【北京理工大學】《工程流體力學》精品課 P26 - 28. 3.4 曲面作用力舉例

下面我們看一個立體 圖中顯示的是一個水庫的閘門 那麼這個閘門 上面有一個閘板,AD 在閘板的下邊連接一個扇形的閘門 我們假設閘門的寬度B是一致的 扇形閘門的半徑R也是一致的 那麼我們在原先O點 與O點在同一個水平線上 在這兒安置一個鉸鏈 安置一個鉸鏈 那麼這樣的在這個閘門的左邊是靜止的水 靜止的水 那麼對於這個問題 我們要求第一個作用在扇形閘門上有多大的作用力 第二個 如果在C點我們施加一個力P 那麼這個力P有多大 才能使得這扇形閘門處於關閉狀態 那麼大家看一下這個問題 這個問題呢 第一個扇形閘門本身是一個曲面 是一個曲面 那麼對於這個扇形閘門 它的力分水平方向作用力和豎直方向作用力 那麼水平方向的作用力呢 我們剛纔講了 對於水平方向的作用力 我們第一個要把這個曲面向垂直於X軸的面投影 得到一個投影面積 第二個 我們在這個投影面積的行心處得到它的壓強 那麼用行心處的壓強乘以這個投影面積 那麼就得到水平方向的作用力 那麼第二個 豎直方向作用力 豎直方向作用力呢 首先我們來看 這個液體水是在閘門的下面 因此它的力呢 應該是方向向上 那方向向上 那麼這是第一點 第二點 這個豎直向上的這個作用力的大小 應該等於水的重度乘以它的壓力體 那麼這個CD這個作用面 它的壓力體在哪呢 我們來看 在這個扇形閘門上任意找一點 那麼這一點的壓強等於邏輯H 那麼那個H在哪呢 那個H在哪呢 那麼在這我們看 這個H應該是這麼高 對吧 是這麼高 那麼這個H呢 應該是等於這個大H 加上R乘以sinθ 是這個 那麼這樣呢 這個H乘以一個小面積 乘以一個小面積 就是AZ呢 是CD面在垂直於Z軸的平面上的投影 是這一塊麪積 那麼高度乘以一個小面積 再積分出來的是這一塊體積 那麼因此呢 CD面 它的壓力體是這一塊 對吧 然後呢 邏輯乘以這塊壓力體的體積 那麼就得到它的向上的浮力 那麼想到這一點 我們下邊來看 第一作用在閘門上的力 分水平方向的力和垂直方向的力 那麼水平方向的力呢 應該等於是投影面積處的 行心處的壓強乘以投影面積 那麼我們來看 CD面在垂直於X軸的平面上的投影面 投影面積是這一塊 那麼這一塊的行心呢 是在這點 那麼這點是多少呢 就是大H加上二分之一R 大H加上二分之一R 那麼因此邏輯乘以大H加上二分之一R 這個是行心處的壓強 那麼這一塊的面積有多大呢 就是它的高度乘以寬度 高度是R 寬度是B 就是RB 我們把相應的數據給帶進去 相應的數據帶進去 那麼就得到水平方向的作用力是882900牛頓 那麼這是第一個 就是沿着水平方向的分力 那麼沿着豎直方向的分力呢 我們來看 剛纔說了 CD作用面的壓力體是由ABCDA爲乘 那麼這一塊的體積有多大呢 那麼這一塊的體積應該是這一塊體積 再加上這一塊體積 那麼上頭這個體積呢 應該是高度H乘以寬度R 再乘以這個R 再乘以寬度B 那就是這一個 那麼這一塊的體積呢 就應該是πR平方的四分之一 再乘以寬度B 對吧 那麼這個就是壓力體 那麼有了壓力體 我們就得到作用於CD這個作用面上 它的豎直向上的浮力就是這麼大 對吧 那麼就是Rho gVp Vp等於這個 那麼把這個擱在這 然後再把相應的數據帶進去 我們就得到浮力是這麼大 983692牛頓 對吧 那麼知道了X方向的分力 知道了豎直方向的分力 那麼這時候它的合力是多少呢 那麼它的合力就應該是平方和開根 對吧 那麼這個就得到大概是1321.8千牛 那麼除了這個以外 那麼它還有一個方向 對吧 那麼合力的方向 合力的方向 它念它α就等於Pz除以Px 那等於1.114 那麼反過來就求到 夾角等於48度 那麼這樣的就是作用在扇形閘門上的合力 它的大小和方向 我們就得到 那麼這是第一個問題 第二個問題 我們看如果在C點施加一個力P 豎直向下的力P 那麼這個力至少有多大 才能使得扇形閘門處於關閉狀態 對吧 那麼對於這個問題 我們看怎麼樣求解 那麼這個問題的求解 應該是扇形閘門CD 它本身處於平衡狀態 要求力矩平衡 也就是說對O點的力矩 合力矩爲0 對着角鏈的合力矩爲0 那麼對着角鏈的合力矩爲0 我們看力P對這個角鏈的力矩 就等於力P乘以R 就乘以R 那麼這是一個 那麼我們再看左邊靜止流體 對閘門上有作用力 那麼這個力對角鏈的力矩有多大 那麼這個力對角鏈的力矩 我們分爲兩部分來求 一部分是水平方向的力 對它的力矩有多大 第二個是豎直向上的力 對這個角鏈的力矩有多大 對吧 那麼首先我們來看 作用在這個扇形閘門上 它的壓強分佈 那麼壓強分佈應該等於若際H 那麼在這一點壓強 那麼壓強等於若際H 這個H是這麼高 那麼因此就等於若際大H加上Rsinθ 那麼這是一個 那麼作用在這一點上 作用在這個小面積上 它的作用力沿X方向的分力 就是dPx等於壓強乘以cos 壓強乘以面積是力 再乘以cosθ 就是沿着水平方向的作用力 微小作用力 那麼dPz呢 就等於PsinθdA 那麼好 我們看dPx 這個水平方向的dPx 那麼dPx對這個角鏈力矩是多少呢 就是dPx乘以這個力臂 那麼這個力臂是多大呢 就是Rsinθ 對吧 就是這麼大 然後再給它加起來 那麼這個是水平方向的力 對角鏈的力矩 那麼豎直方向的力呢 是向上的 那麼這個向上的力 乘以這個力臂 乘以這一段力臂 那麼就是對角鏈的力矩 那麼這個力臂等於多大呢 就應該等於是整個的R-Rcosθ 這一段就是力臂 對吧 好 我們下半來接着討論 那麼對於水平方向的力 我們來看 那麼水平方向的力矩呢 是dPx 微小力矩 是dPx乘以力臂 那麼dPx剛纔我們知道 它等於Pcosθ dA 那麼這個力臂呢 就是Rsinθ 對吧 然後我們把這個整理一下 整理一下 Pcosθ擱在這 那麼dA呢 我們用Rsinθ 就是小微圓弧 乘以b 那麼把這個作爲dA 然後再乘以Rsinθ 那麼把這個整理一下 把這個整理一下 那麼我們就得到 它等於bR² 把這bR²拿出來 然後Pcosθsinθsinθ 對吧 那麼我們得到這個 好 那麼得到這個以後呢 我們把這個呢 積分 兩邊積分 對吧 那麼兩邊積分呢 我們來看 這個積分擱在這 那麼把這個進行積分 θ的變化範圍呢 是從0到2分之π 對吧 把這個拿出來擱在這 那麼Pcosθsinθ積分 然後bR²擱在這 0到2分之π 那麼P等於多少呢 前頭我們知道 這個壓強等於 若際客戶H加上Rsinθ 然後Pcosθsinθ擱在這積分 那麼這個積分積出來是什麼呢 積出來就是這個 對吧 那麼等於1412640牛頓米 那麼這個呢 是水平方向分離 對角鏈的力矩 那麼下邊呢 我們再看 垂直方向的分離 對角鏈所產生的力矩 垂直向上的分離 那麼對角鏈產生的力矩 那麼在這兒呢 我們來看 微圓力矩 微圓力矩呢 就是dPz 就是垂直向上的微小的力 乘以力B 那麼這個dPz呢 前頭我們說過了 它等於PsinθdA 等於這個 那麼這個力B呢 這個力B呢 就是這一個 那麼這一段呢 應該等於是 R-Rcosθ 這個 然後我們把這個給整理一下 dA呢 還是用BRdθ 然後這邊R提出來 那麼1-cosθ 得到這個 然後把這BR平方 擱到這兒來 那麼Psinθ擱到這兒來 然後乘以1-cosθdθ 擱到這兒來 然後這個呢 我們把P等於 Rho g H加上Rsinθ 擱在這兒 那麼 sinθ擱在這兒 1-cosθ 對吧 那麼這樣呢 我們就得到了 微圓力矩 表達式是這個 那麼在接下來 我們對它進行積分 那麼這個積分呢 就是把剛纔那個擱在這兒 然後對這一項進行積分 那麼積出來呢 積分的過程呢 我們就不去說它了 那麼積分的過程呢 積分的結果呢 就是數值方向的分離 對O對那個角鏈的力矩 等於1538436牛頓米 那麼得到這個結果 那麼因此呢 我們來看 對這個角鏈來說 應該是得到力矩平衡 那麼力矩平衡就是什麼呢 就是要 P大P這個施加的力 乘以力BR 應該等於mx加上mz 對吧 那麼mx呢 等於這個剛纔算的 mz呢 等於這個 那麼把這兩個帶進去 除以R 那麼我們就得到所需的力矩P 等於P等於983691牛頓 對吧 那麼這個呢 就是利用這個作用在曲面上的力 以及作用在曲面上的那個力的力矩平衡方程 來糾結這個問題 關於這個例子呢 很多 我們呢 先講這一個 那麼下邊呢 我給大家 我們來討論一個問題 下邊來討論一個問題 那麼這個問題呢 大家看這邊這個圖 右邊這個圖 這個圖呢 是這樣子 在這個水箱裏面裝了這麼多水 那麼在這個水箱的壁面上 我們打一個洞 然後在這個洞裏邊呢 我們放入一個圓球 假設圓球非常的光滑 跟這個洞的壁面沒有任何摩擦 沒有任何摩擦 那麼就這個問題 我們看這個它有一半在水裏邊 有一半在外邊 那麼有一半在水裏邊 那麼水呢 必然對它有一個浮力 對吧 水對它有個浮力 那麼在這個浮力的作用下 那麼這個小球呢 就會會不會轉動起來啊 會不會轉動起來啊 對吧 那麼這個呢 大家想一下啊 如果要是能轉動呢 那麼這個浮力是不可避免的 對吧 有浮力必然有這個水 就必然有浮力 那麼有浮力呢 就會產生力矩 一旦產生力矩呢 它就會轉 那麼因此呢 大家看這不是一個湧動機嗎 是吧 是一個湧動機啊 那麼你們想能不能實現呢 爲什麼呢 啊 那麼這個問題呢 很有意思啊 那麼這個問題在歷史上呢 又把它叫做 乳科夫斯基遺體啊 那麼大家下去想一想啊 好下邊呢 給大家留個留幾道題啊 那麼這幾道題呢 大家下去做一做好吧 好 今天課到這 謝謝大家