利用統計學，精確計算二戰德國武器產量，誤差不到10%，同盟國贏得戰爭的最大依仗！

在第二次世界大戰中 德國的裝甲力量大出風頭 戰爭初期 德國坦克36天拿下波蘭 40天滅亡法國 創下了不敗的神話 面對德國人的鋼鐵洪流 英美等國迫切地想要知道一個問題的答案 那就是德國人究竟有多少坦克 早在戰爭初期 英國就發現了一個問題 那就是對德國的產量估計並不準確 受到當時德軍裝甲部隊不可戰勝的神話的影響 英國人的估計非常離譜 根據他們的推測 德國人每個月能夠生產超過1500輛的坦克 總的坦克保有量甚至超過了4萬輛 即使是工業實力雄厚如美國 這個數字也是非常離譜的 1943年 一位美國的專家理查德·拉格爾斯站了出來 他告訴英國人 德國人每個月其實只能生產300輛坦克 而且他是對的 二戰結束後 美軍拿到了德國的戰時生產數據 這些數據和拉格爾斯估計的幾乎完全一致 大概每月只有十幾輛的差距 今天我們就來一起看看拉格爾斯是如何足不出戶就估算出德國人坦克產量準確數字的 獲得納粹經濟活動的數據 尤其是軍事裝備產量這樣敏感的數據 一般有這樣幾種方法 第一種就是根據本國的生產經驗進行推斷 這種方法顯然不夠準確 雖然德國的情報網絡四處漏風 但是英國人也很難搞清楚德國內外到底有多少家工廠正在開工 而且德國工業的生產模式和生產效率和英美企業也有所不同 因此這種方式存在著很大的缺陷 第二種方式就是通過對德軍戰鬥蓄力的觀察 估計德軍的裝備需求 從而得出德軍的裝備生產量 這種方式算是相對準確有效的 但是呢 有一個前提條件 就是準確獲取德軍在各個戰線上的編制和裝備信息 顯然這同樣不太現實 部隊的編制信息雖然不算什麼最高機密 但特定裝備的流向卻很難通過間諜的觀察總結出來 要具體確定一個德國集團軍裡有多少步兵 多少坦克部隊更是一個難題 由此估計出的德軍裝備產量就更不靠譜了 那麼拉格爾斯用的是什麼方法估算德國人坦克產量的呢 在他的這篇題為二戰中經濟情報的實證方法的論文中 我們可以得到答案 1943年拉格爾斯受命前往倫敦加入了CIA的前身戰略情報局 在戰情局的倫敦辦公室 他和同事們的工作就是研究德國人的工業產出 尤其是軍事武器裝備的製造 拉格爾斯的第一個工作就是研究德國人的輪胎產量 在他抵達倫敦的時候 一些英國的情報專家已經協同美國大使館經濟站處收集了2000多個德國輪胎的樣本 這些輪胎有的來自於不列顛之戰中在英國上空被擊落的德國飛機 有的則是在北非戰役時從德國人的後勤補給站中繳獲的 英國人發現這些輪胎雖然來源不同 製造商也不一樣 但嚴謹的德國人給每個輪胎都打上了一個序列號 以及用兩個字母表示的製造日期代碼 分析輪胎的第一步是破解這些日期代碼 這個工作對於密碼學專精的英國人來說十分的簡單 很快他們就發現了其中的規律 比如 登陸普輪胎上的日期編碼表是登陸普工廠倒過來拼 富爾達輪胎則是富爾達加上公司所在地明斯特 在英美專家的通力合作下 盟軍很快就利用統計序列號的方式掌握了德國人的輪胎生產數據 並且能夠準確的估計德軍的橡膠消耗和飛機生產 但此時他們發現這個方法不僅僅能用在輪胎上 還可以用在坦克上 德國人同樣給坦克打了序列號 不僅如此 德國坦克變速箱的序列號甚至是一個簡單遞增的連續數字 而每輛坦克只有一臺變速箱 拉格爾斯正是利用坦克序列號的照片來估算不同德國工廠的生產量 從而解決了坦克生產情報的問題 我們今天就來看看拉格爾斯是怎麼操作的 火力軍呢寫了一個簡單的小程序來模擬拉格爾斯和他的同事們的工作 首先呢 我們給出了三個函數 第一個函數非常簡單 它的作用就是模擬坦克的生產 它會根據我們的要求產生一個遞增的數字列表 我們假設這些數字就是坦克的編號 在這裏我們讓他先生產150輛 第二個函數的作用就是從上面產生的序列號列表裏抽取一定數量的序列號 這是模擬盟軍獲取坦克序列號的過程 最後呢 我們將獲取到的序列號送到預測坦克產量的函數裏 讓他預測德國人的坦克產量 我們先運行一下這個程序 看看我們能不能很好的預測德國人的坦克產量 好了 結果很快就出來了 我們拜託德國人生產了150輛坦克 並隨機抽取了其中的10輛坦克的序列號 利用這10輛坦克中最大的那個序列號 我們的預測算法告訴我們 德國人生產了146輛坦克 比實際產量少了4輛 作為估計來說 這個預測效果已經很好了 實際上我們前面提到過 在1942年的時候 盟軍的情報部門極大地誇大了德國人的坦克產量 但是拉格爾斯和他的同事們通過對這些序列號的分析明確指出 德國人每月的坦克產量不超過300輛 拉格爾斯的論文裏有一個用於比較的表格 我們可以看到第一列是日期 第二列是拉格爾斯對德國坦克的預測 第三列是在1942年英國情報部門對德國坦克產量的估計 而第四列則來自於二戰後前德國裝備部長阿爾伯特·施佩爾提供的生產數據 可以看到英國人在1942年的估計是非常離譜的 1940年德國人實際上每個月只能產出122輛坦克 但英國人認為德國人能夠每月生產1000輛 相比起英國人的離譜數據 拉格爾斯的估算是非常準確的 一般來說 他的預測準確度已經達到了10%以內 現在我們可以說拉格爾斯和他的同僚們利用自己的統計學知識通過分析德國坦克的序列號成功估算了德國人的坦克產量 而他們所用的方法的核心就在我們上面演示的程序裏 接下來我們就來解釋一下它背後的原理 這個模擬估算程序的核心是這個預測函數 它實際上也就是拉格爾斯工作的主要內容 這個函數接收k個德國坦克的序列號 選取其中最大的那個數字 然後用這個公式預測德國的坦克數字 當然了 在程序裏我們還把這個數字取整 防止出現德國坦克兵開著半個坦克上戰場的情況 這個公式其實很簡單 我們還用德國的坦克做例子解釋這個公式的原理 我們想知道的是德國人的坦克產量 實際上也就是每個月最大的那個序列號 那麼我們能不能先用我們已知的最大序列號來代表真正的最大序列號呢 答案是可以的 但是顯然這會有一定的偏差 我們確實有可能會在戰場上檢測出最新出廠的德國坦克 但大部分時候我們不會有那麼幸運 因此我們現在想知道的是 我們在戰場上獲得的那個最大序列號和德國人實際生產的最大序列號之間差了多少 那麼我們能不能得到這個差值呢 統計學告訴我們這是可行的 我們可以合理的假設我們獲取的序列號在數軸上是均勻分佈的 這也就意味著這些序列號之間的間隔總的來說是差不多的 因此首先我們可以先使用我們自己已知的最小數字和可能出現的最小數字之間的差值 加在最大數字的後面來估計總體的最大值 這種算法的效果怎麼樣呢 我們用程序來驗證一下 我們現在改寫一下這個程序 讓它用兩種算法分別預測1000次 並畫出三點圖 我們發現這些簡化的預測和實際的偏差往往更大一些 但是基本上均勻的分佈在真實值的周圍 這就意味著根據大數定律 如果我們能夠重複試驗幾百次 這些結果的平均值會非常靠近真實值 但是對於拉格爾斯他們來說 每個月從德國倉庫裡偷十輛坦克 連著偷幾十年肯定是不現實的 因此呢 他們選擇了分佈更集中的估算方法 也就是一開始是使用的這個公式 他計算每個相鄰序列號之間的平均值 把這個平均值加在最大序列號的後面 就得到了一個更準確的估計 不過呢 從圖上我們也能看出來 這個方法得出的結果從總體上看更容易估計的偏小 這一千次模擬的平均值也稍微比真實值小一點 但是這都不是問題 因為這種預測方法已經足夠精確了 拉格爾斯和他的同事們如法炮製 把德國人的生產數據全部計算出來 到1944年的時候 盟軍已經能夠以平均10%以內的誤差計算德國人的每一項產出 在一些武器上甚至只有2%的誤差 這些精準的數據極大的幫助了盟軍估計戰爭的走勢 調配物資和生產地 為消滅德國納粹做出了不可磨滅的貢獻