小學六年級奧數《舉一反三》由淺入深，有助於培養孩子的數學思維能力 P6 - 第4周 簡便運算三1

快樂數學一起學 Hello 朋友們大家好 我是你們的東斌老師 今天要跟大家一起學習的是 小學奧數舉一反三 六年級第四周的內容 簡編運算的第三小節 好 我們一起來看一下 今天我們又會學習什麼運算方法呢 先讓我們比較一下下面兩個數 這兩個數都是分數 對吧 而且這兩個分數有個特點 全都是跟1有關的 對吧 111分之111和111分之111 看起來還挺簡單的 但是你要比較這兩個分數啊 它們的分母不相同吧 分子也不相同 而且分母大的這個分數啊 分子也大 這樣的話我們就找不到一個規律 那你說我們去通分 變成同分母可以嗎 11和111不太好變 對吧 那分子呢 能不能變成同分子呢 它也不太好變 所以這個時候我們怎麼辦呢 誒 注意 這兩個分數啊 它都是假分數 那假分數不好比較 我們可以嘗試把它換成什麼 代分數 因爲這個分子和分母 它是其實挺有關係的 對吧 比如說第一個 第一個 把1111除以111 得到的整數部分 就是它的前面那個數 對吧 所以一除呢 3就應該是10 對吧 那餘數餘的是1吧 所以1呢就剩下 作爲分子了 所以它的代分數形式是 10又111分之1 那同理 第二個呢 我們也可以把它化成代分數的形式 那除一下 誒 還是10吧 對吧 因爲除完之後 商就是10 那餘數呢 誒 也是1 但是分母是不一樣的 對吧 這個是111 這個呢是11 好 這個時候變成了 10又11分之1 誒 這兩個代分數 它們就有一個共同的特點 它們的整數部分 是完全一樣的 對吧 都是10 都是10 那所以想比較這兩個分數的大小 我們是不是隻用比較 分數部分就可以了 對吧 所以比較 111分之1和11分之1 那顯然啊 111分之1怎麼樣 要小於11分之1 對吧 因爲 兩個分數如果分子相同 分母越小 這個分數反而越大吧 所以你會發現 左邊這個數是 小於右邊這個數的 誒 我們利用了一個 把假分數拆成代分數的形式 居然就能解決兩個 很難的分數比較問題 誒 今天這一小節內容 也大部分會利用到這個思想 好 我們來看一下 知識站牌 今天學習拿這種方法 第一個叫做合理拆分 就類似於剛剛那個 比如說11分之10乘以12 誒 這個其實本來 還是比較簡單 對吧 因爲分母就是這一個 所以可以直接把 10乘以12得到答案 那除此之外 有沒有其他的方法呢 我們想分母如果是11 想乘一個數得到 很好的數的話 是不是那個數 如果是11就很好 因爲11和11可以正好 抵消或者說約分 對吧 但是右邊卻是12 我希望11 但是你卻是12 那怎麼辦 有沒有方法 能把12變成11呢 誒 我們可以把12給 拆成兩個數 寫成11再加一個1 很好 我們來試一下 那就11分之10 這個沒辦法 我們先放在這 但是12是可以寫成 11再加一個1的 誒 這個時候 有個什麼好處呢 可以利用乘法分配率 求11分之10乘以11 這個時候11是可以約掉的 一個在分母 一個在分子 對吧 那就答案就是10了 好 這邊有個1呢 所以再乘以它 那就直接加上 11分之10 最後合併 很簡單吧 寫成一個代分數的形式 所以10又11分之10 就搞定了 我們利用合理拆分 把12分成了11和1 這樣的話就正好能和 分母是11的分數 給約一下 好 我們來看一下 下一種方法 叫做重新搭配 誒 這是兩個乘積項 對吧 11分之10乘以3 和11分之2乘以7 這兩個裏面 並沒有完全相同的 如果有的話 就可以按我們前面的方法 是不是直接 乘法分配率就好了 或者叫提供因數 對不對 但是這兩個有個特點 全都有分母是11的 兩個分數 對吧 但是呢分子又不相同 如果分母相同 分子也相同 我就可以提供因數了吧 但這裏分母相同 分子不相同 怎麼辦 那我們就想想 能不能把分子怎麼樣 變得相同 對吧 那分子一個是10 一個是2 能不能變相同呢 是可以的 我們可以把10給拆一下 拆成一個含2的 那它可以變成2乘以幾呢 是不是2乘以5 好 所以我們可以把11分之10 給它拆成 11分之2 再乘以一個5 那5呢 我們就和後面乘了 對吧 那就應該是乘以15 相當於把10裏面 有5的這個因數 給了後面這個數 對吧 等於15 那麼再加上 11分之2 乘以一個7 這個時候 我就出現了兩個 分母相同 分子怎麼樣 也相同的兩個數 那怎麼辦 趕緊提出來 對吧 所以就應該是11分之2 再來乘以 第一個呢 剩15放在括號裏 第二個呢 剩7也放在括號裏 這個時候我們就得到了 11分之2 乘以一個22 恰好 得到的這個數和分母 是完全能夠約分的 對吧 約完之後呢 剩下就剩一個2 所以最後就可以得到答案是 2乘以2 也就是4了 看明白了吧 雖然兩個成績項 沒有完全一樣的 但是通過我的重新搭配 把10分成了2和5 得到了和右邊 完全一樣的分數 我就可以提供因素 好 接下來我們來看一下 王牌例題1 先來看第一個 45分之44 乘以37 這個分母 分子 還有這個乘數 沒有一樣的 連約分都沒法約 對吧 那這個時候怎麼辦呢 我們想一想 45分之44 這個數跟誰很接近 是不是差一點就到1了 差幾啊 是不是就差45分之1 所以我們把它重新寫一下 寫成 1減去45分之1 這樣寫有一個好處 有什麼好處呢 本來分子 是一個很複雜的44 你得去乘以37 但是通過我這樣重新搭配 變成1減45分之1之後 分子就很簡單 只有1了 那你再乘以37 就簡單了吧 所以我們再來試一下 好 接下來我們就可以利用 乘法分配率 1乘以37 這個大家都知道 就是37 那45分之1乘以37 就好算了吧 因爲分子是1 不需要再進行 很複雜的運算 就是45分之37 1乘37 好那麼37再減45分之37呢 我們就可以用 直接減去的方式 得到36又45分之 上面減一下 應該是這樣 是不是搞定了 所以我們通過 把45分之44 變成1減去一個數 會讓整個式子 變得很簡單 好我們再來看一下 第二個有什麼 巧算的方法 27乘以26分之15 有同學說老師 那我按剛剛的方法 把它變成1減去 26分之11 你會發現 其實並沒有簡單 對吧 剛剛那兩個是因爲 特別特別接近 所以你一減 上面就剩了一個1 但是呢這兩個 差的還是很遠 我們再來觀察 這裏面差的 最近的其實是誰 其實是27和26 這倆差幾 是不是差1 所以這個時候呢 我們可以把27 給重新拆分一下 變成26加上1 這樣的話也有個好處 等會26去 乘以26分之幾 是不是又可以約掉 對吧 所以我們通常都是找 差的最近的兩個數 看到了吧 好我們來試一下 那就乘以26分之15 這個時候我們再去利用 乘法分配率 那26和26 就可以直接約掉了 所以就應該是15 那後面這個呢 是1乘以26分之15 那就是26分之15了 最後兩個數合併一下 寫成代分數的形式 就是15又26分之15 就搞定了 好我們來看一下 王牌立題2 讓我們計算 看樣子是一個很簡單的 對吧 就是兩個數相乘 也沒有什麼多餘的乘積 所以肯定不是用什麼呢 乘法分配率 對吧 那但是這個時候 你想去乘吧 很麻煩 首先第一個是代分數 第二個呢 分母和分母 包括這裏的乘數都很大 對吧 所以你說我直接去乘吧 就有點於心不忍 對吧 太麻煩 我最喜歡分數的乘法 一定是能夠約分的乘法 對吧 但這裏明顯約不掉 你說73和8 它根本就不是倍數的關係 對吧 但是73和8 差一點點就是倍數的關係 差個幾 是不是72就是8的倍數關係 8就72吧 但是別人是73 怎麼辦呢 我喜歡72 我不喜歡73 怎麼辦 我們看能不能把73怎麼樣 變成72唄 但是73後面還帶來個1 15分之一 如果你變成72的話 其實你後面應該跟個幾 是不是跟一個1又1 1 15分之一 這樣的話才能等於 73又1 1 15分之一 對不對 那如果前面拆了72 後面還有1又1 1 5分之一的話 其實我可以選擇假分數 1又15 1又1 1 5分之一 等於16 15分之一 16 15分之一 它也很好 爲什麼呢 因爲出現了分子又是8的倍數的情況 那這個時候我們等會 是不是又可以約掉 所以呢 這樣的話就實現了合理拆分 又可以減算 好 我們再來試一下 這樣的話 72乘以1 1 8分之一 約掉之後是不是就剩9 8 9 7上 再加上這裏16和8 是不是也可以約掉 一個分子一個分母就可以約滿 約完之後就剩2 所以呢還剩15分之2 這個時候兩個數加起來就可以了 所以答案是9又15分之2 所以我們利用合理的拆分 把一個特別大的代分數 分成了兩個 而且這兩個都有個特點 和後面的分母 它的分子和分母都是倍數 就便於我們什麼呢 約分 如果你說我直接拆成 73加上15分之1 其實並沒有什麼用 因爲73和8它沒有太大關係 15分之1和8分之1 也沒有太大關係 所以大家一定要合理的拆分 好 我們來總結一下 剛剛我們講過的兩道題 通過我們合理拆分代分數 有的時候是直接把整數和分數拆開 有的時候可能需要你湊一下整數 然後再帶一個小的代分數 然後再利用乘法分配率 達到簡化運算的目的 拆分一定要注意能夠約分纔可以 好 我們來看一下王牌立題3 1分之1乘以27 加上3分之5乘以41 這兩個是兩個乘積 對吧 所以最好的方式 看看這兩個裏面 能不能提供因數 太可惜了 對吧 有兩個很相近的數 分母都是5 但是分子不一樣 分母一樣 分子不一樣 那怎麼辦呢 創造 對吧 把分子變得一樣 那怎麼能變得一樣呢 比如說我們都想要5分之3 對吧 後面這個傢伙 它依然是5分之3乘以41 但前面怎麼辦呢 我也想要5分之3 這樣的話我們纔能有供因數 對不對 才能提 那如果它變成5分之3 是不是得27你幫幫忙 對不對 把27拆解成3乘以9 這樣的話3 我就貢獻給你的分子了 1乘以3 所以還是3 那還剩什麼 是不是還剩一個9 這樣的話我就把前面的5分之1 變成了5分之3 這個時候都有5分之3 那就不用說了 提供因數 對吧 乘以第一個剩9 第二個剩41 這個時候括號裏 算出來還挺方便的 對吧 正好是一個整十的數 所以就是5分之3 乘以一個9加上41 等於50 好 這個時候就簡單了吧 分母是5 分子是50 對吧 乘幾是50 那就可以約掉 還剩一個10 最後拿分子3再乘以10 所以答案就是30 就搞定了 也是通過合理的分組 對吧 本來5分之1和5分之3 它沒有太大關係 但是我把27拆成了3 提供了一個3之後 就變得有完全一樣的因數 我們就可以提了 好 我們再來看一下 王牌立題4 這裏有三個乘幾項 對吧 我們還是看能不能想辦法 把三個裏面 變得有一個相同的數 這樣的話我又可以提供因數 對不對 我們來看6分之5 乘以13分之1 9分之5乘以13分之2 還有18分之5乘以13分之6 一個都沒有一樣的 對吧 但是這裏面有一些分母和分子一樣 我們來看一下 你看13 這裏很明顯都有13 對吧 那分子呢 這裏又都有5 但是它卻不屬於同一個分數 如果它是同一個分數 我就直接提出來 對不對 它分母是13分之幾 分子又是另外一個5 那怎麼辦呢 沒關係 既然這個數它是乘的關係 那分子和分子 其實是可以調換順序的 爲什麼呢 因爲整個分數相乘 它就是分子乘以分子 以及分母乘以分母 所以分子調換順序 分母調換順序 在乘法裏其實是可以的 好 所以我們可以把分子和分子交換一下 因爲我爲了得到分母和分子都相同的分數 那我只能這樣幹了 對不對 所以把6放到這兒 1給它移到左邊去 就變成6分之1了 那這個時候分母是13 13的分數就可以迎來它新的分子 也就是5了 這就是我的目的 對吧 變成13分之5 再加上第二個 那分母還是9 讓2和5的分子 這兩個分子換一個位置 所以9分之2 那後面這個同樣又會變成13分之5 又來一個幫忙的了 最後一個也一樣 分母還是18 但是這個分子交換一下 變成6 那這個就可以變成13分之5了 到此爲止 所有的項裏面全都有13分之5 我們就可以怎麼辦 提供因數了 對不對 所以我們來提一下13分之5 那麼第一個就剩6分之1 第二個剩9分之2 最後一個剩18分之6 其實18分之6 我們已經可以給它上下約一下 但是考慮到6和9 反正還得同分 所以我們就選擇18 好 繼續 那就13分之5再乘以 我們來通一下 就通成18好了 可以吧 那如果通成18的話 它就應該是3 3 6 18 它就應該是4 上下同乘以一個2 它的話依然是一個6 好 繼續算 這個時候你們發現 這個分子算出來正好是幾 3加上4加上6 正好是13吧 所以這個分母13 和上面整個分子 是不是就可以一起約掉 對吧 因爲它們的和也是13 所以就剩了後面這個分母 還有前面的這個分子 所以答案就是18分之5 也不難 對吧 通過我們合理的搭配 重新分組的方式 把我們想要的分子和分母 重新分組到了一起 然後再提供因素