【北京理工大學】《工程流體力學》精品課 P36 - 38. 6.1.1 一元流動能量方程

下邊我們來討論 聯想流體一元流動的能量方程 那麼聯繫性方程是流動起來以後 必須得滿足的 對吧 但是聯繫性方程沒有說我流動的原因 是什麼 爲什麼會流動 那麼這一節我們來討論 就是說在力的作用下 這個流體就開始流動起來了 在力的作用下 它開始流動起來了 那麼一旦它流動起來 那麼它必須滿足的方程是什麼 那麼現在我們來看 第一個我們先來推導一下歐拉方程 那麼這個推導我們來看 第一個在流暢中認取一條流線 那麼也就是在流暢中 我們取了這麼一條流線 那麼這是一個 那麼第二個 我們沿着這個流線 取一個小圓柱 把這個小圓柱當做流體圍團 那麼這個小圓柱 長的是點s 長是點s 這麼一個小圓柱 半徑位R 半徑位R一個小圓柱 好 那麼現在我們來看 圓柱長度是點s 它的小端面有兩個小端面 那麼這兩個小端面 我們把它叫做 底a 叫做底a 好 那麼這是一個 那麼在這 在這我們來看一下 在這個s處 這是s處 這個是s加上底s處 那麼在s處它的壓強是P 因此在這個端面上的壓力 就是P乘以底a 那麼在這個面上 在這個面上 那麼在這個面上 它的壓強是P克弧s加上底s 對吧 P克弧s加上底s 那麼給它態度展開 是不是變成這個樣子 對吧 那麼這樣經過態度展開 那麼這點的壓強就是這麼大 那麼這個作用在底a 端面上的力 就是 壓強乘以小面積 對吧 壓強乘以小面積 好 我們來看 就這個小微團 我們要列它的動力學方程 要列它的動力學方程 那麼它的動力學方程 我們怎麼列 動力學方程 實際上就是F等於ma F等於ma 那麼也就是說 這個小微團 它沿着流線運動 然後我們給它施加了力 那麼在這個力的作用下 那麼它有一個運動方程 那麼下邊我們來看 就這個小微團 它受力有哪些 第一個 這個小微團有表面力 有表面力 那麼這個表面力 剛纔我們說了 在s處 它有這麼一個P乘以底a的力 那麼在s加上底s處 在這個端面上 那麼它有一個 P加上偏P偏s 底s克侯底a 有這麼一個力 對吧 那麼這個力怎麼來的 剛纔我跟大家說了一下 那麼這個是表面力 那麼除了這個以外 大家看 這個圓柱不僅僅有端面 它還有圓柱面 那麼在圓柱面上有沒有表面力 在圓柱面上有沒有表面力 那麼在這兒 我們說 它的那個 我們是沿着流線曲的這個微團 對吧 沿着流線曲的這個微團 那麼因此在這個圓柱側表面上 圓柱側表面上 那麼在這兒 它要有的話 那麼就應該有摩擦力 有摩擦力 那麼如果它要是再有摩擦力的話 這個問題就比較複雜了 那麼因此 我們把問題給它解設一個假設 做一個假設 給它簡化一下 那麼簡化一下就是什麼 我們認爲流體是離向流體 那麼如果流體是離向流體的話 那麼離向流體沒有粘性 所以這個表面就沒有摩擦力了 那麼因此 我們設爲離向流體的時候 那麼側面是沒有摩擦力的 因此表面力只有這個端面的壓力 端面的力 對吧 那麼這是第一個 流體微團 除了有表面力以外 它還有重力 它還有質量力 那麼我們來看 這個質量力 在這兒 首先它肯定是有重力 對吧 那麼這個重力 我們知道 重力就等於它的質量乘以它的加速度 那麼它的質量 應該等於它的體積乘以它的密度 就是它的質量 那麼重力加速度是方向向下的 那麼因此 我們來看 端面就是底A 長度是底S 因此底A底S就是它的體積乘以密度 就質量再乘以G 因此重力就等於 羅繼底A底S 就等於這個 那麼這裏邊 我們假設 流體微團只受重力場作用 只受重力場作用 那麼因此 我們在這兒又有一個 就是重力 只有重力作用 好 那麼這個重力 它在流線的 因爲我們等會要沿着流線的方程 那麼必須討論它沿着軸線的投影 那麼這個重力沿着軸線的投影是什麼 實際上就是這個力 乘以cos這個加角 那麼也就是說 這個力乘以cosθ 就是這個θ角 乘以cosθ 那麼這個是重力沿着切線方向的分量 對吧 注意它的方向 那麼這樣 我們有了這個力的分析以後 有了這個力的分析以後 那麼下邊我們來列方程 根據牛頓第二定律 沿着流線來列方程 那麼這個方程大家看 這個力就是作用在s位置上的表面力 對吧 壓強乘以小倍元面積 這個力是作用在s加ds的 那個端面上的作用力 表面力 那麼然後這個是重力沿着流線的投影 那麼這個就是合力F F等於ma 那麼m就是指密度 就是密度乘以dAdS 對吧 這個就是指量m 然後As就是沿着流線的加速 那麼這樣我們就列出了它的動力是方程 對吧 那麼這個方程我們整理一下 PdA-A 就剩一個負的dA 對吧 然後這個就是偏P偏SdSdA 那麼這有dAdS 那麼我們把dAdS給它削去 給它削了去 那麼削了去以後 我們這兒就可以得到 就可以得到這個 對吧 大家看一下 這一項 若G 這一項減了以後 就是PdA減去克弧 P加上這個 那麼就剩下一個負的偏P偏SdSdA 那麼這個 是這樣 這個是這樣的 那麼把dSdA dSdA削去 然後把負號都給它移到一邊 那麼這個就變成Gcosθ 擱在這兒 這個削去它就變成 偏P偏S 擱在這兒 對吧 那麼這個就變成若As 擱在這兒 然後都被若除 那麼就變成了這個樣子 就變成這個方程 那麼這個方程裏邊 還有一個Cosθ 那麼Cosθ就是偏C偏S Cosθ就是偏C偏S 對吧 那麼這是一個 還有一個As As沿着流線的導數 那麼它應該等於底微底T 對吧 一元流動 底微底T就變成了 偏V偏T 加上V偏V偏S 那麼我們把這個給它帶到方程裏邊 帶到這個方程裏邊 那麼偏Z偏S變成這個 對吧 As等於它變成這個 給它擱進來 那麼這樣的這個方程就變成了 G偏Z偏S 加上 這個就是兆斜 那麼這個As就變成這個 擱在這兒 那麼這樣的我們就得到流體微團 它運動的微分方程 運動的微分方程 那麼這是這個 那麼這個方程 我們把它又叫做歐拉方程 我們又把它叫做歐拉方程 那麼剩下來就是這個方程 微分方程還比較麻煩 看上去比較好像不好求解的樣子 那麼下邊我們一定要把它再積分出來 纔好用 對吧 那麼下邊我們看它一下這個積分