくこういうことが 起こっていたはずです エネルギーをVで変分したものというのは これね知ってる人多いと思うんですがえ マイナスのP圧力になりますねはいこう なりますそしてUをルジャンドル変換した さっき説明したやつです ねUのルジャンドル変換SをVASをTに したものこれがヘルムホルトの自 エネルギーですが触っていない方の変数で 変微分してもこれ実 ははい-のPなるとつまりえ少しあの緩い 言い方をすると触っていない方の変数の変 身分の値が同じになってるとなのでま触っ てない部分のえ形変わってないのと嬉しい ですねここが同じになってることというの がえ気持ちいいセスの1つになりますはい え大事なのは固定する変数自体変わってる んですよこっち側とこっち側これはS固定 の変微分でこれはT固定の変微分なんだ けどもえ形が変わってないえ出てくるもの が同だと言ってるのがこの性質丸1になり ますえでは性質の丸2に行きたいんですが え実はですねこれまでのえ中で話をして ない部分がありますどこかと言うとえGを 逆変換した時がありましたねでもそもそも ルジャンドル変換する時に突性が大事だっ たはずですでもあそこではですねえま半分 あえてそして半分は忘れてたんですけども いうのもえGに特性がないとルジャンドル 変換はそもそもできないですよねえあの特 式の一意がなくなってでも実は ルジャンドル変換というのは突関数にやる とちゃんと突関数になることが示せますえ それの簡単なバージョンの話をして最後に しましょうはいではセスの2つ目いきます 今から示したいのはこの [笑い] 話はいこれを示したいと思います何を言っ てるかと言うと今今回Fはね滑らかな関だ と言ったので これがまさしくですね2回変微分が0以上 ってのはFという関数が突関数であること というのを表してます特に0以上の場合は これ下に凸です ねはい下に凸1回の微分がxの増加と共に どんどん増加してくようなこんな形の グラフのことですね下 につそして元々がこれ下に凸の関数だっ たら変換後のこのGという関数はPに関し てこれ上に凸になってるとという意味をえ 意味になってます0以下というのがこれ上 に立つどんどん1回のえ元々のその考え てる関数の1回のえ微分つまり同関数がx が増えると小さくなってくこういう風な形 をしてるって話をしてますねこれが上に1 つはい今回大事なのは注目して欲しいのは どっちも下であろう上であろうが突関数に なっていることですえこれを示してみ ましょう今からえこれそこにえそこにじゃ ない下にですね証明書いてくんですがえ 今回前提としてこのFは別に何回でも微分 可能だという風にさしてくださいもちろん そうじゃない場合にも考えられるのが ルジャンドル変化の偉いとこであるんです が今回はその偉いけどもややこしい部分に 目はつぶってですねえ大事な部分だけ見せ たいので今Fはえ好きかってですねえこう いう風にもう微分していってしまいますえ ではやっていきましょうえーまずですねP の定義の式これでした [笑い] はいそうですよねで今あえてもうPをxか yとxとyの式ですよってのが分かり やすく書いておきましただってこっちから 出てくるのはxとyの式ですもんねえこの PはですねえXで変微分してみたいと思い ますつまり両辺をx辺 微分はいこうですねま2回変微分になり ますで今回このもう過程からこれが0以上 だということが言えているつまりPのX変 微分というのはこれは0以上だっってます ねえ0以上になってるつまりこれ何を意味 してるかというとPはxについてえ単調増 かららってことですよ ねはいこのことから言えるのが何かという と実はその逆関数である pyえXのpyこれも単調増からと言える はず ですえこれがなぜかというのを少しここで 説明しますね今もうYは固定して考えてる んでえXだけ動くと思ってみて くださいはいえはxについて単調増加なの でまこんな形になってるはずですよとと いうことはえっと今Xのpyってのはこれ の逆関数なわけですよねえつまりPが 決まってXが決まるPが決まってXが 決まるという風に見るんだと言ってます このグラフをでもPがXについてこれ単調 増加だったらXもPについてこれ単調増加 ですよねPが大きくなったらXも大きく なってますよとなのでこれの逆関数である xpyもPについて単調増加だと言える よってですねこれ何が言えるかというとえ さっき使った式を考えますえGのP変 微分はいGのP変微分っていうのはえ少し だけちょっと復習のためにここに書きます ねこれは-のXのpyでし たはいちょっとあのスペースがないんで いきなりもう2回部分の形にしちゃいます がえこれをもう1回Pで変微分してみます Pで変微分してみるそうするとこれのP辺 微分になります ねはいとなるんですが今言えたことはxp yというのはPについてこれ単調増かって 言ってるのでこの1回の微分したもの同 関数というのはこれ0以上になります0 以上のやつにマイナスついてるんでこれは 0 以下はいというわけでしっかりと今回示し たいことGという関数がPについて上に凸 な関数になってることが言えましたという いうことになりますはいというわけでです ね今回はルジャンドル変換の気持ちの話を してみましたえもう1度大事なんで言うん ですが今回は気持ち部分だけですね理解し て欲しいと思ってえよりですね本当は適用 範囲を広げられるえ部分をですねえ無視し て話をしてますただその部分にも物理で 使う理由というのがたくさんまそういった 魅力が詰まってるのでえそういったものも ですね勉強したい人に向けてえ概要欄の方 にえ参考になるテキストをですね載せます のでえそういったものを見てですですねえ 勉強を進めてみてもらえたら嬉しいですと いうわけで今回はですねリクエストの 多かったルジャンドル変換のえ授業をして みましたえまた何かしらねえ授業の リクエストがありましたらコメントに よろしくお願いしますではまた別の授業 動画でお会いしましょう さよなら けこんな声を何個年でもえてな てとかって描き どうしよ 立ち尽くす方が痛いからさ