【天津大學】《運籌學》（精品課） P13 - 13. 對偶問題與靈敏度分析 教學錄像（4）

那麼接下來呢我們再來討論一下增加新變量時的分析 這個就是我們剛纔說的變量結構也可能發生變化時的情形 那麼大家想增加新變量又有什麼影響呢 我們知道原有的變量假設是n個 那麼原來那n個變量啊 其中有一部分是基變量 一部分是非基變量 非基變量都等於零 就是不投產 基變量呢是大於零 一般來說是表示投產的產量 現在我們假若增加一個新變量 我們說這個 我們現在這個變量結構的變化主要是討論增加一個新變量時的影響 那麼你增加的這個新變量假設計作xn加1 它對解的結構有什麼影響 如果它增加了以後 應該進擊 那就對原來解的結構是有影響的 假如它增加了以後 表明它不進擊 也就是它是它即便增加了 但是它進去以後還是充當一個非基變量的話 那麼它的增加呢就沒有實質的影響 這樣的話啊 我們說實際上我們就把這個問題主要可以化爲 看一下這個增加的新變量 是否應該進擊 那麼在實際意義呢 就是第n加1號產品 是否應該投產的問題 那麼既然它是否應投產的問題 也就相當於是它這個變量是否應進擊的問題 而這個在單純刑法的時候 我們可知判斷一個變量是否應該進擊 主要看它的檢驗數 我們當時在單純刑法的基變化 如果它是檢驗數是一個大於零的檢驗數 這個時候呢 我們就說它可以進擊 如果它的檢驗數已經是小於等於零了 那就不存在再進擊的問題了 如果所有變量的檢驗數都小於等於零 就已經是罪有解了 不需要再進行改進和變換了 因此我們這個決定變量是否應進擊 主要就是計算它的檢驗數 根據檢驗數的符號就可以判斷 所以我們這裏的方法呢就歸納爲 判斷Xn加1是否應進擊的方法 計算Xn加1的檢驗數 sigma n加1 這個sigma n加1的公式呢 就是我們的通常的檢驗數公式 用Cn加1減去Cbb-Pn加1 這裏的Cn加1呢 就是這個新增加的變量的價格係數 那個Pn加1呢 就是它的資源單號 這些都是應該已知的 經過計算 假若這個sigma n加1是大於零的 則說明它可以進擊 也就是說呢 可以增加這個新變量 它可以投產 投產是有利的 假若sigma n加1小於等於零 則不必增加這個Xn加1 即投產是無利的 好 這個增加新變量時的分析呢 它的主要方法已經介紹完了 我們最後呢 對這裏相關的檢驗數進行一下 經濟意義的解釋和分析 因爲我們這裏增加新變量 主要就是算檢驗數 我們來看一下它的意義 檢驗數的公式 它是sigma n加1 在這個檢驗數的公式 我們最初學習它的時候 是在第二節單純刑法中學習的 那個時候我們還沒有學習對偶 但是現在我們講靈敏度分析的時候 我們再次的說到這個檢驗數 這個時候因爲我們已經學習了對偶理論了 因此對檢驗數的經濟意義 可以做進一步的分析 我們不難看到 這個檢驗數的前面這一項Cn加1 是這第n加1號產品的市場價格 當然它可以表示利潤或者單位收益 我們把它就通俗的稱爲是價格 這個Cn加1是市場價格 然後再看檢驗數公式的後面那一項 就是減號後面那一項 它的結構是CbBn乘以Pn加1 我們學習了對偶以後 對CbBn這個表達式已經更加熟悉了 已經瞭解了它的這個含義 並且已經比較熟悉了 那麼這個CbBn它就是對偶的最優解 同時又是資源的影子價格 我們想一想資源的影子價格又是什麼意思呢 資源的影子價格 由前面的對偶經濟意義可知 它表示的是這個資源 這各種資源在企業內部的價值 那麼你想一下這個CbBn 如果乘以Pn加1又是什麼意思呢 那你想這個CbBn是內部價格價值 乘以Pn加1 Pn加1是什麼 是第n加1號產品的資源單號 對着所有各種資源 那麼這些資源單號 用影子價格乘以它 不就是表示 生產一件n加1號產品的這些資源量的內部價值嗎 這個內部價值 被Cn加1減 二者相減 如果大於零說明什麼問題呢 如果大於零就說明 這個生產出來的市場價格 要大於內部的資源的價值 那麼這個顯然呢 就是市場價格大於內部價值的話 我們說它是可以投產的 反之如果這個sigma小於等於零是什麼意思呢 就是說明市場價格小於內部價值 在內部價值100元的東西 賣到市場上才賣了80元 說明這個是不應該進擊 不應該投產的 這就是檢驗術的經濟解釋 好 下面呢 我們來看一個例子 這個例子呢 就是在前面那個做過的這個一個線性規劃問題中 假設呢 我們在原有變量基礎上 再考慮增加一個新變量 X5 它的價格係數是3 它的兩種資源的單號係數分別是2和1 請分析這個X5是否應進擊 好 我們根據剛纔介紹的考慮是否增加新變量的問題 它的方法就是計算它的檢驗數 檢驗數大於零應該進擊 小於等於零不用進擊 於是呢 我們就要計算這個X5這個新變量 它的檢驗數 它的檢驗數的相關數據 我們看一下 有已知條件 這個C5就是3 那個P5呢是2和1 檢驗數公式呢 是應該是這個C5減去CBB逆P5 那麼現在呢 這個C5和P5都有了 只需要把CBB逆 把它呢這個找出來 我們就可以算它的檢驗數了 那麼CBB逆 怎樣找出呢 我們由前面的學習已經知道 既然這個是原問題的單純性中表 在這個中表中 我們就可以得到CBB逆 也就是隊友的最優解 或者說影子價格 在這道題呢 它就是X3和4的檢驗數的負值 也就是0和1 那麼這個CBB逆有了之後 我們的檢驗數S5就可以計算了 經過計算S5 它等於3減01乘以1 等於2大於0 所以S5應該進擊 好 我們這個關於增加心變量的 靈敏度分析的介紹呢方法 就介紹到這裏了 那麼最後呢 我們作爲這幾種靈敏度分析的一個綜合練習呢 我們來看一個例題 這道例題呢 還是以前面的例1.1 就是煤電油的那個粒子的單純性中表爲前提 我們在這個煤電油的單純性中表 已知的前提下 我們要求分析第一問 電的影子價格是多少 使最優積仍適用的電的變化範圍爲何 這是第一問 第二問 現在假若 有人願意每度一元的價格 向該廠供應25度電 是否值得接受 第三問 假產品的價格在何範圍內變化時 現最優解不變 好 我們先來看一下 現在已經寫的這三問 後邊還有一問 我們先把這三個看一下 首先第一問 電的影子價格 這個其實在前面 我們講那個影子價格的時候 已經做過了 是1.36 這是由那個單純性中表的這個X4的檢驗數 立刻可以得到 那麼接下來要求 使最優積仍適用的電的變化範圍 這個又是什麼呢 電的變化範圍 這個電呢 它是相當於是第二種資源 煤電油嗎 它當前的限量是200 那麼這個限量 如果發生變化 在什麼範圍變化 可使用最優積仍適用呢 這個顯然就是我們剛纔介紹的 必變化時的分析 再來分析第二問 這個時候 如果有人願意以每度億元的價格 向該廠供應25度電 是否值得接受 我們這億元呢 就是一個單位的價格 我們現在我們前面已經知道 電在當前的這個最優計劃下 是一種稀缺資源 它的影子價格是1.36 剛纔說過了 那麼1.36 假如是以元作單位 那麼這時候 別人以億元的價格向我們供應增加的電 這個1呢 是小於1.36的 按照剛纔影子價格的含義 可以分析 直觀上來看呢 是可以接受的 但是這裏頭呢 有一個細節要注意 就是你在這個幣變化的時候 因爲這個時候 這個供應25度電 原來電的限量是200 你等於是增加了25 相當於幣發生了變化 我說的這個幣就是資源限制限量幣 那麼這個幣變化的時候 是要對那個原來的最優積要產生影響的 我們在上一問呢 已經求了使最優積仍適用的電的變化範圍 那麼你在第二問的時候 就要看一下這個25度電 是否符合在這個 使原最優積仍適用的電的變化範圍內 假如是的話呢 我們就可以用原來的影子價格 1.36來進行比較分析 因爲假如你這個增加的這個電的這個數量 超出了第一問中求出的電的變化範圍的話 那麼原來的最優積就要發生變化了 原來的最優積發生變化 那麼影子價格是什麼 影子價格是CB幣逆 它裏邊是含有這個最優積的 是要和這個積是相關的 如果積發生了變化 影子價格也就要發生變化 那麼這個時候你在第二問的時候 就不能再用1.36來和這個1進行比較了 這個就超出了我們靈密度分析的研究的範圍了 就是變化大的情況 所以在這個第二問的時候呢 這個細節就是你要看一下 供應的這25度電是不是在 剛纔那個電的允許的變化範圍內 第三問的是假產品的價格 價格係數的變化 那麼假產品的價格的變化 我們剛纔靈密度分析的當中介紹了 這個屬於C的變化 C的變化需要分別考慮 這個價格是基變量還是非基變量的價格係數 如果是非基變量價格係數的變化 它隻影響自己的檢驗數 但是如果它是基變量的價格 係數發生了變化的話 那麼它要影響所有的檢驗數 我們看一下這個假產品 它相應的是X1 在基變量的行列中恰好有X1 這就說明這個第三問的這個假產品的價格 是一個基變量的價格係數 那這個它變化的時候 是要影響所有的檢驗數的 這個時候要由所有的檢驗數 都要這個列出相應的不等式 解除它們的這個範圍 最後取一個公共範圍 好 這是我們對這個例子的前三問 已經做了一個分析 那麼第四問呢 就是考慮增加一個新產品柄 假設已知呢 這個新產品柄 它的資源單號是十二五 這是對煤電油三種資源的單號 這個柄的售價 假設是估計是六點五 請問這個新產品柄是否應該投產 這個當然就是剛纔我們講的 增加新變量時的零米多分析了 好 這個例題呢 我們已經呢 都對它進行了一個提議的一個瞭解 下面呢 我們就可以啊 把它的求解過程呢 把它這個就是給它這個做出來了 好 首先做的是剛纔的第一問 就是電的這個影子價格 及電的這個變化的範圍 剛纔已經說過電的影子價格 前面已經求出過 就是一點三六 然後求電的變化範圍 就是用幣逆乘以 由於電的加了增量而變化後的這個資源幣 那麼我們呢 由於這個 這個就是幣一槓 就是變化以後的幣啊 我們前面不是計爲幣一槓嗎 這個幣一槓呢 就是在二百這兒加了個德它 二百不是電嗎 那麼這個向量呢 可以 就是寫成啊 拆爲兩個向量和的形式 一個向量呢 就是三百六二百三百 就是原來那個幣 另外一個呢 後邊那一項的是零 德它零 那麼拿幣逆分別乘以 這兩個向量 幣逆乘以前面這一個就是幣逆幣 原來已經求解出來了 就是八十四二十二十四 在原來鐘錶上已經有的 我們只需要計算幣逆乘以後邊這個向量 就是零德它零 這個幣逆呢 就是鐘錶的那個後三列組成的矩陣 它乘以一個零德它零 其實呢 很容易的就可以計算出來 那麼就是等於後邊的那個結果 我們把這個幣逆幣一槓 令它大於等於零 相應的 實際是三個含德它的不等式 由這三個不等式分別解除德它取它的公共範圍 得到的是德它第二 大於等於-50 小於等於26.92 這個範圍就是這個電這種資源 在這個範圍變化時 可使原最優機仍適用 那麼原最優機仍適用 也就是原影子價格仍適用 那麼原影子價格就是1.36 好 這是第一問 接下來呢來看第二問 第二問剛纔已經說了 是有人願意給我們調劑供應25度電的問題 剛纔呢我們已經做了分析 這個因爲它這個供應我們25度電呢 它是以每度一個單位的價格 我們假設以元做單位的話 那麼這個1呢和電的影子價格1.36進行比較 它小於1.36 直觀上看是可以接受的 但是呢要看一下 這個供應的25度電 是否在上一問的那個電的這個允許變化的範圍內 因爲在那個範圍內呢 這個就能使原最優機保持不變 也就是原影子價格保持不變 我們現在看一下了 剛纔因爲已經算出來是上限是26.92 所以我們這25度電呢是在那個範圍內的 於是這個呢我們就是可以接受的 我們看一下我們的是這個回答 回答就是呢這個25度電值得接受 因爲25是在幣的適用範圍內 即影子價格1.36仍適用的範圍內 而這個影子價格1.36-1大於零 所以呢是值得接受 這是第二問 接下來我們來計算第三問 第三問呢是說 假產品的價格在什麼範圍內變化時 可使現最優解保持不變 剛纔已經說了 因爲假產品它相應的是那個X1 它的價格就是C1 這是基變量的價格係數 我們說的基變量指的是鐘錶 在鐘錶裏X1是基變量 所以呢它的變化 因爲它現在是基變量價格係數 它的變化要影響所有的檢驗數 我們要怎麼做呢 由前面的介紹可知 要在所有的檢驗數的計算公式中 凡是相應於原來假產品價格 它那個價格原來就是7了 凡是原來有這個假產品的價格的地方 都加上一個delta 然後解這些相應的不等式 最後呢解除這個delta的範圍 並求它的公共部分 好下面我們來具體的看一下 我們首先說假產品的價格C1是基變量的價格係數 我們由這個相應的 這個就是它的所有的檢驗數 因爲所有的檢驗數啊 雖然是五個 但是其實呢基變量的檢驗數啊都是零 所以我們只需要計算 就是隻需要計算呢 就是這個非基變量的檢驗數就可以了 那麼我們由Sigma5一槓和Sigma4一槓 這兩個是非基變量的檢驗數 我們看一下是計算的時候哪盒體現了C1的變化 有檢驗數的計算公式 比如說以這個Sigma5一槓爲例 它應該等於自己的價格係數 減去Cb 然後乘以這個Bp5 而這個Cb呢 現在是它應該是 因爲這個大家知道 在這道題的鐘表的基變量按順序來說 就是X3 X1和X2 X1這個就是C1了 原來是7 我們現在呢因爲要討論它的變化嘛 所以就在它這要加一個Δ 就是你討論誰的變化就在誰的位置上加一個Δ 其他的計算都不變 那麼同樣這個Sigma4一槓也是一樣 也是在這個原來C1的位置加上一個Δ 那就是7加上ΔC1 這樣呢我們就可以計算出 這兩個Sigma一槓了 兩個Sigma一槓呢 它的計算的時候 這個剛纔說了都是在Cb裏頭 我們加了Δ 然後後邊這一列呢是Bp 這是Bp5 下邊這一列是這個Bp4 那麼這個Bp5和Bp4啊 都是在這個就是表中的相應的係數列 那麼這樣的我們就可以計算出 就可以計算出這個什麼了 這個它的相應的這個表達式了 表達式計算出來以後呢 我們就可以分別解除這個Δ的範圍 上面這個呢得到的是 Δ要大於等於負的3.4 下面這個呢 Δ要小於等於2.6 那麼最後呢 綜合兩個不等式得到的結果 取它的公共範圍就得到 使源最優解保持不變的C1的變化範圍是 Δ大於等於負3.4 小於等於2.6 也就是說呢 假產品的價格 在這個幅度裏變化時 就是說它上漲不超過2.6 那個下降不超過3.4的這個範圍裏變化時呢 原來的最優解仍適用 這是第三問 好 第四問 就是現在又考慮一個新產品餅 它的資源單號和售價都是一致的 我們來分析呢 這個產品是否應該考慮投產 由前面的介紹增加新變量的問題的分析 就是計算它的檢驗數 計算檢驗數的時候 我們檢驗數需要用到的信息呢 這個它相應的這個P 就是資源單號的這個向量是一致的 而且這個C呢也是6.5也是一致的 現在呢只是需要呢 一個CBB逆 而CBB逆呢 是在檢驗數的部分 可以得到 也就是呢 在鐘錶的這個檢驗數呢 它的那個就是鬆弛變量的檢驗數的負值 好下面呢 我們按照剛纔的分析 把這個式子列出來進行一下計算 我們先來看這個式子 餅產品的檢驗數 Sigma餅 等於它自己的價格係數 減去CBB逆 P餅 那麼CBB逆呢 就是剛纔說的0 1.36 0.52 這樣的經過計算 最後呢 是這個Sigma是大於0的 所以餅產品可以