【清華大學】《大學物理》（國家級精品課）上 P6 - 6. 6教學錄像-相圖

我們下面補充一段像圖 像圖是對運動的一種描述方式 我們以前講過我描述一個粒子的運動 我用這個粒子在t時刻的位置 就是r矢量括弧t就可以了 那它的速度就是r一點 r一點是代表為時關於時間的一階倒數 這種描述就所謂用運動方程的方式來描述 這種描述有時候是不完備的 我們往往用位移和速度 或者用腳位移和腳速度的關係圖來描述運動 這個圖叫像圖 我記得我以前說過 一個粒子我描述一個粒子的時候 可以用它的位置和它的動量來描述 這種描述形成的空間叫像空間 好了 現在我們用一個粒子的位置或者速度 位置和速度或者腳位移和腳速度的關係圖來描述 這種描述的方法就所謂的像圖 這個像和像空間聯繫在一塊 我們以腳位移和腳速度的關係為例來討論 假如一個體系 它在某一時刻的位置角度是set 那在這個時刻它的腳速度是set一點 我們就把set一點和set之間的關係成為像圖 我們下面用這個粒子來講 我講的有一個青桿連著的一個小球 剛性的青桿連著一個小球 這個樣子 我以逆時針方向定義角度 這個時候set等於零 然後set慢慢慢慢大 set等於二分之π set等於π 二分之三π set等於二分之π二π等等 反過來角度會負的 這樣描述 那麼沿著順時針方向的腳速度應該正的對不對 注意我們就規定按著說錯了按著逆時針方向 腳位移是正的腳速度也正的 我看一下它的像圖應該是什麼樣子 首先我剛才說過了 像圖可以來描述運動狀態 變成像圖比運動函數 包含更多的信息 可以完備的描述運動學的內容 我們就以這個例子看一下 我們看一下這個板 角幅度的擺動就是set角比較小的時候 大家知道如果set角比較小的時候 它滿足的方程是什麼樣子 運動函數應該是這個樣子 當然你角度非常大的時候也可以用這個式子來描述 但是太大的時候就不行了對吧 太大就不是簡寫振動了對吧 所以還是比較小的時候用它描述比較精確 我看到中學教材寫說 白角set小於等於五度的時候 纔可以用這個式子考慮 大於五度就不行了 我不知道誰這麼寫的 這個角度是任意值的時候 只要不是零 那這個式子就不嚴格成立對不對 因為你在得到這個簡寫振動方程的時候 把sine set或者cosine set 把sine set變成set對吧 所以那個五度說的沒什麼道理 我跟幾位中學老師討論 他不知道誰寫的 就是角度比較小的時候 纔是近似的是簡寫振動 我們認為角度很小 所以這個運動函數可以寫成簡寫振動 當你角度大你願意用它寫也可以 不過精度要小一點對吧 沒有對不對只有好與不好 廣告詞不是有句話嗎 沒有最好只有更好 所以我們現在用小角度擺動來討論問題 這個時候的角位移可以寫成這個樣子 第一個是角位移 第二個是角速度 然後我就可以把描述像圖的方程寫出來 就是橢圓方程 你把set方和set一點方寫出來就這個樣子 set0代表角振幅 是最大的白角 纔是個橢圓方程 大家想象一下我橫坐標作為角位移 縱坐標作為角速度 這是π這是負π這是0 大家看一下 如果我這個擺啊我這麼擺 大家注意啊 我這個擺呢從0度擺起 我從0度擺起 大家看擺起來了 在這圖上應該怎麼畫你們想象一下 首先你找到角速度最小的兩個點 應該是哪一點兩兩點 假如這個白角set0這麼大 不是π啊這麼大 那在這兩點角速度應該最小對不對 就在這個正方向和負方向 白幅最大那個位置 振幅那個位置 角速度應該是0 為什麼角速度是0啊 為什麼為什麼到這點角速度變成0了 看這個問題問得挺蠢是吧 因為它靜止了就是0 這為什麼是靜止的 因為這個速度要改變方向對吧 速度是連續的一個物理量 改變方向的時候必須經過0 我還得還得畫 它在擺上 大家看這個像圖是不是這個樣子 裡面是這個樣子 因為是橢圓對不對 這是白角比較小 白角大點應該是這麼個橢圓對吧 再大是這個橢圓 咱們別著急啊 這要搞清楚 這搞清楚就都搞清楚了 比如我現在啊 從這個set角等於 等於0這點開始 這是等於0 等於0的時候這個位置對不對 我就看這個這個小圈 這個set0啊 set0等於這麼大的時候 set角等於0的時候相應於經過平衡位置對吧 角速度最大的 然後呢我 我看那個逆時針那塊 是不是應該這樣跑啊 跑到這之後呢 角速度變成0了 而角位移變成最大 然後接著往 這麼跑起來 這個是呢我們用這個像圖呢就可以描述呢 小角度擺動的時候 這個擺的運動狀態 當然你這個圖呢 我不用這個這個來描述 我分別 我分別用 這個式子和這個式子也可以描述對吧 也能畫出這樣的圖 但是用這個圖呢更方便 在小角度擺動的時候呢 這個像圖能夠完備的描述運動 運動狀態這件事 並不是很明顯的 下面會看到 在臨界態的時候 也就是說 這個擺擺到這個位置的時候 大家注意 擺到這個位置最上面的時候 恰好呢 就不擺了 如果這個動能恰好是 全部變成一個勢能的時候 下一個時刻它往哪邊擺啊 順時針還逆時針啊 還是靜止啊 你能不能判斷 你不能判斷 稍稍一點擾動啊 它就會可能順時針可能逆時針 還可能靜止不動對不對 這個狀態叫臨界態 有臨界態的時候 這個描述 你用那兩個方程就不方便了 但用像圖描寫呢非常方便 而這個臨界態裡面物理非常豐富 包括混沌現象 分岔現象等等 所以用像圖的方法來描述一個體系 處於臨界態的時候 是非常有效的 我們介紹像圖 就為下一期講振動音波之後 介紹非線性系統打一些描述的基礎 所以在小角度擺動的時候 在這種決定論的情況下 像圖它的意義並不明顯 我們看另一種情況 給足夠的衝擊速度 讓這個板啊 繞軸通過最高點 按決定論的方式自由擺動 第二種情況是這樣 我這個衝擊力很大 讓它這樣擺動 決定論的方式 一直是順時針的 或者一直是逆時針的 大家注意啊 我就用手把著點 否則它這個彎性太大就倒了 這種情況 比如我現在是逆時針擺動 大家想一想這個像圖圓什麼樣子 你們想一想這個像圖圓什麼樣子 首先這個角位是最大的時候 最大的時候是什麼狀態 角位最大應該是這種情況 π對不對 這個時候這個角速度是不是零啊 不是零 就不是零 不是不一定了 我就讓它這麼擺啊 我衝擊力很大 讓它能夠通過最高點 按決定論的方式自由旋轉 順時針的情況 這個像圖描述這個set點 和set關於曲線 在這個set軸的上面還是下面 逆時針的時候在上面還是下面 順時針呢 應該在下面對吧 因為逆時針的時候 那個set一直是大於零的 而順時針的時候 set點應該是小於零的 這位今天說話有點顛三倒四 我剛打完點滴看到了嗎 這還出血呢 所以大家諒解 好了大家看 我們看逆時針情況 應該是這個樣子 看到了嗎 別著急 你們先看這種情況 先看set等於零的情況 就是在這種情況 這麼擺嘛 在這種情況 這時候角速度最大對吧 因為這是勢能最小 然後慢慢角速度小小小 但是set增加 set增加到π的時候 角速度最小 看到沒有 就這個挖兜 角速度最小 然後角速度增大 set再增大 就這麼轉起來 看清楚了嗎 逆順時針呢 我們看順時針 順時針應該這樣對不對 你看set等於零的時候 角速度也最大 但是呢反方向最大 然後這麼轉起來 set等於 等於 到π的時候呢 角速度最小 到π的時候角速度最小 我這麼說 我從零到負π 零的時候角速度最大 反方向 到負π的時候呢 角速度呢不是零 但是最小 然後接著角速度增大 總之啊 順時針逆時針呢 我們看得比較清楚 而在這個項目中啊 就比用那個 運動方程描述就更清晰一點了 對吧 我一看啊 這逆時針 這順時針 我一看啊 最高最大轉 最大轉角的地方 它的角速度不是零等等 你看得比較清楚 對吧 當然呢這種情況 你用運動方程還是能夠描述的 這種情況 初始的衝擊 使這個小球達到最高點的時候呢 速度恰好為零 就動能全部轉成適能了 那下一個時刻 到達這個點之後 順時針轉還是逆時針轉還是靜止不動 當然都可能對吧 我們剛才講了 最高點為臨界態 這個時候的運動是非決定論的 你根據你的 你的知識 你不能判斷呢 下一個時刻呢 它是往右轉還是向左轉 還是靜止不動 這種狀態叫臨界態 在實際問題中 臨界態的問題很重要 也經常出現 我們看它的像圖應該是什麼樣子 大家想像一下應該什麼樣子 這個 這種 非決定論的情況 一個最明顯的特徵是什麼呢 當轉到最高點的時候 這是最高點對吧 當然這也是最高點 角速度是零 就轉到這的時候 那個運動點那個線空間那個點 應該在這個位置對吧 正好在這個位置 下一個時刻呢 如果還應該念念著逆時針呢 它應該這麼轉起來 這麼跑對不對 那順時針轉呢 它應該這麼跑了對不對 所以這一點呢 還有可能靜止不動 再也不動了 有三種可能對吧 順時針逆時針接著轉 順時針轉或者靜止不動 所以這個像圖呢 是這個樣子 假如開始是逆時針轉 轉到最頂端 角度一派的時候 下一個時刻呢有可能是 逆時針轉接著轉下去 有可能是順時針轉 我有個教案可能 這個這條線這麼畫了對吧 應該是這麼的 要順時針這麼回來對吧 你們都改過來 還有可能靜止不動 這個點我們叫臨界態 處於這個點的運動狀態叫臨界態 我們把它像圖畫出來 如果在臨界態之後 繼續逆時針轉的話 像圖應該這樣對吧 否則應該是這個樣子 所以用這個像圖 可以完備描述 這種有臨界態的這個狀態 你一看就知道這是個臨界態 而這件事情你用運動方程是很難描述的 用以前的方法不引入像空間 光用R或者光用SET來描述 很難不是不能 得費很多事而且不清晰 所以像圖在有些時候 例如這種有臨界態的狀態的時候 它是比較有效的 我們現在有三種情況 這是像圖 橫坐標代表角度 角位移角位置 縱坐標代表角速度 這個代表什麼運動 第一組線代表什麼運動 單擺的小角度擺動是決定論的 第二組線藍色的這個線代表什麼情況 也是決定論的 速度很大在最高點的時候也有速度 要麼這麼轉要麼這麼轉對吧 第一組線和第二組線都是決定論的 第三組線黑的代表非決定論的 最高點的時候它是一個臨界態 我們分別看一下 這是第一組線紅的代表小角度擺動是決定論的 第二組線是自由態也是決定論的 第三組線有臨界態 我們先看一下擺的像圖 這是個動畫 上面就是我們做實驗這個擺 就是這個擺 下面橫坐標代表C的縱坐標代表C的地點 它畫得不太好 這個2分之π是可以 π它寫在這了 它應該在這個位置對不對 它是為瞭解約圖形可能畫在這 π壓根可以不用 我們看一下像圖 我看它擺怎麼轉 開始呢 雙翹 開始擺在這個位置 負的2分之π的位置 然後逆時針轉 大家看要轉了 一轉你看點的像圖應該什麼樣子 是不是應該這個樣子 逆時針轉 角速度在θ等於0的時候是最大的對不對 轉到了θ角等於2分之π的位置 不到2分之π 是θ0吧 從負的θ0轉到了正的θ0 經過θ等於0的時候角速度最大 然後要回來 看回來 回來就是順時針了對吧 回來了 轉一圈 看清楚了嗎 不同的角振幅 它那個轉的那個像圖是不一樣的 這是第一種情況 第二種情況我們看一下決定論的 這個是負的2分之π 這也不是決定論的 這是負的2分之π的振幅的情況下 那個轉動 這個它圖畫的不大好 這條線大家注意 這條線和這條線是有臨界態的 我們的編號這是第三組線 這是有臨界態的 黃的這點代表臨界態 你別看裡面這個小角都擺動 你看這個這個臨界態 大家看 到那有可能你看 有可能這個呢 這又變成自由態了 這是自由態的 這兩條線是自由態的 它這個對應不太好 做的軟件做的不太好 也許是並沒有按照我們這個講法去做 大家來看一下 這是角度為set0的情況 逆時針轉 構成一個一個週期 這是不同的振幅 這個振幅是負2分之π的 2分之π的情況 下一個是臨界態的 看什麼臨界態的 我下了煙的時候 它轉到了臨界態 就是最高點的時候 可能是逆時針轉 也可能順時針轉 這個回來了 變成順時針了 這是自由態 看清楚就這麼幾個 以後我們要有什麼能力 一看相頭我就知道 你的運動狀態是什麼樣子 哪是臨界點 是決定論的 還是非決定論的 這就夠了 這個圖我們看到這 我們再看一下 自動落體和彈簧振子的相圖 有任何一個體系 你寫出它的位置 和它的速度之間的關係 這個關係就是相圖 我們看一下自動落體 這是一個彈簧 一個線圈 線圈有電源電池 現在如果用線圈通電的話 由磁性 這個鋼珠被吸上 然後打開電鍵 就自動落體了 這個高度 這個坐標叫做y 這個高度叫h 這個方向代表它下落的速度 你看 位置跟速度的關係構成相圖 大家想象一下 我這個電鍵打開之後 這個落體落了之後 速度跟高度的關係 應該什麼關係 我們看相圖 落下來了 應該是這個關係 微方程2g h減y h減y代表t時刻 落下的高度 y代表小球在t時刻的位置坐標 是這麼一個相圖 我們再看一下一個彈簧陣子 這是彈簧陣子 橫坐標代表位置 縱坐標代表速度 這個是平衡位置的中心點 我們取的坐標原點 我們看一下 從正方向最大位置 到坐標原點 相同於這樣的 因為在這個位置的時候 速度是最大 對不對 反向最大 應該是這個樣子 下面到這了 到反方向的負方向最大位置 這個時候速度是零了 然後開始往正方向運動了 運動到正方向的速度最大 形成蜂蜜曲線 正弧不一樣 這個橢圓也不一樣 橢圓的長軸和短軸也不一樣 有好多 這下面的方程 這個方程就能量守恆方向 2分之1mv方加2分之1kx方等於1 k代表這個彈簧的進度係數 還有好多體系 都可以畫出像圖來 這一張我們就講完了 下面內容你們回去看一下 雲加速運動 拋物運動 斜拋運動等等運動 這個中學大家都會做 不過我們從微積分的方法 把這公式得到 你們回去看一下 好大家看一下 你能不能描繪呢 這個 這個擺 這個小混沌擺 下面那個擺存 它運動的像圖 小角度擺動呢 沒有非線性現象 所以呢 所以你可以畫出來 可以預測的對不對 看下面的擺存 紅色那點你看一下 如果 大角度擺動 底的像圖什麼樣子 你能不能畫出來 我這角度還不夠大 如果你能畫出來的話 那個像圖是很亂的 看來很亂的 但這個亂不是隨機的亂 不是像 我們有一盒的理想氣體 裡面分子運動的時候 那種隨機的混亂 它還是由方程得到的 但由於非線性 得到了這種決定性的混亂 你要是能用眼睛 看出那個小擺存的像圖來 那你就相當能了 但你通過列 且解這個微分方程 考慮非線性像去迭代 是能把這個像圖畫出來的 你看到好多什麼 嘮嘮的細因子等等 那都是像圖 那以後我們會陸續的 接觸這個問題 總之在描述 非線性系統的 機械運動的時候 或者其他運動 包括電磁運動的時候 像圖這個描述方法 經常用到