宇宙的隱密維度，「分形」神奇的萬物法則

1978年 西雅圖波音公司研發部 工程師們正在設計實驗機型 他們會設計各種不同的造型 不同的材質 然後不斷測試 期待創造出更符合市場需求 也更加完美的機型 研發團隊中 有一位叫做卡彭特的計算機專家 他專門負責爲實驗團隊提供數據和可視化模型 模擬飛機在飛行中的各種狀態 當拿到新機型的各種數據後 他會將數據輸入系統模型 結合天氣及地理條件等各種客觀因素 模擬新機型的飛行狀態 之後再返回給工程師 但是在卡彭特的模型中 其實一直存在着一個困擾他很久的問題 就是如何畫出更加真實的山脈 實際上在上世紀的70年代 人們是根本無法在當時漫得出奇的電腦上 描繪出非常逼真的山脈圖形的 因爲真實的一片山脈 存在着數以百萬計的各種尺寸的小三角形 或者多邊形 實在是一個無法完成的任務 但是就在卡彭特一籌莫展的時候 他偶然在書店發現了一本叫做 《大自然的分形幾何》的書籍 作者是一位名不見經傳的數學家 曼德波羅 這本書介紹的正是自然界中的分形幾何 卡彭特買下了這本書 一回家就開始反覆研究 整整讀了兩遍 這本書的大意是說 作者認爲自然界中很多形態 都能從數學上描述爲分形 這是作者爲這門學科創造的專有名詞 用來描述那些參差不齊 特別複雜和看似極其不規則的形態 書中介紹了創造分形的方法 就是通過把看上去光滑平整的形狀 分成許多小塊 並且不斷重複 就可以得到一個特有的分形結果 這一點給了卡彭特很大的啓發 於是他決定在他的計算機上 嘗試一種方法繪製山脈的圖形 結果只用了短短三天時間 卡彭特就解決了困擾他很久的問題 方法也是出奇的簡單和機械 就是由一個全景圖開始 先繪製出一些簡單的三角形 然後再把它們分成很多的小三角形 之後繼續迭代操作 一次又一次不斷的重複操作 真實的山脈形態就慢慢展現出來了 卡彭特就是用這種極其簡單的方式 竟然製作出了在那個年代 最爲逼真的山脈圖形 很快他就被影視公司挖角 擔任了《星際迷航2》中 電腦模擬場景的設計師 之後在《星際迷航2》中 由卡彭特團隊繪製的地外星球 讓人們第一次領略到了這種技術 帶給人們的震撼效果 因爲它確實是非常的真實 這是影視界第一次使用 完全由計算機生成的模擬特效場景 而且由於其逼真程度 廣受業界好評 很快就被推廣爲一直沿用至今的 自然場景的特效製作利器 從這一點上 《分形幾何》顯露出了其異常強大的能力 使一切不可能變成了可能 而且它在接下來的時間裏 還會激發出更多革命性的創新 1990年 波士頓一位叫做科恩的無線電工程師 他租住在市區的一間公寓內 由於房東不允許在房間的窗戶和屋頂上 安裝任何的天線設備 導致這名無線電工程師 竟然不能在自己的公寓裏面 進行無線電研究 一次偶然的機會 科恩接觸到了曼德博羅的分形幾何概念 於是他就受到啓發 製作了一個類似柯克曲線形狀的天線 就是用一根銅線 弄成了大概這個樣子 然後當他把自制天線 連接到自己的無線電臺設備的時候 他驚訝的發現 信號竟然出現了 而且科恩還意識到 這樣的結構和方式 是可以幫助他開發更小的天線 很快他就通過實驗 發現利用分形結構設計的天線 不僅可以減小天線的體積 而且還能夠擴大天線的接收頻率範圍 要知道 在上世紀90年代 那正是無線通信發展最爲蓬勃的時期 可是各大通信設備公司 通通都遇到了一個同樣的難題 就是除了簡單的通話功能之外 用戶還需要藍牙 無線局域網等等這些增值服務 但是這些額外的功能 每一個都是有其自身的 不同的頻率範圍 手機廠商不可能同時給手機裝上這些亂七八糟 不同的頻率天線 所以解決這個問題的唯一途徑 就是今天已經被廣泛應用在 各類無線通訊設備上的 分形天線 他證明了分形幾何 在我們生活中起到的作用 其實已經是不可被替代的了 那麼究竟什麼是分形幾何呢 其實當我們細心觀察周邊的事物 你會發現 分形在雲層 山脈 甚至人體 等等這些自然界的事物中 都有體現 當你觀察一個事物的時候 總是容易被其自身的複雜性所迷惑 但是當你仔細觀察它們的規律 你會發現 這裏面其實有着非常多的自相似性 這纔是一個事物的本源 它表現出了無休止的重複 在不同的尺度下 一層接一層的重複 分形對象的一個明顯的特徵 就是事物的自相似性 也就是說當事物縮小或者放大至一定尺度時 它們看上去總是相似的 所以分形的概念 就是從整體上看去 恰恰也像是它自身的一部分 而這一部分又和它的下一級 更小的部分相似 而且這種相似的模式始終被一直保持着 我們都知道 在整個數學學科和幾何學科中 人們研究的對象 通常都是標準的精確的 而分形幾何研究的 卻是事物的粗糙度 也稱爲數 它是大自然的某種神祕隱藏規律 這也是它有別於一般學科的地方 可是一旦你學會了這樣的思維方式 那麼只要你搞清楚了某件事物背後的 分形幾何含義 一切很可能就盡在你的掌握了 分形學科的創始人曼德博羅 在1958年加入當時的IBM公司 參與了IBM最有潛力的商用計算機開發計劃 同樣的項目遇到了一個非常大的問題 IBM的工程師們 正在試圖通過電話線 傳輸計算機的數據 但是信息總是不能夠被準確的傳遞 他們發現線路中 有經常性的嚴重的噪音干擾 曼德博羅在得知情況後 就着手用自己的一套分析方法 將噪音數據繪製成圖表 結果他發現了令自己都感到非常驚訝的現象 他發現 無論在任何時間的尺度上 這些噪音的圖形看起來都是極其相似的 無論是一天一小時 甚至到每一秒 噪音的圖形都是類似的 這恰恰就證明了 這些噪音有着極度的相似性 曼德博羅被震驚了 這個奇怪的模式讓他想到了在年輕的時候 他非常感興趣的一個數學謎題 康波吉 大意是說把一條直線分爲三段 然後把中間一段去掉 只剩下兩個小的直線 再對這兩個小的直線分別進行同樣的操作 不斷重複 這給人的直觀感覺 會是如果這樣一直重複操作下去的話 慢慢的應該就什麼都不剩了 但事實卻並不是這樣 這樣的重複操作 結果是隻要你不停下來 那麼它就會持續創造出無限多個點 當你不斷放大或者縮小康波吉 你就會發現 圖案在任何尺度下都是同樣相同的 這就像極了曼德博羅在IBM 見到的這種噪音圖一樣 當然類似的還有 大家都耳熟能詳的科赫曲線 從一個三角形開始 通過不斷的疊帶 成爲了一個邊長看似有限 但是隻要不斷的疊帶 而且不斷的縮小尺度 那麼從數學上講 它的邊長就可以是無限的一種形態 關於這一點 最著名的例子就是一片雪花的周長 還有英國的海洋線究竟有多長 這其實都說明了 只要尺度可以無限縮小 那麼它的周長就可以無限延長 因爲自然界的任何事物 都不是平滑而精確的 它們的粗糙度也稱爲數 在每一個量級的尺度下 都可能是不同的 你用的尺度越大就會得到最小的結果 而你用的尺度越小 結果則會變得越來越大 曼德博羅的這種分形思考方式 就是在這件事情之後誕生的 而且由於計算機技術的加持 這給他研究分形幾何帶來了極大的便利 曼德博羅開始在計算機上挑戰朱利葉級 朱利葉級的大意 是說當你從一個方程開始 你取一個數 把它代入這個公式 得出一個數 把得到的數再次代入這個公式 又算出一個數 再代入進去 這樣一直不停的迭代下去 你就會得到一系列的數字 這個就被稱爲朱利葉級 如果是我們用手算的話 你不太可能知道這個完整的結合是什麼樣子 因爲這需要上百萬次的運算 可是曼德博羅在計算機算力的加持下 就可以把這個朱利葉級的數字 全部打印轉化成點 然後繪製成圖形 當繪製的圖形慢慢顯現出來的時候 曼德博羅發現了其中的奧妙 並且在1980年 創造了自己的方程式 這個方程式包含了所有的朱利葉級 也就是說所有的朱利葉級 都可以包含在一張圖中 也就是你現在看到的 曼德博羅級 當你放大圖形時 你會看到同樣的圖形會再次出現 也就是我們說到的自相自信 然後在不斷的放大再放大的時候 你會不斷的重複看到 完全同樣的圖形 就像是回到了起點一樣 但其實並沒有 你在不斷的深入 這就是分形幾何的典型圖形 也是分形幾何被創立的過程 利用分形幾何 我們可以準確的發現大自然的一些潛在規律 可以製作出河流流域的模型 雲層的移動 甚至是我們現在看到的人體血管分佈圖 分形幾何的應用其實已經非常廣泛 除了我們提到的影視作品中的特效 和無線電通信之外 還有包括醫學領域 天文領域 自然界 生物界的統計分析領域 甚至包括股票期貨領域 分形幾何確實從某種程度上 揭示了很多我們生活周遭的潛在規律 但是 其實它的發展以及應用期 也不過短短的幾十年時間 或許還有更多未被設計和應用的領域 等待着你去發現