【北京理工大學】《工程流體力學》精品課 P15 - 16. 2.2.1 靜力學微分方程

那麼下邊我們來進一步研究 流體淨平衡微分方程及其積分 也就是說 處於靜止狀態下的流體 它的平衡微分方程 以及它的積分怎麼處理 首先第一個我們來看流體平衡微分方程 在靜止流體中 我們隨意的取一個平行六面體 邊長是 dx dy dz 那麼這個平行六面體呢 我們來分析它的受力 它的受力無非是兩個 一個是質量力 一個是表面力 那麼它的質量力呢 我們可以一般性的給它寫成 f 等於 m f 一般性的可以給它寫成這個樣子 那麼這個質量呢 就等於密度乘以它的體積 dx dy dz 那麼這是質量力 那麼下邊呢 我們再看表面力 那麼表面力呢 六個面 說到六個表面力 對吧 那麼這六個表面力呢 其中根據剛纔我們討論的靜壓牆的特性 表面力是垂直指向作用面的 也就不是表面力 靜壓牆了 是垂直指向作用面的 那麼因此呢 在這兒 沿着X軸方向 那麼PY PZ 它的投影都是0 因此呢 我們來看沿着X軸方向的表面力 它的合力 那麼就應該是PXYZ減去PX加點XYZ 然後呢 這個壓差乘以作用面積dy dz 那麼在這裏邊呢 PX加上點XYZ 我們可以用泰勒展開 可以用泰勒展開 那麼把它變成爲PXYZ加上偏P偏X點X 那麼可以給它用泰勒展開 保留它的一極項 那麼因此呢 它又可以寫成爲 也就是說 流體微團沿着X方向的表面力的合力 那麼可以寫成爲是負的偏P偏X點Xdyz 好了 那麼流體微團處於靜止狀態 它的合力必然爲0 也就是說 我們下邊的沿着X方向給它列方程 那麼沿着X方向的 它的質量力是弱大X點Xdyz 它的表面力是負的偏P偏X點Xdyz 那麼兩個相加應該等於0 那麼這個呢 就是沿着X軸它的平衡方程 我們在這看沿着X方向質量力是這麼大 沿着X方向的表面力是這個 那麼處於平衡狀態嘛 所以它的平衡方程就是 那麼在這裏面 我們把點Xdyz給它消去 那麼就得到了下邊的這個微分方程 那麼這個方程呢 就是處於靜止狀態下的流體 那麼它沿X軸方向的所滿足的微分方程 那麼同樣沿着Y方向沿着Z方向都有類似的結果 那麼因此呢 我們得到最後得到流體微團處於平衡狀態 處於靜止狀態 那麼它的微分方程是這個樣子 那麼這個方程呢 我們把它叫做歐拉靜力學微分方程 是瑞士科學家歐拉這個人 在1755年導出來的 看到這個微分方程呢 大家感到有點這個害怕 就覺得流體靜力學沒那麼複雜呀 那麼流體靜力學裏邊的東西 我們還要去求解這樣一個微分方程 有點難度 有點困難感覺 其實沒事 我們下邊來討論對於這個微分方程 我們怎麼樣給它積分出來 下邊我們來討論平衡微分方程的全微分形式 那麼上邊這個式子呢 是X等於羅分之一 偏P偏X Y等於這個 Z等於這個 那麼我們把這個三個方程呢 等式兩邊 那都分別乘以底X底Y底Z 乘完了以後呢 我們再給它加起來 那麼這樣呢 我們就得到這個偏P偏X底X 加上偏P偏Y底Y 加上偏P偏Z底Z 等於羅客戶X底X加上Y底Y加上Z底Z 變成這個樣子 那麼這時候呢 大家看等式左邊 恰好是壓強的全微分 那麼因此呢 我們就得到底P等於羅底X X底X打Y底Y打Z底Z 那麼我們把這個方程 就叫做歐拉平衡微分方程的全微分形式 也稱爲平衡微分方程的綜合式 那麼有了這個以後呢 下邊我們就要再討論 這個方程怎麼積分 那麼這個方程怎麼積分呢 我們先來看一下 它能積分需要些什麼條件 那麼也就是說 我們能夠把這個微分方程 把這個全微分形式的微分方程 要能給它積出來 需要哪些條件 那麼這裏邊呢 我們來看 我們把這個方程的給它變形成這個樣子 變形成這個樣子 那麼這時候呢 流體處於靜止狀態時 這個方程是必然滿足的 那麼下邊呢 我們就要問一個問題 這個方程它可積分的條件是什麼 它能夠積分出來的條件是什麼 那麼也就是說等式兩邊 左邊能積分 右邊能積分 那麼條件是什麼