視頻全長1127分鐘，帶你一口氣學完高中數學。

本視頻耗時912.5天,共計1127分鐘 帶你一口氣學完高中數學13大知識板塊 全程乾貨無廢話 從最簡單的集合到最複雜的概率統計 教你用最短的時間速通2025年高考 首先我們來學第一個板塊 集合與簡易邏輯 這一板塊在高考中考察的頻率很高 但是難度很低 基本相當於順風題 所謂集合,簡單來說就是一組對象的全體 而集合中的元素必須同時具備三大特徵 常用的數集及其計法一共有5個 這5個數集概念必須牢牢記住 後面在函數板塊中也會經常用到 集合的表示一共有4種 自然語言法、列舉法、描述法和圖示法 集合分三種類型 分別是有限級、無限級和空級 尤其是空級考試時一定不能忽略 這部分內容非常簡單 高考基本不考 而接下來要講的 集合間的基本關係和基本運算纔是高考重點 集合間的基本關係有三種 分別是子級、真子級和相等 其中子級表示 集合A中的任意元素都屬於集合B 它有四種性質 1. 集合A是它本身的子級 2. 空級是集合A的子級 3. 若集合A是集合B的子級 且集合B是集合C的子級 那麼集合A一定是集合C的子級 4. 若集合A是集合B的子級 且集合B也是集合A的子級 則集合A與集合B相等 真子級表示 集合A是集合B的子級 且集合B中至少有一個元素不屬於集合A 它有兩個性質 1. 空級是集合A的真子級 2. 若集合A是集合B的真子級 且集合B是集合C的真子級 則集合A是集合C的真子級 很多同學搞不懂真子級和子級的區別 其實看它們的性質就能發現 真子級排除了集合本身以及集合相等的情況 所以當我們已知 集合A有N N大於等於1個元素 那麼它就有2的N次方個子級 2的N次方減一個非空子級 2的N次方減一個真子級 這裏減去的一個子級就是集合A本身 2的N次方減二個非空真子級 相等關係很好理解 這裏就不再過多贅述 集合的基本運算同樣有三種 分別是交集 並集和補集 其中交集表示 集合AB相交部分的元素的集合 它的性質有三個 1. 集合A與集合A的交集依然是集合A 2. 任何集合與空集的交集依然是空集 3. 兩個集合的交集是它們自身的子集 並集表示兩個集合合併在一起的所有元素的集合 同樣有三個性質 1. 集合A與集合A的並集依然是集合A 2. 任何集合與空集的並集依然是集合本身 3. 集合A與集合B是它們並集的子集 補集則表示全集中除集合A以外的所有元素的集合 那麼什麼是全集呢? 全集不是一個特定的集合 主要是看我們研究什麼 如果我們研究實數 那麼實數級R就是全集 如果我們研究整數 那麼整數級Z就是全集 補集的性質有四條 1. A交A在全集中的補集等於空集 2. A並A在全集中的補集等於全集 3. A交B在全集中的補集等於A的補集並B的補集 4. A並B在全集中的補集等於A的補集交B的補集 交併補這三種基本運算 包含對應的等價關係 即A是B的子集 等價於A交B等於A 等價於A並B等於B 等價於A的補集並B等於全集 集合間的運算規律一共有七種 分別是交換率、結合率、分配率、0-1率 等冪率、求補率以及繁衍率 這其中我們要格外注意分配率、求補率和繁衍率 尤其是繁衍率又被稱爲德摩根率 高考中經常考察 看起來很複雜不好記憶 但是用韋恩圖大家就能輕鬆理解 這幾條運算規律最好能直接背下來 雖然在考場上也能強行推導 但過程非常浪費時間 最後我們講一講映射 射AB是兩個集合 如果按照某種對應法則F 對於集合A中任何一個元素 在集合B中都有唯一的元素和它對應 那麼這樣的對應 包括集合A、B以及A到B的對應法則F 我們就叫做集合A到集合B的映射 如果A元素屬於集合A B元素屬於集合B 並且元素A和元素B對應 那麼我們就把元素A叫做元素B的原像 元素B就叫做元素A的像 映射在高考中考察的很少 主要是大學高數內容 但是它與函數的概念非常相近 對於我們後面學習基本初等函數非常有用 此外補充幾個小但重要的知識點 以便大家能更好地將集合 與後續的函數不等式的內容進行結合 首先是關於一元二次不等式的解析的討論 具體如圖所示 分別展示了在Δ大於0 等於0以及小於0的情況下 二次函數的圖像 一元二次方程的根 以及一元二次不等式大於0 和一元二次不等式小於0的解析 其次是關於分式不等式的解法 通常有兩種 一種是一項通分 將不等式化爲標準形式進行求解 另一種則是將分式不等式 化爲整式不等式 然後分類求解 最後是關於絕對值不等式的解法 一共有三種 第一種是公式法 運用絕對值的性質進行求解 第二種是定義法 運用零點分區間法進行分類討論 第三種就是幾何法 根據絕對值的幾何意義 運用數型幾何思想進行解題 這部分內容我們會在後面的函數 不等式等板塊進行詳細學習 所以這裏不再過多展開 那麼集合在高考中通常考察十類題型 分別是元素的互異性 元素是集合問題 子集關係 子集問題 維應圖和容斥原理 元素與集合的關係求參 集合與集合的關係 求參數問題 逆向求參問題 德摩根律 以及分類討論 關於集合板塊所有的常用必備公式 我已經全部整理出來 有需要的同學可以自行截圖保存 至此高中數學集合部分 我們已經全部學完了 接下來要學習的是簡易邏輯 這部分與集合類似 都是高考中的送分題 通常考察四個部分 命題 條件 連接詞 以及量詞 首先說命題 所謂命題就是指一些能夠判斷真假的語句 其中判斷爲真就叫做真命題 判斷爲假的就叫做假命題 它的一般形式爲 若P則Q P叫做命題的條件 Q叫做命題的結論 命題一共分四種 分別是原命題 逆命題 否命題和逆否命題 它們之間的關係如圖所示 交換原命題的條件和結論 得到的就是逆命題 同時否定原命題的條件和結論 得到的就是否命題 交換原命題的條件和結論 並且同時否定 得到的就是逆否命題 這裏需要注意的是 只有處在對角線上的兩組命題 才互爲逆否命題 前面說了命題要判斷真假 而這四種命題之間的真假關係如圖所示 總的來說 當兩個命題互逆時 它們的真假性沒有關係 同樣的 當兩個命題互否時 它們的真假性也沒有關係 只有當兩個命題互爲逆否命題時 它們才具有一致的真假關係 命題的各種條件是這一板塊的難點 包括充分條件 必要條件 充分不必要條件 必要不充分條件 既不充分也不必要條件 以及充分必要條件 很多傻瓜同學直到高考還是殞留物理 一個完整的命題包含條件和結論 由條件推出結論的過程叫做充分性 反之由結論推出條件的過程叫做必要性 如果由條件p能推出結論q 那麼我們就說p是q的充分條件 如果由結論q能推出條件p 那麼p就是q的必要條件 所以我們在考試中遇到這類問題 一定要先搞清楚誰是條件誰是結論 而在此基礎上 我們將二者結合起來 例如由p能推出q 充分性滿足 並且由q也能推出p 必要性滿足 那麼p就是q的充分必要條件 反過來如果由p不能推出q 充分性不滿足 並且由q也不能推出p 必要性也不滿足 那麼p就是q的既不充分也不必要條件 與之類似的 如果由p能推出q 充分性滿足 但是由q不能推出p 必要性不滿足 那麼p就是q的充分不必要條件 舉個例子 我在中國 所以我在亞洲 中國在亞洲 這是成立的 但是在亞洲就一定在中國嗎 不一定 所以我在中國 就是我在亞洲的充分不必要條件 反過來如果由p不能推出q 充分性不滿足 但是由q能推出p 必要性滿足 那麼p就是q的必要不充分條件 舉個例子 我愛吃水果 所以我愛吃西瓜 愛吃水果是不是就一定愛吃西瓜呢 顯然不一定 但是愛吃西瓜是不是愛吃水果呢 西瓜就是水果 這是確定的 所以愛吃水果就是愛吃西瓜的 必要不充分條件 通過這兩個例子我們發現 中國和亞洲 西瓜和水果 這二者之間都存在一種完全包含的關係 運用集合的思想來說 亞洲是一個大集合 中國是一個小集合 中國是亞洲的曾子吉 你在小集合裏一定能推出 你同時也在大集合裏 但如果你在大集合裏 就不一定能推出 你也在小集合裏 所以在考試中 我們要判斷是什麼條件 只需要確定條件和結論 哪個集合更大 就可以很輕易的確定 例如 條件是小集合 結論是大集合 那麼就是充分不必要條件 反之 條件是大集合 結論是小集合 那就是必要不充分條件 這句話真的可以幫助我們 解決很多問題 例如這道高考整體 我們可以先求兩個不等式的解極 很輕易就能算出 條件的範圍是0-5 結論的範圍是0-2 顯然 條件是大集合 結論是小集合 直接選B 命題的邏輯連接詞一共有三個 且命題可以類比集合中的交集 或命題可以類比集合中的並集 非命題可以類比集合中的補集 它們之間的真假關係 如下圖所示 我們只需要記住 且命題由一假變爲假 全是真纔是真 或命題由一真變爲真 全是假才爲假 而非命題爲一真一假 兩個互相對立的命題 量詞一共有兩個 分別是全稱量詞和存在量詞 類似於所有的任意一個等詞 我們稱爲全稱量詞 還有全稱量詞的命題 稱爲全稱命題 它的否定叫做特稱命題 類似於存在至少這樣的詞 我們稱爲存在量詞 還有存在量詞的命題 稱爲特稱命題 它的否定就是全稱命題 這裏我們需要格外注意的是 命題的否定與否命題的區別 對於簡單命題P到Q來說 它的否定是P到非Q 而它的否命題是非P到非Q 二者的區別在於 是否對條件進行否定 命題的否定只否定結論 而否命題則將條件和結論同時否定 複合命題沒有否命題 只有命題的否定 P或Q的否定是非P且非Q P且Q的否定是非P或非Q 這裏一定要注意 含有連接詞的命題在進行否定時 必須要將條件、連接詞和結論 全部進行否定 很多同學經常會忽略對連接詞的否定 全稱命題與特稱命題互相否定 同樣的,在進行否定時 需要注意改寫量詞 這裏給大家放一個簡單的例題 大家可以試着做一下 常用邏輯用語在高考中通常考察6類題型 分別是充分與必要條件 應用充要條件的計算 真假命題與計算 全稱量詞與存在量詞 量詞的否定 真假命題與量詞的計算等 關於常用邏輯用語的重要內容 我已經全部整理成了簡易表格 同學們可以直接截圖保存 考試前拿來複習,非常好用