几何代数

你有沒有想過 為什麼學物理這麼難 不是你不聰明 是因為有人把一件事 拆成了七八件事交給你 負數 四元數 差乘 懸量 泡利 矩陣 你每學一樣 都感覺在背一套全新規則 學了十年物理 腦子裡像個零件庫 但從來沒人告訴你 這些零件 其實都是同一臺機器拆出來的 這臺機器叫做幾何代數 先問你一個問題 你手裡有一張紙 代表面積 面積是個數 沒有方向 但如果這張紙豎著放 還是橫著放 物理意義完全不同 就像東西方向一公里 和南北方向一公里 數字一樣 含義天壤之別 這就是幾何代數的起點 面積也是有方向的 現在我們從頭說起 標量是0微的 就是一個普通數 向量是1微的 有大小 有方向 雙向量是2微的 描述一塊有方向的面 三向量描述一塊有方向的體積 0微 1微 2微 3微 像俄羅斯套娃一樣 但問題來了 這些不同維度的東西 能不能互相相乘 這纔是最關鍵的問題 你肯定知道點擊 兩個向量點乘 結果是標量方向信息 直接丟掉了 你也知道 插乘 但插乘有個致命缺陷 只在3微能用到2微 4微直接失效 有沒有一種乘法 既不丟信息 又適用任何維度 有 叫做外擊 兩個向量做外擊 結果是雙向量 他們章程的平行四邊形 連方向一起保留 點擊問的是 你們有多相似 外擊問的是 你們共同圍住了多大地盤 朝哪個方向 兩種問法 問出完全不同的信息 但這還不夠 幾何代數 做了一件真正瘋狂的事 把點擊和外擊 直接加在一起 叫做幾何擊 你可能覺得 一個標量加上一個雙向量 這不是雞同鴨講嗎 但你想想負數 實部和虛部性質完全不同 照樣加在一起 寫成A加B 沒人覺得奇怪 幾何擊是同樣的邏輯 把兩種截然不同的信息 打包成一個對象 一次計算 全都保留 更瘋狂的是 從這個定義出發 向量可以相除 普通線性代數裡 兩個向量不能相除 幾何代數裡可以 一個向量乘以它的 逆等於逆 這套體系的運算能力 遠超傳統向量代數 現在來談 讓人頭皮發麻的部分 在二維空間裡 把兩個跡象量相乘 得到一個偽標量 記作I 然後計算I的平方 結果是負1 負1的平方 更不就是 實物單位I嗎 沒錯 那個困擾人類幾百年 莫名其妙 從天而降的虛數 其實是二維空間 旋轉結構的自然產物 負數A加B 本質上就是 標量加雙向量的 二維多重向量 你用負數做旋轉 本質上是在用 幾何擊做旋轉 這不是巧合 是幾何的必然 到三維空間 更有趣了 三維跡象量的 幾何機關系 和量子力學裡的 泡利矩陣完全一致 很多人學了好幾年 量子力學 以為泡利矩陣 是量子世界 專屬的神祕工具 但它只是三維單位 向量換了一張臉 量子力學 那個著名的怪象 電子轉一圈 不回原狀 要轉兩圈纔行 也不怪異 它只是三維旋轉的 最佳表示方式 在做怪 幾何代數裡的旋轉子 天然就有這個結構 不需要任何 量子神祕性的包裝 那些讓你覺得 量子力學 深不可測的數學 很多隻是因為 用了錯誤的語言描述 還記得 差乘嗎 幾何代數告訴你 差乘 其實是外積乘以一個 偽標量 所以它只在三維好用 因為三維空間 有個特殊結構 其他維度這個結構消失 差乘也就垮了 而外積 在任何維度都成立 你以前背右手定則 紫金鷹背方向 用幾何代數 一切從定義自然推出 不需要規定 不需要記住 最後談麥克斯韋方程 這是物理學史上 最優美的方程組 描述了電荷磁的一切 支撐著整個現代電氣文明 傳統寫法是四個方程 每個單獨推導 單獨記憶 而幾何代數的寫法 是一個方程 F等於J 就這六個符號 F是把電場和磁場 合併的電磁場多重向量 J是把電荷和電流 合併的圓向 還是統一了空間 和時間導數的算子 把這一個方程展開 四條麥克斯韋方程 完整還原 一條不少 這不是數學魔術 電場和磁場 從來就不是兩個獨立的東西 它們本就是同一個對象的 不同側面 是我們的語言太粗糙 才把一件事拆成四件事來講 你有沒有想過 我們教物理的方式 是最好的方式嗎 複數在16世紀發明 四元數在19世紀發明 幾何代數在19世紀 就完整建立了 但主流物理教育 至今沒把它列為核心課程 我們用割裂的工具 教割裂的物理 讓學生自己去悟背後的統一性 悟出來的 成了大物理學家 更多人沒悟出來 覺得自己不是學物理的料 然後放棄了 問題不在學生 問題在語言 幾何代數不是高深的新發現 是一把早就存在的鑰匙 能打開幾乎所有物理數學的鎖 只是沒人把它教到你手裡 現在你已經知道它了 那些學了10年 還雲裡霧裡的概念 不是你的問題 是工具不對 換一把鑰匙 世界會不一樣