名師精講【小學數學數論專題】 P5 - 【數論專題】02.2 數的整除（例題）

各位同學大家好 我是李老師 接下來我們看看這個知識點的立題 首先我們看一下 把若干個自然數 123連成在一起 以至這個乘積的末 13位恰好都是零 那麼最後出現的自然數 最小應該是多少 注意 如果要有13個零的話 剛纔我們已經講了 13個零那就意味着 會有13個10 對不對 對吧 乘積裏邊會有13個10 也就意味着 會有什麼 有13個2 和13個5 把乘積給它 每個數都分解至一人數 是不是有13個2和13個5 但是同學們注意了 你發現2容易得到 還是5容易得到 肯定是2 你看每兩個數當中 至少有一個數是 每兩個數當中 你看肯定有一個偶數 對吧 然後偶數 至少是一個二的位數 對不對 它有可能還是4的位數 還是8的位數 對吧 但至少是一個二的位數 但是5 5必須是每5個數 纔會產生什麼 5的位數 所以說5是更稀少的 那麼只要說乘積裏邊 能有13個5 它就一定會有13個2 所以說我只需要看什麼 13個5 是怎麼產生的就可以了 13個5是怎麼產生的 來13個5是怎麼產生的 這也簡單 那麼首先我們這麼去思考 這樣去思考這個問題 13個5 它是怎麼產生的 那麼注意了 注意了 在這個裏邊 比如說 你看5 裏邊有幾個5 一個對吧 10 有一個 然後15 有多少 有一個 20 有一個 但25 它是兩個5了 對不對 所以說我在這標兩個 它是一個5 一個 對不對 各位 是吧 所以說你看25以內的 它一共有幾個5 一共是6個5 對不對 是不是一共是6個5 沒關係 再繼續看 如果是從30 然後是35 40 45 50 你發現這塊是不是 52 它裏邊還是兩個5 然後它們就是一個 好了同學們 這個是6個5 這也是6個5 6加6 是不是12了 到50 多少個5 是不是12個5了 對吧 好了 那再有幾個5就可以了 再多出一個5就可以了 那誰呢 各位同學 再多出一個5 那就是55 它裏邊有一個5 是吧 12加1 等於13 好了 所以說出現的自然數 最小是多少 最小是55 好了 1乘到55 1乘到55就可以了 好了 各位 接下來我們看一下立體二 一個4位數 把它的千位數字移到右端 構成一個新的4位數 以至這兩個4位數的和 是以下5個數的一個 問這兩個4位數的和 到底是多少 來 給大家看一下 假設原來的4位數是 ABCD 後來4位數 把千位數挪到最右側 那就是 BCDA 看一下 它是什麼 它是1000A 加100B 加10C 加D 這邊呢 1000B 加100C 加10D 再加A 1000A加A 1001A 100B 加 1000B 1100B 10C加上什麼 100C 110C D加10D 11D 各位同學有沒有發現 1001是7乘11乘13 它是11的位數 1100也是11的位數 110也是11的位數 11是11的位數 整個就是 11的位數 也就是說這個和呢 它是11的位數 和是11的位數 我只需要看這5個數 誰是11的位數就好了 我看一下它們的特點 你發現前三位都一樣 那就意味着 你發現沒有 偶數位的和是一樣的 同學們9加6得幾 15對不對 好了 我只需要看什麼 看奇數位之和 你看 它加它13 它加它是14 它加它15 它加它16 它加它17 很明顯 是不是這個 對吧 7加8 也是15 它倆叉是0 正好就是11的位數 所以說 9867是11的位數 最後答案 就是9867 非常的容易 好了 同學們暫停一下機械筆記 它考察的是11的位數 像剛纔的這道題考察的是什麼 考察的是2和5的倍數的關係 剛纔如果沒有記筆記的話 暫停一下機械筆記 然後這道題考察的是什麼 考察的是11的整個特徵 好了 暫停一下機械筆記 同學們 好 接下來我們看一下第三 好 一個6位數 2框框727 被三除於1 被9除於4 好了 被三除於1什麼意思 來同學們觀察一下 2假如說它不是框框是ab 2ab727 被三除於1 那就意味着給它減個1 2ab726 它就是 3的倍數 來 它要是3的倍數加在一起 來 你看 2加ab加7加2加6 來 2加7加2加6是什麼 2加7加2加6 對不對 你發現沒有 這是9加615加它17 首先這個17 怎麼着 給它先除以3 與2 其實這個與2怎麼來的 其實我們可以用契三法 什麼叫契三法 2加7是3的倍數 那就把它倆劃了 6是3的倍數 就把它劃了 接下來其實我就看什麼 a加b加2 是什麼 3的倍數就可以了 是吧 a加b加2是3的倍數就可以了 來 被9除於4 那就說明什麼 2ab72 7-4得幾 得3 7-4得3 它是9的倍數 它要是9的倍數 那麼同學們我們看 契九法2加7 是不是9的倍數 拿掉 那就是a加b加2加3加5 a加b加5是什麼 是9的倍數 各位 你看 a加b加5是9的倍數 那就意味着 a加b加5一定是誰 一定是3的倍數 而它要是3的倍數 給它減個3 那a加b加2 是不是3的倍數 所以說只要它成立 它就一定成立 對不對 就只要a加b加5是9的倍數 那就意味着a加b加5是3的倍數 那就意味着 因爲意味着a加b加2 肯定也是3倍數 所以說你不需要考慮它了 你只需要考慮它就可以了 那爲了讓它最小 那什麼情況下最小 a的0 是不是就是讓它最小了 a的0的時候 然後還是9的倍數 那b得幾 b的4 0加4加5不得9嗎 一個0一個4 所以說這個數最小是204727 這個6位數是204727 204727 好了 來 這道題還是非常簡單的 同學們暫停一下 記寫筆記 好 接下來我們看一下 這一講的最後一道例題 例題4 剛纔的例1 我們講了2和5的整數特徵 例題2 我們講了11的整數特徵 然後例題3 我們其實介紹了 3和9的整數特徵 例題4 其實我們看一看到底是複習誰的 三位數的百位十位個位 分別是5ab 將它重複寫2008次 如果這個數能被91整出 那麼這個數 三位數5ab是什麼 好 同學們 被91整出 我們看91是什麼 7乘13 好 這道題考察的就是7和13 對吧 好了 在這個裏邊 同學們注意了 回顧一下 7和13的整數特徵是什麼 好了 末三位與末三位之前的構成的數 大減小的差 是什麼 是7和13的倍數 對吧 是7或13的倍數 那麼這個數就是7或13的倍數 好了 那麼在這裏面 老師給大家寫個數 這個數長這樣 比如說 abc 是一個 6位數 它是個6位數 前三位和後三位長得一模一樣 如果用一下規律 後三位 與前三位的差 是0 這個0就是7和13的倍數 也是11的倍數 那就意味着 它是7 11 13的 倍數 abc 前三位等於後三位 那麼它就是71113的倍數 那麼在這裏面 其實我們就發現了 各位 我發現 5ab5ab 這個6位數 後三位減前三位 是不是一樣的 它是不是符合這個形式 那它 就是7 13的倍數 對不對 是吧 也是 91的倍數 對不對 好了 那做除法就行了 6位數是91的倍數 用它除以91 每6位拿掉 也就是每兩個5ab 就可以拿掉了 兩個5ab合在一起 91的倍數 好 拿掉 砍掉砍掉砍掉 兩個兩個砍掉 2009 兩個兩個砍掉 那是什麼 剩一個5ab 所以說接下來 我只需要保證 5ab 是 91的倍數就可以了 5ab是91的倍數就可以了 好了 5ab是91的倍數 OK 那麼這個時候 91乘幾 乘6 你看91的倍數 91乘6 那是什麼 6954 好了 546 所以說5ab是91的倍數 意味着什麼 546 就是最後結果 給91乘6 是不是就546 所以說 寫完了 它就是546 好 總結一下 91是7和13的倍數 那我們發現 7和13的整個特徵 是末三位減去 前面的所有位構成的數 大減小的差 得是7 11 13的倍數 那麼這個數纔是7 11 13的倍數 所以說 如果有一個6位數 abc abc 它的前三位 後三位是一樣的 那麼它們的差是0 既然差是0 0是11的倍數 0也是7的倍數 也是13的倍數 這個數 它就是7 11 或者13的倍數 我就發現5ab5ab 它肯定是7 13的倍數 也肯定是91的倍數 那麼這個數 能被91整除 那我就每兩個5ab 給它除掉就可以了 除掉之後 最後剩一個5ab 那麼要想這個數是 91的倍數 那你這一個5ab 就得是91的倍數 因爲你就剩下一個5ab 它要想是91的倍數 91乘6就可以了 546 這個數就是546 好 這是例題四 好了 各位同學 那麼這一講 我們就給大家講完了 希望大家課後能夠認真學習 我們下講見