Toán Học Sau 30 000 Năm Chúng Ta Đã Đi Xa Đến Mức Nào

Toán học mà bạn học ở trường, từ phép cộng cho tới đạo hàm tích phân, không phải tự nhiên mà có. Mỗi ký hiệu, mỗi quy tắc, mỗi khái niệm đều là kết quả của một phát minh nào đó ở một thời điểm cụ thể, trong đầu của một người cụ thể. Và rất nhiều phát minh đó từng bị coi là điên rồ, là cấm kị, là vô nghĩa, trước khi trở thành thứ ai cũng học thuộc. Bây giờ chúng ta cùng đi dọc chục thời gian, dừng lại ở từng mức quan trọng để xem cái gì đã được nghĩ ra Phát minh toán học đầu tiên không phải là một công thức, nó chỉ là một vạch khắc trên xương. Năm 1950, người ta tìm thấy một mầu xương khỉ đầu chó ở châu Phi có niên đại khoảng 20.000 năm trước, gọi là xương Ichango. Trên đó có những vạch khắc thành nhóm. Trước đó nữa, ở Cộng Hòa Xét, người ta đã tìm thấy xương sói khắc vạch khoảng 30.000 năm tuổi. Nghe thì đơn giản, nhưng đây mới là bước nhảy lớn nhất, vì lần đầu tiên, con người tách số lượng ra khỏi đồ vật. Trước đó, ba con cừu là ba con cừu. Sau khi có vạch khắc, ba con cừu, ba ngày, ba mặt trăng đều được biểu diễn bằng cùng một thứ, ba vạch. Đó là bước nhảy từ đếm cụ thể sang số chiều tượng. Toàn bộ toán học sau này chỉ là tiếp tục bước nhảy đó, tách khái niệm ra khỏi vắt chất. Vạch khắc có một vấn đề. Nếu bạn cần ghi 437 con cừu, bạn không thể khắc 437 vạch. Khoảng 5.000 năm trước, người sư mơ ở vùng Lưỡng Hà nghĩ ra hệ ký hiệu chữ số đầu tiên. Họ dùng một ký hiệu cho 1, một ký hiệu khác cho 10, một ký hiệu khác cho 60. Họ đếm theo cơ số 60, không phải 10. Tại sao là 60? Vì 60 chia hết cho rất nhiều số. 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30. Cực kỳ tiện cho chế trác đất đai, lúa gạo, thời gian. Và đây là chỗ thú vị. Di sản của người sư mơ vẫn còn sống trong đời bạn. Một giờ có 60 phút, một phút có 60 giây. Một vòng tròn có 360 độ, tức là 6 lần 60. Mỗi lần bạn xem đồng hồ, bạn đang dùng một phát minh từ 5.000 năm trước. Người Babylon kế thừa hệ 60 và phát triển thêm. Họ giải được phương trình bậc 2, lập bảng nhân và trên một tấm đất xét gọi là IBC 7289. Họ ghi được cân bậc 2 của 2 chính xác đến 6 chữ số thập phân. Người Ai Cập cùng thời cũng giỏi không kém. Trên giấy cói Rind, họ tính diện tích hình tròn bằng công thức sấp xỉ tương đương với Pi bằng khoảng 3,16. Họ xây kim tự tháp với độ chính xác đáng kinh ngạc. Nhưng có một thứ cả hai nền văn minh này đều thiếu. Chứng minh. Họ có công thức. Họ biết công thức đúng vì nó luôn ra kết quả đúng. Nhưng họ không hỏi tại sao nó đúng. Toán học của họ là một cuốn sổ tay, không phải một hệ thống. Và đây là chỗ người Hy Lạp bước vào. Khoảng năm 300 trước công nguyên, Euclid ở Alexandria viết bộ sách tên là Cơ Sở. Trong bộ sách này, Euclid đặt ra một cách làm toán hoàn toàn mới. Ông bắt đầu bằng 5 tiên đề về hình học, kiểu như qua 2 điểm bất kỳ vẽ được một đường thẳng. Rồi từ 5 tiên đề đó, ông xây dựng toàn bộ hình học phẳng. Tổng 3 góc trong tam giác, định lý Pythagore, tính chất đường tròn. Tất tần tật, mỗi mệnh đề được suy ra từ những mệnh đề đã chứng minh chất đó. Đây là phát minh thay đổi bản chất của toán học. Sau Euclid, một định lý không còn là công thức tính ra số đúng, mà là một mệnh đề được suy ra từ tiên đề bằng các bước logic chặt chẽ. Một khi đã chứng minh, nó đúng vinh viễn, không phụ thuộc vào ai, ở đâu, thời nào. Cuốn Cơ Sở được dùng làm sách giáo khoa hình học suốt hơn 2.000 năm sau đó. Có một thứ mà cả Hy Lạp lẫn La Mã đều không có, số 0. Hãy nghĩ thế này, trong hệ thập phân hôm nay, chữ số 3 trong 30 và chữ số 3 trong 300 có giá trị khác nhau, vì vị trí của nó khác. Như vậy, bạn cộng và nhân được bằng cách xếp cột từng hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm. Hệ La Mã không có chuyện đó, chữ x luôn là 10, đứng đầu cũng là 10. Không có hàng, không có cột, không có vị trí, cũng không có ký hiệu cho chỗ trống. Hệ quả là cộng đã khó, còn nhân thì gần như phải làm bằng đến tay hoặc bằng bàn tính. Năm 628, nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta xuất bản cuốn Brahmaputra Siddhanta. Trong đó, lần đầu tiên trong lịch sử, có người viết ra các quy tắc tính với số 0 như một con số thức thụ. Cộng với 0, trừ với 0, nhân với 0. Số 0 không còn là không có gì mà là một con số có thể tham gia phép tính. Rép số 0 với hệ vị trí cơ số 10 mà người Ấn Độ đã phát triển trước đó. Bạn có hệ số mà bạn đang dùng hôm nay. Cùng một ký hiệu, ý nghĩa thay đổi theo vị trí. Khoảng năm 820, ở Baghdad, nhà toán học Al-Khwarizmi viết cuốn sách tên là Algebra và Al-Muqabala. Từ algebra trong tiêu đề chính là gốc của từ algebra trong tiếng Anh hay đại số trong tiếng Việt. Phân minh của Al-Khwarizmi là gì? Là dùng một ký hiệu để biểu diễn một con số chưa biết, rồi thiết lập phương trình, rồi áp dụng các quy tắc để tìm ra con số đó. Nghe quen không? Đó chính là cách bạn giải bài toán tim X ở trường cấp 2. Trước Al-Khwarizmi, các nhà toán học vẫn giải phương trình, nhưng họ giải bằng lời, từng bước, từng trường hợp riêng biệt. Sau Al-Khwarizmi, người ta có một bộ thủ tục chung áp dụng được cho mọi phương trình cùng loại. Tên ông trong tiếng Latin, algorithm, chính là gốc của từ algorithm, thật toán. Trong khi thế giới Hồi giáo dùng hệ thập phân từ thế kỷ IX, châu Âu vẫn cứ chữ số La Mã suốt mấy trăm năm. Năm 1202, một thu nhân người Ý tên là Leonardo of Pisa, hôm nay ai cũng biết là Fibonacci xuất bản cuốn Liber Abassi, trong đó ông giới thiệu hệ chữ số ấn Ả Rập kèm theo các thực toán tình toán bằng tay. Cuốn sách này là cú hích đưa hệ thập phân vào đời sống thương mại châu Âu. Cộng nhanh hơn, nhân nhanh hơn, sổ sách rõ ràng hơn nhiều lần. Các nhà buôn thành ý cầm cuốn sách này như cầm nang. Nhưng không phải ai cũng hòn nganh. Năm 1299, chính quyền Florence ban một xác lệnh cấm dùng chữ số Ả Rập trong sổ sách thương mại. Lý do không phải tôn giáo mà là chống gian lận. Chữ số La Mã rất khó sửa vì mỗi chữ số là một ký tự được lập còn chữ số ấn Ả Rập thì dễ sửa hơn. Một số 0 có thể thêm vào cuối để biến 10 thành 100, một dấu nhỏ có thể biến 1 thành 7. Phải đến thế kỷ 16, hệ số ấn Ả Rập mới thực sự thay thế hoàn toàn chữ số La Mã ở châu Âu. Năm 1545, nhà toán học ý Gerolamo Cardano xuất bản cuốn Ars Magna trong đó ông trình bày công thức giải phương trình bậc 3 và bậc 4. Trong quá trình giải, Cardano đụng phải 2 vấn đề kỳ lạ. Vấn đề thứ nhất là số âm. Phương trình bậc 3 thường ra nghiệp âm, Cardano vẫn coi đó là nghiệp sai, nhiệm vô lý vì làm sao có thể có một số nhỏ hơn không có gì. Suốt mấy thế kỷ sau, các nhà toán học châu Âu vẫn giẳng co với số âm. Mãi đến thế kỷ 18, số âm mới được chấp nhận hoàn toàn khi người ta gắn nó với khái nhiệm nợ, với nhiệt độ dưới 0, với hướng ngược trên trục số. Vấn đề thứ 2 còn kỳ lạ hơn. Trong quá trình giải, Cardano buộc phải lấy căn bậc 2 của một số âm, một thứ rõ ràng vô nghĩa. Nhưng nếu cứ tạm chấp nhận, đến cuối phép tính, các căn bậc 2 âm lại triệt tiêu nhau và đáp án cuối cùng lại là một số thực. Đúng, người ta gọi căn bậc 2 của âm 1 là số ảo, ký hiệu là Y. Suốt 250 năm sau đó, ảo được coi là tên thật của nó, không tưởng tại, chỉ là thủ thuật tính toán. Năm 1585, kỹ sư người Hà Lan Simone Stévin xuất bản một cuốn sách mỏng tên là The TND, nghĩa là phần 10. Trước Stévin, người ta dùng phân số rất dườm dà, 1 phần 3, 2 phần 7, 5 phần 12, mỗi phân số viết theo một cách. Tính toán cộng trừ phân số là cơn ác mộng. Stévin chỉ ra rằng mọi phân số đều có thể viết bằng cùng một định dạng, dùng dố phẩy thập phân, mở rộng vô hạn về bên phải. Đột nhiên, mọi con số nằm trên cùng một trục, có thể so sánh trực tiếp, có thể cộng trừ nhân chia bằng cùng một thuật toán. Đây là phát minh nhỏ về hình thức, nhưng tác động khổng lồ. Mọi tình toán khoa học, kỹ thuật, thương mại sau này đều chạy trên số thập phân. Năm 1637, Rene Descartes công bố cuốn La Geometrie, trong đó có một ý tưởng đơn giản đến mức ai cũng hiểu được, nhưng hệ quả thì gần như vô hạn. Ý tưởng là rắn cho mỗi điểm trong mặt phẳng một cặp số, thường gọi là x và y. Vậy là một hình hình học, ví dụ một đường tròn, có thể viết thành một phương trình đại số. Và ngược lại, một phương trình đại số có thể vẽ ra thành một hình. Đây là phát minh nối liền hai nhánh toán học, từng đi tách rời nhau hơn 1.500 năm. Hình học của Hy Lạp và đại số của Ả Rập, lần đầu tiên nói chung một ngôn ngữ, ngành mới sinh ra từ đó được gọi là hình học giải tích. Hệ quả là gì? Đột nhiên, mọi vấn đề hình học có thể chuyển thành tính toán, mọi vấn đề đại số có thể chuyển thành hình ảnh. Quan trọng hơn, đây là nền móng để Newton và Leibniz dựng nên Calculus chỉ vài chục năm sau. Khoảng những năm 1670 đến 1680, hai người độc lập với nhau, Isaac Newton ở Anh và Gottfried Leibniz ở Đức, cùng phát minh ra Calculus hay phép tính vi tích phân. Calculus giải quyết hai bài toán cũ kĩ. Bài toán đầu tiên là tốc độ thay đổi tức thời. Nếu bạn biết vị trí của một vật theo thời gian, làm sao tính được vận tốc của nó tại đúng một khoảnh khắc, không phải vận tốc trung bình trong một khoáng? Câu trả lời là đạo hàm. Bài toán thứ hai là tổng của vô hạn mảnh nhỏ vô cùng. Nếu bạn muốn tính diện tích dưới một đường cong bất kỳ, bạn phải cộng vô hạn mảnh mỗi mảnh nhỏ vô cùng. Câu trả lời là tích phân. Phần đẹp nhất là Newton và Leibniz chứng minh được hai phép toán tưởng chừng không liên quan này. Đạo hàm và tích phân thật ra là ngược của nhau. Đây gọi là định lý cơ bản của giải tích. Calculus là ngôn ngữ mà sau này Newton dùng để viết ra các định luật chuyển động và hấp dẫn. Maxen viết ra các phương trình điện tử, Einstein viết ra thế tương đối và mọi mô phỏng vật lý hiện đại vẫn đang chạy trên đó. Quay lại với số phức. Suốt 250 năm sau Cardano, số phức vẫn bị coi là thủ thuật cho đến khi có một ý tưởng đơn giản đến bất ngờ. Năm 1806, John Robert Argon xuất bản một bài luận trình bày cách hình dung số phức bằng hình ảnh. Vài năm sau, Gausser phổ biến cùng ý tưởng và làm nó trở thành chuẩn mực. Ý tưởng là bạn chỉ cần mở rộng trục số một chiều thành mặt phẳng hai chiều. Trục ngang là số thực, trục dọc là số ảo. Mỗi điểm trong mặt phẳng là một số phức. Đột nhiên, số phức không còn bí ẩn. Và sau đó, người ta phát hiện ra số phức là ngôn ngữ tự nhiên và cuối cùng là toàn bộ cơ học lượng tử. Phương trình Schrödinger mô tả hành vi của Electron có chữ Y ngay trong nó không có số phức, không có vật lý hiện đại. Bạn lấy một tờ giấy, vẽ một đường thẳng rồi chấm một điểm nằm ngoài đường đó. Câu hỏi, qua điểm này vẽ được bao nhiêu đường thẳng song song với đường ban đầu? Câu trả lời ai cũng biết là một, đúng một đường. Đây chính là tiên đề thứ 5 trong 5 tiên đề mà Euclid đặt ra cách đây 2.300 năm. Nhưng có một chuyện kỳ lạ. 4 tiên đề kia của Euclid rất nắn và hiển nhiên. Tiên đề thứ 5 thì dài hơn, dường dà hơn. Trông giống một thứ cần phải chứng minh chứ không phải thứ tự nhiên đến mức ai cũng phải gật đầu. Suốt 2.000 năm, hết người này đến người khác cố chứng minh nó từ 4 tiên đề còn lại. Không ai làm được. Năm 1829, nhà toán học Nga Nikolai Lobachevsky giải bí ẩn này bằng một câu trả lời chưa ai dám nghĩ tới. Chứng minh không được vì nó không thể chứng minh. Tiên đề thứ 5 hoàn toàn độc lập với 4 tiên đề kia. Bạn có thể giữ nó hoặc bạn có thể thay nó bằng một tiên đề trái ngược và trong cả 2 trường hợp bạn đều được một hình học hợp lệ không tìm thấy mầu toãn nào. Để hình dung, hãy nghĩ mặt phẳng đó cong đi. Trên tờ giấy phẳng, qua một điểm có đúng một đường song song đó là Eclipse quen thuộc. Nhưng trên một mặt cong như yên ngựa thì khác hẳn. Qua một điểm, bạn có thể vẽ được vô số đường không bao giờ cắt đường ban đầu. 2 thế giới khác nhau, 2 câu trả lời khác nhau, cả 2 đều đúng trong thế giới của nó. Cùng thời gian đó, Janos Bolyai ở Hungary độc lập đi đến cùng kết luận. Gausser ở Đức thì đã nghĩ ra ý tưởng này từ trước nhưng giấu không công bố vì sợ bị phản ứng. Đây không chỉ là một kết quả kỹ thuật. Lần đầu tiên trong lịch sử, con người nhận ra rằng tiên đề không phải là sự thật bất biến. Đó là lựa chọn. Bạn chọn tiên đề khác. Bạn được vũ trụ toán học khác. Năm 1854, Bernard Riemann trình bày một bài giảng nổi tiếng ở Đại học Göttingen mở rộng ý tưởng phi Eclipse sang một mức độ tổng quát hơn nhiều. Riemann không chỉ thay đổi tiên đề song song, ông xây dựng một khung lý thuyết cho phép xét hình học trên bất kỳ không gian cong nào ở bất kỳ số chiều nào. Trên mặt cầu, trên hình yên ngựa, trên không gian 4 chiều, trên không gian 11 chiều. Phát minh này nghe có vẻ chiều tượng nhưng hơn nửa thế kỷ sau, Einstein dùng đúng hình học Riemann để mô tả không gian cong dưới tác dụng của trọng lực. Toàn bộ thuyết tương đối tổng quát chỉ tồn tại được vì trước đó đã có người dám đụng vào tiên đề thứ 5 của Eclipse. Năm 1874, Georg Cantor công bố một kết quả mà thời đó gần như không ai dám chấp nhận. Ông đem vô cực ra so sánh với nhau. Trước Cantor, vô cực được coi là một khái nhiệm duy nhất không thể chia nhỏ. Cantor chứng minh điều ngược lại, có nhiều loại vô cực khác nhau và có loại lớn hơn loại khác. Cụ thể, ông chứng minh rằng tập số tự nhiên 1, 2, 3 và tập số thực gồm cả các số như Pi, canh 2, các số tập phân vô hạn không tuần hoàn, có 2 loại vô cực khác nhau. Cả 2 đều vô hạn, nhưng vô cực của số thực thực sự đông hơn vô cực của số tự nhiên. Đến năm 1891, Cantor đưa ra một chứng minh ngắn gọn và đẹp đến mức ai cũng phải công nhận gọi là lập luận đường chéo, cho thấy dù bạn cố ghép cặp số thực với số tự nhiên kiểu nào, cũng luôn còn lại số thực bị bỏ sót. Cùng thời gian đó, Cantor và những người khác xây dựng lý thuyết tập hợp một ngôn ngữ chung mà mọi nhánh toán học đều có thể viết lại bằng nó số là tập hợp hàm là tập hợp, hình là tập hợp Toán học hiện đại sau đó được lát lại trên nền tập hợp. Nhưng cách định nghĩa tập hợp ban đầu của Cantor có một lỗ hỏng Năm 1901 nhà toán học người Anh Bertrand Russell chỉ ra điều đó bằng một câu hỏi đơn giản. Bạn xét tập hợp của tất cả các tập hợp không chứa chứa trinh nó. Câu hỏi tập đó có chứa trinh nó hay không? Nếu có thì theo định nghĩa nó không được chứa trinh nó. Mầu thuẫn Nếu không thì theo định nghĩa nó phải chứa trinh nó. Cũng mầu thuẫn. Một câu hỏi đặt ra trên một trang giấy đủ để cho thấy định nghĩa tập hợp mây thơ ban đầu là không nhất quán. Sau Russell các nhà toán học phải dựng lại lý thuyết tập hợp với các tiên đề chặt chẽ hơn cẩn thận hơn về việc tập nào được phép tồn tại. Cú sốc lớn hơn đến vào năm 1931 nhà logic học người Áo Kurt Gödel chứng minh định lý bất toàn. Nói gọi lại ông chứng minh rằng trong bất kỳ hệ tiên đề nào đủ mạnh để chứa số học sẽ luôn có những mạnh đề đúng nhưng không thể chứng minh được trong hệ đó và bản thân hệ đó không bao giờ chứng minh được rằng trinh nó là nhất quán Đây không phải là vấn đề của một lý thuyết cụ thể. Đây là giới hạn nguyên tắc của trinh ý tưởng chứng minh từ tiên đề mà Hy Lạp đã phát minh ra 2.300 năm trước. Toán học có thể đúng nhưng không bao giờ tự khẳng định được mình đầy đủ và nhất quán cùng lúc. Mốc cuối cùng của câu chuyện này dẫn đến chính cái màn hình bạn đang xem Năm 1936 nhà toán học Anh Alan Turin đề xuất một mô hình tính toán triểu tượng hôm nay gọi là máy Turin đó không phải là một cái máy thật mà là một định nghĩa toán học của khái niệm tính toán được. Turin cùng với Alonzo Church độc lập đưa ra giả thiết rằng mọi thứ có thể được tính bằng một thủ tục cơ học hữu hạn đều có thể được tính bằng máy Turin. Tức là máy Turin đại diện cho toàn bộ giới hạn của những gì máy móc có thể làm Vài năm sau, các kỹ sư bắt đầu xây dựng máy tính vật lý đầu tiên Mỗi máy tính từ đó đến nay từ chiếc máy giải mã thời chiến của Turin đến điện thoại trong túi bạn đến các trung tâm dữ liệu chạy AI hiện đại đều là một máy Turin được hiện thực hóa. Toán học sau hàng nghìn năm chỉ tồn tại trên giấy và trong đầu cuối cùng đã có một thân xác vật lý Nhìn lại hàng chục nghìn năm phát triển toán học, có một mạch xuyên suốt Mỗi giai đoạn, con người mở rộng cái mà mình cho là hợp lệ Đúc đầu chỉ có số đếm rồi có không, có số âm, có số phân, có số vô tỉ có số phức, có vô cực rồi có nhiều loại vô cực Đúc đầu chỉ có hình học phẳng, rồi có hình học công rồi có không gian nhiều chiều rồi có những không gian không thể tưởng tượng được lúc đầu chứng minh là tất cả rồi gơ đen chỉ ra cả chứng minh cũng có giới hạn của riêng nó Toán học không phải là một bộ quy tắc cố định ai đó áp lên thực tại nó là một công trình đang được xây tiếp mỗi thế hệ đắp thêm một tầng và mỗi tầng mới luôn buộc tầng cũ phải nhìn lại chính mình bạn đang sống trong một thời điểm mà công trình đó vẫn đang được xây Có những bài toán đặt ra cách đây hàng thế kỷ vẫn chưa ai giải được Có những ngành toán mới chỉ vài chục năm tuổi Và rất có thể phát minh toán học quan trọng tiếp theo còn chưa được nghĩ ra Nếu bạn thấy video này thú vị hãy đăng ký kênh để cùng đi qua từng phát minh trong các video sau sâu hơn, kỹ hơn Cảm ơn bạn đã xem