【北京理工大學】《工程流體力學》精品課 P17 - 18. 2.3.1 靜壓強分布規律

同學們大家好 我們繼續我們的課程 前面我們討論了流體淨壓牆 它的兩個基本特性 以及流體淨壓牆 它的一些規律和一些特徵 那麼現在我們開始討論第三節 流體淨壓牆的分佈規律 本節討論是處於絕對靜止狀態下 僅有重力作用的流體淨壓牆 那麼我們先討論流體淨壓牆的基本方程 大家看右邊這個圖 這個圖表示一個容器裏邊裝有一部分液體 在液體的表面受到壓強P0 那麼我們要研究的是在液體內任意一點處 它的壓強P是怎麼樣分佈的 在這裏邊我們認取一個基準線 認取一個基準線 那麼以這個基準線 它有不同的高度Z 頁面的高度是Z0 頁面處的壓強是P0 那麼對於只有重力作用的絕對靜止狀態下的流體 它的質量力只有重力 則單位質量所具有的質量力 我們前頭說過 它應該是X等於0 Y等於0 Z等於-Z 我們把它帶到靜力學權威分方程裏邊 那麼我們可以得到 底P等於弱克弧X點X加Y點Y加Z點Z 那麼把大X大Y等於0 大Z等於-Z帶入 我們就得到底P等於負的弱G點Z 那麼這個式子積分很簡單 這裏邊有一個 如果密度爲常數 那麼這個積分一下就積出來了 那麼密度在什麼情況下等於常數的 那麼下邊我們來看 如果把密度認爲是不可壓縮的 整個流體裏邊介質是均勻的 那麼這樣的流體它的密度爲常數 對上式積分 我們就得到了流體靜力學基本方程式 P等於負的弱GZ加上C 那麼這個C是一個積分常數 這個C是一個常數帶定的 那麼這個常數怎麼定呢 我們下邊來看一下這張圖 那麼在這個圖裏邊我們來看到 當Z等於Z0的時候 P等於P0 對吧 那麼因此我們就得到 當Z等於Z0的時候 P等於P0 那麼把這個帶入到這個基本方程式裏邊 帶入到基本方程式裏邊 那麼我們就得到 C等於P0加上弱GZ 加上弱GZ0 然後我們把這個C帶定常數C 給它再帶回去 那麼我們就得到容器內的壓強分佈 應該是P等於P0加上弱GZ0 這是C了 然後減去弱GZ 然後把這個弱G給提出來 那麼又可以寫成P0加上弱GZ0-Z 那麼Z0-Z就是H 因此它又可以寫成爲P0加上弱GH 那麼大家看一下這個式子 P等於P0加上弱GH 說明壓強與H是一個線性關係 也就是說 H越大或者說水越深 壓強就越大 對吧 那麼因此我們得到了這個結論 這個結論就是在重力作用下靜止流體中 壓強隨深度H的變化 是一個線性變化關係 那麼這是一個 另外大家看這個基本方程式 那麼這個基本方程式 我們可以把負的弱GZ給它移過來 然後在等式裏面都除以弱G 那麼這個又怎麼樣呢 減壓強分佈公式又可以寫成爲這個樣子 那麼寫成這個樣子 這個裏邊是Z加上P除以弱G等於常數 那麼這個Z是什麼意思 這個P除以弱G是什麼意思 那麼這裏邊呢 我們來看看它的物理含義 第一個這個Z是一個高度 是一個高度 也就是說某一點的它的位置高度 我們把它呢叫做位置水頭 這是第一個 那麼第二個我們來看 P除以弱G 我們把它叫做壓強水頭 也就是說這個P是壓強 那麼把它叫做壓強水頭 那麼它的物理意義是什麼呢 就是單位重量液體所具有的壓強勢能 我們把它叫做壓能 前面這個Z呢 我們把它叫做位能 是位置勢能 P除以弱G呢 我們把它叫做壓能 就是壓強勢能 那麼兩個加起來又叫什麼呢 那麼這兩個加起來 我們把它叫做測壓管高度 爲什麼叫測壓管高度 等一下我們再說 那麼也叫它測壓管水頭 另外還有一個我們來看 它這兩個加起來 又是位能加上壓能 是總的勢能 因此呢 這兩項之和又表示單位重量液體 所具有的總勢能 那麼好了 在靜止流體裏邊 任意一點 任意兩點之間都滿足這個關係 是這個常數是不變的 因此呢 這個又表示什麼呢 表示在流體裏邊 靜止狀態下的流體裏邊 它的總勢能爲常數 任意一點總勢能都是常數 流體靜理學基本方程式 是這個樣子 那是這個樣子 Z等於加上P除以邏輯等於常數 那麼我們來看這張圖 這張圖呢 是在這個容器裏邊 我們在A點接了一個管 接了一個褶管上來 在B點也接了一個褶管上來 如果這個整個都是連通的 那麼這個時候A管裏邊的這個頁面 與B管裏邊的這個頁面 是不是處於等壓面或者水平面 大家說那肯定是 一碗水端平就是這個意思 對吧 那麼這個說明什麼呢 我們來看 在A點 它有一個位置高度 位能Za 在B點也有一個位置高度 Zb它的位能 那麼在A點 它還有一個剩下來的 這個就是壓能 那麼在B點 這也有一個壓能 那麼兩項之和怎麼樣呢 大家在這看應該是一個高度 也就是說 Za加上Pa除以邏輯 應該等於Zb加上Pb除以邏輯 那麼也就是說應該有這個式子 對吧 應該有這個式子 那麼這個式子表明什麼呢 就表明 在均質連通的靜止液體中 各個點A點B點任意區 各個點的測壓管水頭 它是相等的 對吧 那麼這個呢 物理意義 它的物理意義 就是靜止液體中各點處單位重量液體 所具有的總勢能是相等的 我們把這個叫做測壓管高度 測壓管高度 那麼測壓管高度是相同的 所具有的總勢能是相等的 對吧 那麼這個呢 是關於靜壓牆分佈的一個特點 那麼下邊我們再看看 在液體內任意兩點間的壓差 那麼也就是說 在這個容器內 我們這還有一部分液體 那麼在液體裏邊任意兩點A和B 它們之間的壓差有多大 它們的垂直距離是HAB 垂直距離是HAB 那麼下邊我們來看一下 在A點的壓強 那麼在A點的壓強呢 大家看啊 根據這個公式 在A點的壓強應該等於負的邏輯Z加上常數 對吧 好 那麼按照這個公式 我們來看一下 那麼在A點處的壓強 那它應該等於負的邏輯ZA加上C 對吧 這是靜壓牆分佈公式 那麼在B點處的壓強 應該等於是負的邏輯ZB加上常數 對吧 那麼這個時候PB減PA就是壓差 那麼C減C沒了 因此呢 負的邏輯ZB減去負的邏輯ZA 就是邏輯ZA減ZB 那麼ZA減ZB就是這個HAB 就是這個高度差 那麼因此呢 我們就得到PB減PA 等於邏輯HAB 把這個呢 也可以寫成PB等於PA加上邏輯HAB 那麼這個說明什麼呢 這個說明 液體內兩點AB間的壓差 它等於兩點間豎直方向單位面積液柱的重量 邏輯HAB 對吧 就等於這個 這個結果呢 是非常好的 這個結果非常有用 對吧 那麼下邊我們看第四 帕斯卡原理 帕斯卡原理呢 它是這麼說的 處於平衡狀態下的不可壓縮流體中 注意啊 平衡狀態靜止狀態下不可壓縮的流體 水啊 油啊 什麼的 那麼任意一點處 比如說剛纔那個A點處 那麼它的壓強發生了一個改變 也就是說有了一個ΔP的增量 那麼這個增量 帕斯卡原理說 A點處發生的這個增量能等值的傳遞到各個點上去 那麼這個怎麼來理解呢 我們來看 在平衡狀態下 PB與PA的關係 有這個關係 也就是說 PB等於PA加上邏輯H 那有這個關係 這是我們剛纔得到的 對吧 那麼下邊我們假設 在A點 我們壓強增加了一個ΔP 那在A點 它的壓強增加了一個ΔP 那麼這時候B點的壓強呢 就變成了P一撇兒 那麼P一撇兒 按照這個式子應該等於什麼呢 就等於PA加上ΔP 增加了一個 PA加上ΔP 然後加上邏輯H 對吧 那麼把這個給它打開 那麼就等於PA加上邏輯H 再加上ΔP 那麼PA加上邏輯H是什麼呢 就是PB 也就等於PB加上ΔP 因此 當PA增加了一個ΔP的時候 那麼PB B點的壓強 由原來的PB 變成了PB加上ΔP 也就是說 A點的壓強增量 等值的傳遞到了B點 對吧 那麼這個就是帕斯克原理 那麼按照這個原理 我們可以設計什麼 也很多液壓基金 對吧 那麼這個大家可以去下去找找例子 考慮考慮