【麻省理工】公開課《微分方程》 P13 - 13. 案例解讀：共振

回顧一下今天需要用到的一些符號和幾個將會用到的事實 因此 P of D 再加上試圖澄清一些回憶中報告的誤解 這可以從兩個角度來考慮 它是一個在D的多項式 以字母D表示 它只是一種多項式的形狀 D 平方加上 A D 加上 B A 和 B 是常數係數 但同時 如果你想想它所做的 它是一個作用於函數的線性運算子 它是作用於像 Y(t) 這樣的函數的線性運算子 你從兩個角度來考慮它 因為我們想要進行因式分解之類的事情 所以稱為多項式 用2取代D 以及類似的事情 這些都是你對多項式所做的事 你會用代數方式來做 你可以對多項式求形式導數 因為它只是各次方的和 另一方面 作為一個線性算子 它會對函數產生某種作用 它區分它們 以常數乘以它們 類似這樣 所以 換句話說 它以這種方式具有雙重特性 而這正是我們所利用的其中一個特點 當我們使用運算子方法來解微分方程時 現在 讓我提醒你們我們當時感興趣的重點 F(T)不是任何函數 我們下次再來談這個 但F(T)是指指數函數 所以它應該是個指數函數 或者類似指數函數的東西 或者非常接近它 例如 某個包含正弦T和餘弦T的東西 這可以被視為複數指數的實部或虛部的一部分 而且也許到今天結束時 我們能讓它再更普遍一點 但基本上 我感興趣的是指數 我們把它做成α複雜吧 那至少可以處理 e 的 A x 次方乘以 cos B x 乘以 sin T dx 的情況 這些是主要的情況 然後 記得我們做的那個小表格嗎 我只是給了你特解的公式 因此我們想要的是 我們已經知道如何解齊次方程式 我們需要的是那個特解 然後我給了你們解決它的方法 這些事實是由替代規則和指數位移規則證明的 範例是如果 F(T) 是 嗯 我們來做個小表格 F of T 就是 嗯 永遠是 e 的 A t 次方 所以我們別這樣了 因此 換句話說 就是 e 的 A t 次方 種類是 所以 yp 什麼是 yp 嗯 通常的情況是 y 等於 e 的 αt 次方除以多項式 其中你進行了代換 你將這個多項式中所有的 d 都替換成複數 α 那裡 我把它當作一個正式的多項式來思考 我並不是把它當作一個運算子來思考 現在 這會分解 所以這是特解的公式 唯一的问题是當α的p為零時它會失效 因此我們必須假設它不是零 現在 如果 α 的 p 次方為零 這表示 α 是多項式的根 說成多項式的零點會更恰當 因此 在這種情況下 它將是 e 的 αt 次方除以 p'（α） 對多項式進行正式微分 你會得到 2d 加上 a 現在代入 α 這會是正確的 前提是 α 的導數不為零 這意味著 α 是多項式 p 的一個簡單根 一個簡單的零點 還有一種情況 由於今天我不需要用到 所以我不會寫在黑板上 但你需要它做作業 所以確保你記得它 换句话说 如果這個值是零 那麼你會得到一個重根 而且還有另一個不同的公式 而且這是很錯誤的 因為我忘了做那件事 我從你們的臉上看得出來 好的 現在我們來看看 那是之前的情況 現在我們已經來到今天了 今天我們想討論的是這與共鳴現象有何關聯 每個人都至少知道一個共鳴的例子 我希望如此 你知道 一個小孩子在鞦韆上 對吧 來來回回 他們非常小 所以他們想推動 好的 大家都知道 要讓秋千擺動起來 秋千有某種自然頻率 它就是那樣來回擺動 它是一個簡單的單擺 它實際上被壩阻斷了 但我們假裝它沒有被阻斷 大家都知道你想要推一個小孩讓秋千飛得高一點 你必須以基本上與秋千自然頻率相同的頻率來推 現在 這是自動的 因為當你回來這裡時 它就會到達那裡 這時你就可以推動它 所以你會自動地掌握推的時機 但如果想要孩子停止 你只要做相反的事 你在錯誤的時機推 不管怎樣 這樣就是共鳴 當然 它還有更嚴重的應用 這就是導致塔科馬大橋倒塌的原因 而且我想現在正在播放相關的影片 不僅在電視上 還在小學裡 共鳴是讓聲音變大的關鍵 稍後會再談更多關於共鳴的故事 所以我的目標是解釋這個物理現象 要得到大的振幅 必須讓頻率相匹配 那與微分方程有什麼關係呢 好吧 那個單擺的微分方程 我們假設它是在達姆上 y 的二階導數加上 我現在用 t 因為 t 是時間 這將成為我們新的獨立變數 加上 ω₀ 的平方是自然頻率 擺錘或彈簧或其他任何產生震動的物體 現在我們所做的就是以不同頻率的餘弦函數來驅動它 因此 這就是輸入 或稱為驅動項 有時也稱為強制項 而重點是我將假設頻率是不同的 驅動頻率與自然頻率不同 因此這是輸入頻率 好的 現在讓我們直接解這個方程式 看看會得到什麼結果 所以如果我用運算符來寫 就是 d 平方加上 omega 零平方作用在 y 上等於餘弦 這是一個好主意 因為這些公式會要求你將數值代入多項式中 因此 將多項式放在你面前是很好的 以避免錯誤的可能 我真正想要的是特解 正是這個特解會讓我得到純粹的震盪 而且當然 因為這是餘弦 你希望讓它變複雜 因此我們將使方程式變得更複雜 以 便更容易地解出它 並能運用那些公式 因此 這個複雜的方程式將是 d 平方加上 omega 零平方乘以 嗯 它將是一個複雜的特解 所以我稱它為 y 擬 以及在右側 那將是 e 的 i ω1t 次方 餘弦是這個的實部 所以當我們得到答案時 我們要確保取答案的實部 我不想要複雜的答案 我想要真實的 它的實部 我想要真實的答案 換句話說 真正真實的答案 好的 現在 不用再多說了 因為那些優美的替代規則 這個問題已經徹底解決了 我是在星期一為你做到的 答案只是 e 的 i 乘以 omega 1t 除以什麼 這個多項式將 omega 1 代入 d 的位置 因此 它是 抱歉 i 乘以 ω 也就是 t 的複數係數 所以將 i 乘以 ω 代入 d 將 i 乘以 ω 代入 d 以及你得到 i 乘以 omega 1 平方加上 omega 零平方 好吧 讓它看起來好一點 這應該是 e 的 i 乘以 omega 1t 次方除以 現在 這是什麼 這只是omega零的平方減去omega一的平方 但我要的是實際部分 所以讓我們最後一步 這實際部分就是我們所稱的實特解 所以 y p 不再有波浪號了 而這部分的實數部分 嗯 就是餘弦加上 i 正弦 分母幸運的是 結果是實數 因此 它只是餘弦 ω₁t 這是分子 除以這個值 ω₀平方減去ω₁平方 換句話說 這是回應 這就是輸入內容 這就是輸出結果 說白了 人們看到的是 不 管系統想要使用什麼自然頻率 至少就這個解法而言 它回應的是驅動頻率 輸入頻率 唯一改變的是振幅 而且這種改變相當顯著 若ω1與ω2的相對大 小不同 則結果也會不同 現在 有趣的情況是當ω1非 常接近ω 也就是自然頻率時 當以接近自然頻率的頻率推 動它時 解的振幅就會很大 振幅很大 因此 解決方案看起來像是頻率 輸入可能看起來像這樣嗯 這是餘弦函數 所以它會從這裡開始上升 輸入可能看起來像這樣 但回應將是相同頻率的曲線 仍為純粹 的震盪 但振幅會大得多 遠遠大於之前 因此分母 ω₀² − ω₁²永遠為零 因此回應會變成這樣 現在 從所有實際目的來看 這就是共鳴 以大約相同頻率推動某物 一個想要振盪的東西 而你以相同頻率推動它 大約相同頻率 它希望自行震動 這會使振幅大幅增加 那麼 如果 omega 1 實際上等於 omega 0 會發生什麼情況呢 那就是我想現在為你分析的情況 假設這兩者是相等的 換句話說 嗯 問題是 當然 我不能使用同樣的解決方案 這不適用 但這就是我上次用指數位移定 律為你推導出的版本 當它為根時的第二版 如果 omega 1 等於 omega0 那麼現在我們的方程式看起來像 D 平 方加上 omega 0 平方 這稱為自然頻率y 但這次的驅動頻率 也就是輸入頻率 就是歐米伽0本身 那麼同樣的分析 你知道 很多東西是 嗯 我最好小心一 點我最好小心一點 讓我們再快速地過一遍分析 我們要做的是先使其複雜化 然後再解決 因此 這個複雜的方程式將是 D 平方加上 omega 0 平方 時間的符號與波浪號等於e的iω₀t次方 這次是這樣 但是現在 iω是這個多項式的一個零點 這就是我選擇它的原因 對吧 如果我代入 i ω₀ 我得到 (iω₀)² 加上 ω₀² 這等於零 因此 我處於第二種情況 因 為 i ω₀ 是 D² 加上ω₀ 的簡單根 也就是這個 多項式的平方的簡單零點 因此 複雜的特解現在是 t e 的 i ω₀t 次方除以 P' 其中代入該根 i ω₀ 現在 P 什麼是 PP 是二維的 對嗎 如果我像把 D 當作變數一樣來形式化地對它進行微分 就像你對多項式進行微分的方式一樣 微分結果為常數 而微分結果為 2D 因此分母應該有兩倍的 D 你要代入 iω₀ 因此 它是 2i ω0 現在 我想知道它的實部是多少 好好想想 分子是餘弦加上 i 正弦 實際部分現在將來自正弦 對吧 因為它是餘弦加上 i 正弦 但這個 i 會抵消掉與正弦相乘的 i 因此 實部將是這次的正 弦值乘以ωt 而不是t 而且這將被除以 嗯 我 消去了正弦函數前面的i 因此 剩下的就是下方的 2 乘以 omega 零 所以 這是我們的特解了 嗯 它看起來和那個傢伙不一樣 現在看起來也不像了 它看起來像什麼 好吧 這顯示了規劃這些事物的方法 基本 上是一種頻率為ω₀的 震盪 但其振幅在改變 因此 做法始終如一 如果你有一種基本的震盪 既不太快也不太慢 就將其視為一種事物 以及其它使它倍增的東西 可 以想像成是改變該震盪的振幅 隨時間的變化 因此 振幅就是這個函數 t除以 2ω₀ 因此 就像我們之前談論阻尼時一樣 你將其畫出來 它在圖上是負的 所以 這就是曲線 函數的圖形是t除以2ω₀ 這可以說是變化的振幅 然後 這個函數本身所能 產生的震盪 必須在這些 線條之內 因此 產生震 盪的東西是正弦函數ω0t 它原本希望是純粹的震盪 但因為振幅被那樣東西改變了 所以無法做到 所以 它現在正在這樣做 而且剩下的部分 我只能留給你的想像了 也就是說 當ω₀相等時 當驅動頻率實際上等於ω₀時 但從數學上來看 這會轉變成一 個看起來不同的解 一個振幅持續 增加的解 振幅呈線性增加 就 像函數 t 除以 2ω₀ 一樣 好吧 很多人對這一點 感到不悅 因為有一種 好笑的感覺 這種解決方案怎麼會變成那個呢 如果我只是讓奧米加1去到奧米加0 會發生什麼事 嗯 粉紅曲線只是越來越高 而且過一會兒 你所看到的只是許多垂直的線條 這些線條看起來是根據該 函數的正確週期隨意排列的 有點像待在一樓的窗邊 看著長頸鹿走過 你知道的 你只看到那個 好的 我的擔憂是 這個功能是如何轉變為 那個的 現在 我想起來有些事情要提醒你 而且這就是我們要進行一個簡單練習的原因 但它的功能當然 是當omega 1趨近於omega 0時 絕對不可能轉變成這樣 它在接近0的地方做錯了事 它已經開始放大了 但重點是 這不是這個問題唯一的特解 微分方程的任何解 包括非齊次 方程的解 都是特解 這就像弗雷 德·羅傑斯所說的 每個人都很特別 所以 所有的解都是特別的 我們不需要使用那個 那麼 我會使用 其他解決方案都在哪裡 好吧 所以我回到方程式 d 平方加上 omega 0平方 作用於 y 等於 cosine omega 1 t 現在 我們找到的特解就是這個 餘 弦ω1t除以這個 ω0平方減ω1平方 那麼 其他特定解看起來是什麼樣子的呢 一般來說 一個特定解 任何一個特定解都會看起來像我們找到的那個 什麼是 ω₀² 減 ω₁² 我也可以加上任 何補充解的一部分 換句話說 這和特定解一 樣具體且一樣正確 只要是能解 決齊次方程的任何東西加上這個 現在 我將選出一個能解決齊次方程的 好函數 就是這個 它就是負的餘弦函數 事實上 什麼能解決齊次方程式 好吧 它由正弦ω₀t和餘弦ω₀t來解決 以及這些函數的任何線性組合 因此 在所有這些函數中 我將選擇餘弦函 數ω₀t 並把它除以這個相同的函數 因此 這是補充方案的一部分 這就是我們所稱的補充解 即對應齊次方程的解 稱之為簡化方程 隨你怎麼叫它 因此 這是裡面其中一個傢伙 而我被允許這樣做 這仍然是採取我最初找到的那一個的特定解 並加上任何能解決齊次方程的內容 我在最初開始解非齊次 方程時已經告訴過你們 現在 我為甚麼選擇那個呢 好吧 我現在要計算什麼是極限 這 些人也是解決這個問題的好方法 這是一個解決這個問題的好方法 那個方程式 這個方程式 我現在要做的就是計算當ω1 趨近於ω0時這個函數的極限 那麼 結果是什麼呢 餘弦 ω₁t 減去 餘弦 ω₀t等於 ω₀ 平方 減去 ω₁ 平方 現在 你明白我為什麼這麼做了吧 如果只是讓這個叫omega 1的東西接近omega 0 我會得到無限大 什麼也得不到 但這裡的情況不同 因為我已經修復好了 分 母變成了零 分子也一樣 換句話說 我已經處於可以使用洛必達法則 的位置 那麼 我們就來應用洛必達法則吧 這是歐米伽的極限 當歐米伽1 趨近於歐米伽0時 你該怎麼做 你該對分子和分母對什麼進行微分 對 就是對歐米伽進行微分 如果奧米加1是變數 那就是改變 的東西 我所考慮的t是暫時性的 固定值 一個固定值 這有個固定值Ω零 在這個極限運算中唯一改變的是 它是Ω1 因此我根 據Ω1來區分它 你明白嗎 好吧 你現在沒有資格回答是或否 所以我根本不用問這個問題 但好吧 反問句 好的 讓我們區分這個表達式 關於ω1的上下部分因此 關於ω1的分子的導數是負的正弦ω1t 但我要使用鏈式法則 這是對這個參數、這個變數進行微分 但現在我必須乘以這個的導數 與Ω1有關的事 物 而這就是常 數 所以乘以t 底數的導數呢 至於 ω1 嗯 那是一個常數 所以它變為 0 而這部分則變為負 2 ω1 所以這是這個表達式的極限 當ω1接近ω0時 現在已不再是未定型了 答案是 正弦值相互抵消 這只是t乘以正弦ω 零除以二倍的ω零 所以 我們就得到了這個解 這是當ω1趨近於某個值時的極限 但並不是特定的那個 我們首先找到的解決方案 但這另一個也是 現在 這還是太多代數了 我的意思是 這裡發生了什麼事 呵 那是你應該知道的另一件事 好的 那麼我的問題是 這些的幾何意義是什麼 換句話說 那個函數看起來是什麼樣子 好吧 這又是一個三角函數恆等式 在你的書中 它只是被隱 藏在一行的一半裡 看起來隨隨便便的 彷彿大家都知道一樣 而且我知道幾乎沒有人知道這件事 但這是你的機會 因此b 的餘弦值減去 a 的餘弦值可以表示為正弦值的乘積 它是正弦 a 減 b除以 2 乘以正弦 a加b 除以 2 我相信 我唯一的疑問是 是否有 前面有個2嗎 我想是有的 我想一定有 讓我檢查一下 對不起 有2嗎 你知道 我不相信我的記憶 我會查一下 我查過了 是2 對 如果你必須證明這一點 可以使用正弦公 式來展開它 這將是一種好壞參半的方法 使用複數是最有效的方法 啊 對了 將正弦函數表示為指數形式 將正弦函數用指數來表示 你知道 就是反向歐拉公式 然後在這裡進行運算 接著將這兩個涉及指數的表達式相乘 而且取消、取消、取消、取消、取消 這就是你最後得到的結果 你明白我為何這麼做嗎 這是因為這個有 那種形式 所以 我們來應用這個公式於它 那麼 左邊是什麼 b 是 ω1t 而 a 是 ω0t 所以 這就是 omega 1t 而這是 omega 0t 好的 我們得到的 是餘弦ω1t減去 餘弦ω0t 這正是這個分數的分子 我正在努力掌握的這個函數 它會將其除以其振幅 所以 這就是這個常數因子 這是真的 這是一個小數字 因為我認為omega1 非常接近omega 0 而且越來越接近 但這告訴我們右邊是什麼呢 嗯 右邊是兩 倍的正弦值減去a減b 這很好 因為這些人 這有點類似 所以 那是歐米伽 0 減去 歐米伽 1 乘以 t 那是 a 減去 b 而我應該將它除以2 另一個則是相同 的情況加上 正弦ω0加上ω1除以2 時間 t 現在 這大概有多大呢 請記住 將 omega 1 視為接近 omega 0 那麼這大概就是 omega 0 因此 這一部分大約是 omega 0t 的正弦值 這部分則是件非常小的事 好吧 現在 我想知道的是這代表什麼 這個函數看起來是什麼樣子呢 我們想知道這個函數的外觀 是因為我們希望能夠看到它的極限就是那個東西 你無法僅憑幾何學判斷它的極限 除非你知道它長什麼樣子那麼 它長什麼樣子呢 其實 分析它的方法就是這樣的東西 那東西 你所想到的是…… 當然 你不能在不將等式另一側也除以相同 數值的情況下 只將等式的一邊進行除法運算 那裡也一定有 現在 那看起來是什麼樣子 要這樣想的話 這裡是某種正常類型的東西 頻率 omega 0 你知道 它正在做它該做的事 這是一條正弦曲線 它正在做那樣的事 這是什麼 想想這部分 振幅不同 這只是我之前給你的另一個例子 這裡是一種基本的純振盪 現在想 想其他所有使它乘以不同振幅的東西 好的 那麼那個東西看起來是什麼樣子的 嗯 首先我們要做的是繪製振幅線 現在 它們會是什麼樣子呢 這是極其的正弦函數 少量次數乘以 t 頻率很小 當正弦曲線的頻率非常低 接近零時 它看起來 會是什麼樣子呢 嗯 這表示它的週期會非常大 這裡有一個頻率很高的東西 這裡有一個頻率非常低的東西 現在 以低頻率來說 它幾乎無法起飛並達到這裡的水平 但它確實會這樣做 不過看起來是被設計成這樣 這係數讓它看起來更體面一些 這個係數相當大 所以這東西看起來是什麼樣子 我就不說了 暫停仔細分析它 這是一種持續一 段時間以合理速度上升的東西 然後 讓我們說那是一段很長的時間 然後它下降 然後它移動 你知道 如此類推 當然 在計算其振幅時 我們也必須願意接受它的負面 而且由於我沒 有正確弄清楚事情 至少我可以讓它正確交叉 因此 這是一張顯示這 逐漸變化的振幅的圖片 在中間 這是一種同時盡可能進行震盪的函數 但必須保持在這個振幅範圍內 所以它這樣做 現在 發生了什麼 當omega 一接近omega零時 這 個頻率會越來越接近零 這意 味著那條虛線的週期會越來越長 出去後就會無限上升 你永遠沒有機會再下來 你只能看到它不斷上升的初始部分 這就是這條曲線轉變為那條曲線的方式 現在 當然 這條曲線非常有趣 你一定在某處有過這樣的經驗 這就是所謂的拍頻現象 您書中有一半頁面解釋這兩個頻率 那就是他給你這個身分的那半頁 除了它以錯誤的形式呈現 使得很難理解 但是 不管怎樣 節奏是兩個頻率 當你將兩個頻率結合起來時 將兩個頻率非常接近的純 諧波結合 你得到的是一 條看起來像這樣的曲線 當然 你聽到的也是這樣 曲線的包絡線 你聽到那些間斷的線 你並沒有聽到 嗯 你聽到這個 你也聽到那個 但你聽到的是 而且 那就是優秀的小提琴手和大提琴手調整樂器的方式 他們先調準一 根琴弦 然後透過聆聽來調整其他琴弦 他們實際上並不是真的在聽 為了音符的聲音 他們只是為了 節拍而聽然後他們轉動琴軸 聲音便發出哇、哇、哇、哇、哇 最後 當嗡嗡聲消失時 他們知道兩根弦 已經調音正確 鋼琴調音師也做同樣的事情 當然 我這個非常糟糕的大提琴手 會使用調音器 那是另一種解決方案 更現代的解決方案 好的 哦 那就試試看吧 壞消息是 你在作業中的第六題 我沒有問你無阻尼的情況 我以為既然你們是成熟的公民 可以問問你們關於減震案件的情況 我首先警告你 你 必須了解這個記號 這可能是我用它所做最重要的事 你的書使用了這種共鳴 我對未來充滿信心 假設為零或f(t) 換句話說 這本書使用兩 組常數來描述這些方程式 如果現在是春天 我連RLC電路都不談 彈簧質量、阻尼、K、彈簧 常數然後你除以 M 就會得到這個 你應該很熟悉這個 只有在除以K和M之後 才能稱之為自然頻率的平方 因此 ω₀ 是自然頻率 也就是無阻尼的自然頻率 如果這個項不存在 ω₀ 就會給出系統想要振動的頻率 那股小泉想要自己震動 現在 更複雜的是視覺效果使用了 這兩個都不是 視覺上使用 X 虛線加 B 乘以 X 優 我認為我們將來必須解決這個問題 但目前只能暫時接受 除了KX之外 這也是一種功能 再次強調 這是一種功能 因此 換句話說 問題在於 B 沒問題 不會與 C 混淆 另一方面 這並不是那個 K 因為這個 K 可以轉換成 要麼你必須假設質量為一 要麼你必須除以它 這樣的話 所以 我的意思是不要一遇到問題就想到某個公式 然後直接套用 認為它在任何情況下都適用 在另一個地方 你必須使用這些等價關係 你必須觀察並查看基本方程式是如何書寫的 然後推斷出常數應該是多少 現在 當我們之前分析過這個問題時 有一個名稱叫做 而在朗讀過程中 出現了 自然頻率 我稱它為自然 阻尼頻率 這本書稱之為虛擬頻率 它被稱為偽頻率 因為這個函數 如果右邊是零 但有阻尼 這個函數不會週期性出現 它會衰減 它會這樣做 儘 管如此 它仍然會穿越x軸 每隔一段時間 對不起 它會在固定間隔處與 t軸交叉 因此 幾乎所有人都隨便稱它為頻率 而且了解這是自然阻尼頻率 現在 它們之間的關 係是由我曾經畫給你的小 圖所示 但我沒有強調足夠 這裡是 omega-0 這裡是直角 這邊是 omega-1 這邊是阻尼 換句話說 這是由彈簧固定下來的 這是彈 簧本身自然的頻率 如果你有阻尼 如果在運動中進行阻尼 那麼阻尼越多 這 邊就會越大 因此 ω₁就會越小 阻尼越大 振動阻尼的頻率 這有點直覺 反過來也是一樣 如果你將阻尼減少到幾乎為零 那麼 你將使omega-1幾乎和omega-0一 樣大這必須是一個直角 因此 如果有的話 共振時的阻尼非常小 因此此 自然阻尼頻率幾乎與原始頻率 即自然頻率相同 因此 它們之間的關係是 ω₁² 等於 omega-0 平方減去 p 平方 而這來自特徵根 因此 從特徵根來看 阻尼方程的解 所以 我們之前就這麼做了 我只是提醒你一下 現在 第三個頻率即 將進入 我現在要問 你的這個問題是 如果你有一個阻尼彈簧 好的 當你以第三種頻率對 其施加一個運動時會發生什麼 換句話說 驅動一個阻尼彈簧 讓我們用x吧 我沒關係 我會改用y 因為我現在處於y模式所以 我們的方程式看起來是這樣的 就跟以前一樣 只是現在 我將以不定的頻率駕駛它 cosωt 而我現在的問題是 它無法正確地產生共鳴 你真正感受到共鳴的時候 正是當你沒有阻 尼的時候 那才是振幅可以無限增加的時刻 但是 無論如何 無論實踐多少次 你從來沒有過 總 會有某種阻尼 除非你是一個完美的真空或者類似的东西 總是有一些阻尼 所以 p 不是零 它不能是完全的零 所以 問題在於 哪個歐米伽 給予的頻率在輸入中 輸入 的頻率為何會 產生最大的振幅 我們解決了無阻尼情況下的 這個問題 答案很簡單 Ω1 應該是Ω等於Ω零 但當它受到阻尼時 答 案就不一樣了 我 我不 我並不是在問你 一般來說要這麼做 我給你一些數字 但儘管如此 這情況仍然成立 所以我給你 我給你 p 的具體數值 和奧米加零 這是在作業題目上 當然 其中一個與你的問題有關 與你的講習有關 但答案是 我要告訴你這個答案的 總體公式 因為要確保你不會得到 完全偏離軌道 我們稱之為奧米伽 共振 共振的omega 共振的omega 這並非真正的共鳴 你的書 稱之為實用共鳴 再次強調 大多數人只是稱之為共鳴 這種感覺 你懂我的意思吧 就是那種東西 確實是這樣 歐米伽 R 就是這樣 我應該用同樣的方式記下來 歐米伽一 平方根為ω₀平方減p平方 你會期待什麼 我想我會預 期ωr為ω₁ 阻尼系統具有 一個自然頻率 Omega 一 共鳴頻率 應與阻尼系統的自然頻率相同 他想做這件事 答案是 這不對 它是平方根 稍微低一點 它稍微低一點 它是Ω零 的平方減去二乘p的平方 好的 我想我們最好在還能離開的時 候離開 至少你這 次的演講會是安全的