【官方雙語】槓桿佯謬

因此我有了個構想，要打造我所謂的雙層牛頓擺。 這個想法相當簡單。 在一個普通的牛頓擺中，第一個球的能量會完全傳遞到最後一個球。 而在雙層設置中，我希望能量能從第一顆球傳遞出去， 透過這根槓桿，進入下方牛頓擺的第一顆球。 但正如你可能察覺到的，問題在於調整杠杆。 具體而言，是槓桿的質量以及球體到槓桿轉軸的距離。 而正是在我試圖優化那些參數的時候，我意識到了某件事情， 我就是不理解槓桿。 所以這段影片一開始原本是要做成， 嘿，看看我做的這個奇怪的牛頓擺， 但現在輪到我試著說服你，你其實也不懂槓桿。 然後也許我們大家能一起達到某個點，重新理解槓桿的原理。 在馬特·帕克和MinutePhysics的亨利的一點幫助下。 如果你是那個在整個影片中持續理解槓桿原理的人， 我確信你會留下評論告訴我們，也許會描述一下對你來說一切是多麼顯而易見。 這樣我們就知道你有多聰明了。 我保證，我們最終會回來優化雙層牛頓擺的。 但在那之前，讓我來試著說服你 這表示你對槓桿至少還有一些地方不理解。 為了達到這個目的，我將向你介紹一個涉及杠杆系統的思想實驗。 然後我將經過一系列看似非常合理的邏輯步驟。 然後在最後，我們會處於這樣一種情況：我已經向系統輸入了1焦耳的能量， 但我已經輸出了兩焦耳的能量。 好的，假設我們有一個一千克的物體，它漂浮在太空中。 想像一下，我們有一枚火箭，可以用來推動這塊質量。 而且這是一枚特別設計的火箭，使其始終恰好施加一牛頓的推力。 於是我們啟動引擎，開始推進， 我們持續推進，直到移動了整整一米的距離為止。 因此，當然，質量加速了，現在它具有一些動能。 那麼火箭對該物體做了多少功？ 好的，所做的功等於力乘以距離。 力是1牛頓。 距離是一公尺。 因此，所做的功為一焦耳。 一乘以一等於一。 而那一焦耳的功轉化為物體的動能。FYI 因此，一千克的質量最終具有一焦耳的動能。 如果你想要更加萬無一失的話， 你也可以從「力等於質量乘以加速度」開始計算。 這是一個較長的計算過程，但最終你仍然會得到一焦耳的動能。 順便一提，它結束時的速度是根號二公尺每秒。 那之後會派上用場。 在之前的動畫中，為了讓畫面更清晰，我讓火箭有點消失。 但當然，在引擎關閉之後， 火箭也會以同樣的速度移動，他們將會一起滑行。 現在，讓我們假設整個過程是由一個槓桿來傳遞的。 這是一回事。 我們對槓桿施加一牛頓的力，移動一公尺。 質量在相同距離上受到相同的力。 因此，最終的動能仍為一焦耳。 接下來邏輯上的一步， 我們只需要提醒自己一件我們早已知道的關於槓桿的事。 為此，我們不再在太空中漂浮了。 我們回到了地球，正用手指托著一個一千克的物體。 需要一定的力才能做到這一點，在地球上大約需要10牛頓的力。 因為這裡的重力加速度約為每秒10米。 那是小g。 在這段影片中，我將假設小 g 約為 10。 因此，需要用手指施加10牛頓的力，才能支撐起10牛頓的重力。 來自一千克的質量。 現在，來說說槓桿著名的特性。 如果你將質量減半，同時將距離支點的距離加倍， 手指並沒有感覺到任何差異。 現在的重量具有兩倍的機械優勢， 但它質量只有一半，因此相互抵消了。 如果你把質量減半，同時把距離加倍，轉動力會保持不變。 這就是我們對槓桿所了解的情況。 因此，你的手指需要施加與之前相同的力，約為10牛頓。 你的手指無法分辨出一千克的質量 這與你的手指到支點的距離相同 以及那個距離支點距離是你的手指兩倍遠的半公斤重物。脫稿 事實上，你可以把槓桿的重量端放入一個黑箱中。 而且你用手指也做不了什麼。 能夠區分一個一千克的質量 以及一個半公斤重的物體，距離是兩倍遠。 你無法透過任何實驗來確定到底是哪一個。 手指的體驗相同，因為在兩種情況下所受的力是相同的。 好的，現在我們再次進入太空，並將做同樣的事情。 我們將把質量移遠兩倍距離，並將其減半。 那是半公斤。/signup 而且，火箭將在一米的距離上施加一牛頓的力。 這當然意味著物體將被推過兩公尺的距離 因為槓桿的這一側長度是兩倍 因此，物體獲得了一些動能。 現在，火箭無法區分這兩種情況。 火箭的體驗在兩種情況下應當相同 正如我們從地球上的槓桿所知。 火箭的反作用力將相同 因此，火箭的加速度將相同 因此，杠杆绕支点旋转的速度將會相同，就像這樣。 現在，這根槓桿的這端移動速度是另一端的兩倍。 因為它距離轉軸的距離是兩倍。 因此，當引擎關閉後，半公斤的物體將以一公斤物體速度的兩倍前進。 那麼這會如何影響它的動能呢？ 東西的動能會怎樣？ 好吧，讓我們來看看動能的公式。 你那裡有個 V 平方項。 讓我們把它寫成 V lil V。 所以我們有一半的 m V V。 記住，我們將質量減半，速度加倍。 因此，動能先減半，架构再加倍，然後再次加倍。 現在，如果你把某物減半，然後再把它加倍，就會互相抵消。 我們最後只剩下那最後一次翻倍。 因此，不是一焦耳，而是其兩倍。 是兩焦耳。 如果你想要使用實際數值，我們也可以這麼做 因為如果你記得 earlier，我們得到一公斤質量的速度值為根號二。 但當然，我們會將其翻倍。 所以是二根號二。 平方後得到八。 質量是原來的一半。 因此我們先除以二，再再次除以二，因為動能的公式中包含一個二分之一。 這為你提供了兩焦耳的能量。 但請記住，火箭們正經歷著完全相同的過程。 所以我只是想表明，我們可以向槓桿輸入一焦耳的能量，然後得到兩焦耳的能量輸出。 這意味著只有兩種可能。 要么自由能技術是真實的，政府正在壓制它， 或者史蒂夫不理解槓桿原理。 更精確地說，其中一個邏輯步驟， 「邏輯步驟」，讓我們用引號標示一下， 其中一個邏輯步驟是錯誤的。 現在，在我看來，它們都顯得相當合理，甚至相當嚴謹。 但有一個比其他的稍微模糊了些。 也許你已經發現了。 其實，就在這個時刻，我說手指往下壓著槓桿， 在這裡，要支撐半公斤的物體與在這裡支撐一公斤的物體，所需的力是相同的。 那部分是對的。 但接著我說了類似這樣的話：換句話說，兩種情況下手指的體驗是相同的。 手指無法分辨一個半公斤的物體和一個一公斤的物體之間的差異。 這聽起來很合理，當我最初開始思考時，覺得這主意很說得通。 但同時，我卻想不出有任何物理概念或想法能夠在超出物理直覺之外來合理解釋它。 因此，這似乎是一個合理的候選解釋，說明我們在哪裡出了錯，以及為何最終獲得的能量多於投入的能量。 因此，儘管在這種情況下你需要施加的力與在那種情況下需要施加的力相同， 也許，例如擺動桿子的經驗在兩種情況下並不相同。 好吧，這真是個絕妙的點子，我們可以來測試一下。 所以我設置了這個盲測試。 這不是雙盲試驗，因為我懶得好好設計實驗，說實話。 不過，我們還是從街上拉了幾個人過來，結果發現了這些事。 嗯，如果非得选一個的話，我會說這個更容易扭動。 我說對了嗎？ 狗也搖尾巴。 受試者編號二，露西·格林。 是的，一個明顯比較困難。 對，對，對。噢， definitely 就是這個。 是的。 所以如果我同時握住它們，我就能说服自己它們是同一種力量。 是的。 但你說接下來的，就像動作不一樣了。 是的。一旦它變成一個動態系統，就會改變。 那太棒了。 我也試過這個實驗，我妻子也試過，我們得到了相同的結果。 看來這點相當明確了。 所有進行實驗的人皆覺得，搖動與手距離轉軸相同距離的質量較容易，而搖動質量為一半的質量則較困難。 但距離轉軸的距離是兩倍遠。 但讓我們試著量化更易擺動的項目。 那是什麼意思？ 嗯，我想這意味著兩件事。 我想這表示，對於一個給定的力，當這裡是1公斤的質量時，槓桿移動得比這裡是半公斤質量時更快。 換句話說，對於一個給定的力，槓桿的加速更快。 換句話說，距離較遠的較小質量物體需要更大的作用力，才能獲得相同的加速度。 因此，回到太空中的槓桿問題，我們發現當施加一牛頓的力經過一公尺時， 嗯，對於半公斤的情況，所需時間更長，因為它距離支點的距離是兩倍。 換句話說，它的加速較慢，最終速度也低於我的直覺預期。 從數學角度總結一下，我們可以提出這樣的問題：它會慢多少呢？ 好吧，我們知道能量必須是1焦耳，然後就可以從此推導出速度必須是多少。 但如果我們試圖駁斥自由能假說，我們應該先從力學角度證明半公斤的質量確實具有1焦耳的動能，這其實非常簡單。 關鍵在於注意到作用於半公斤質量上的力為半牛頓，因為這正是機械利益的運作方式。 根據功的公式，我們得到半牛頓乘以兩公尺等於一焦耳。 然後你透過重新排列動能公式來求得速度。 當你這樣做時，會發現無論較大質量的最終速度是多少，較小質量的速度並非較大質量的兩倍，而是較大質量速度的根號二倍。 所以我的直覺錯了那裡。 這兩艘太空船在這兩個不同的情境中，並沒有相同的經歷。 其中一個移動得較慢。 但我仍然認為這是一條具有說服力的論證路徑。 就像我向聰明人展示時，他們並未被說服，認為你真的能從一焦耳中獲得兩焦耳。 但同時，他們也無法立刻告訴我我錯在了哪裡。 為了完整起見，順便問一下，那個半公斤的質量應該放在哪裡，才能讓火箭產生與距離轉軸相同距離的1公斤質量相同的體驗？ 如果你計算一下，就會發現你並沒有把訊號傳送至雙倍的距離。 你正將它以樞軸為中心，推送兩倍於距離的位置。 但它對我來說仍然感覺不合直覺。 例如，為什麼壓住它所需的力是相同的，但讓它開始移動所需的力卻不同？ 我的意思是，我們知道原因所在，因為物理法則就是這麼運作的。 但我覺得我的直覺卻走向了相反的方向，這到底是為什麼呢？ 為什麼我的直覺認為，若要以相同的力將一個物體靜止地抵住重力，那麼要使該物體以某一特定加速度加速，所需的力也應該相同？ 嗯，我一直在想這件事，我想這就是它的來源。 假設我手中拿著一個質量，也許是零點一公斤。 這表示我必須施加一牛頓的力，才能將這物體抵住重力。 而且根據我的人生經驗，雖然我不記得具體數字，但大致上我知道，如果我把那個力加倍，物體就會以每秒10公尺的加速度向上加速，也就是大約等於重力加速度g。 因此，當我感受到要讓這個物體保持靜止有多困難時，我會預期，如果我將這個力加倍，它的加速度就應該是小 g。 但當我以某個特定的力氣往下壓一個手柄，使其保持靜止時，接著我將這個力氣加倍，我的大腦預期我的手會以接近 g 的加速度向下加速。 但可能不會吧？ 這取決於槓桿另一端發生了什麼。 然後我在想，有沒有什麼乾淨利落的方法，比如說，有沒有什麼我可以指出來，說看，這裡就是與直覺相違的地方。 我心想，嗯，大概是因為它在旋轉吧，你知道的？ 旋轉物體的物理現象違反直覺，因為你會遇到轉動慣量中的 r 平方項，你可能會想，這或許就是原因所在。 也許只是因為旋轉物體的物理規律很奇怪，我們對此沒有直覺。 但後來我跟MinutePhysics的亨利談過這件事，現在覺得我可能是錯的。 例如，你可以用一根繩子跨過滑輪，提起一個1公斤的物體，或者用另一種滑輪配置提起一個0.5公斤的物體，你所感受到的力會是一樣的。 請隨時停下來思考一下。 要將你的繩索拉動1公尺，0.5公斤的物體將移動2公尺，而1公斤的物體僅移動1公尺，這與火箭槓桿思想實驗的情況相同。 而其餘的數學計算與槓桿的情況完全相同。 如果你將這兩個滑輪組裝置藏在盒子裡，你可以透過上下拉動繩索來分辨哪一個是哪一個，這相當於晃動槓桿。 這有點像是滑輪組讓小質量具有更高的轉動慣量，或說是滑輪系統中相當於轉動慣量的東西。 你也可以設想一個類似但不完全相同的情況，使用斜面。 因此，我认为這個謎題的重點在於這些情境中的機械優勢。 至少，機械優勢以這種方式應用，使得物體移動的距離與輸入力移動的距離不同。 因為，坦白說，確實存在一些利用斜面設置情境的方式，讓你完全無法分辨兩種不同質量之間的差異。 因為你所感受到的力是相同的，而且它們移動的距離也一樣。 所以我認為這與機械優勢如何轉換運動的大小有關。 所以，真正關鍵的是機械優勢，而有趣的是，這正是我上一個關於布倫南魚雷的影片中核心論點，這實在是巧合得令人驚訝。 機械優勢的著名之處在於 anonymity .getPrompt() lumped together in a single sentence. 我不需要施加很大的力量就能上下移動這個物體，因為我有機械優勢，對吧？ 但要讓質量僅僅移動一點點，我的手卻必須移動很多。 我想我們也可以就此延伸下去。 因此，這不僅僅是力量與距離之間的權衡。 這是在力量與距離之間的權衡，隨著時間的推移而變化。 換句話說，就是速度。 這也是一種在力與時間平方的距離之間的權衡。 換句話說，就是加速度。 因此，將這一點應用到那根搖晃的棍子上，請注意，在這種情況下，我們實際上處於機械劣勢。 那麼，讓我們來看看，如果我們獲得機械優勢，會發生什麼情況，對吧？ 因此，我們將把質量加倍，但將其移近支點。 現在搖動起來更容易了，但我們必須搖得更遠。 而且它會搖晃得更快。 而且它還將加速得更快。 另一方面，如果你處於機械劣勢，那麼所需的力會更大，這正是我們所能感受到的。 但同時，行進的距離較短，速度較小，加速度也較小。 嗨，又是亨利·巴丁在這裡了。 我想再補充一個我猜測你最初覺得這個謎題反直覺的原因。 我們習慣於思考施加一個力作用一段給定時間的經驗， 就像舉起一公斤重物五秒鐘。 但如果告訴我，我將在一段給定的距離上施加一個力，這正是最初的設定。 雖然這聽起來與我們的大腦非常相似，但其實是一個非常模糊的陳述。 將一千克的重物舉高一公尺，可能需要五秒鐘，也可能需要五小時。 那將是截然不同的體驗。 是的，這有道理。 我喜歡這個觀點。其他觀眾的理論，也歡迎在評論區告訴我們。 但所有這些對我的雙層牛頓擺意味著什麼呢？ 好吧，當你試圖弄清楚球需要擊中槓桿的哪個位置時， 你正在試圖找出一個位置，使得球的全部動能都能轉移給槓桿。 就像兩個球體相互碰撞時的情況一樣。 例如，如果只有球和杠杆，你會希望球立刻停止，而杠杆則開始旋轉。 當你進行計算時，結果顯示你必須使槓桿和球體繞支點的轉動慣量相匹配。 現在，在我還沒有開始建造任何東西之前，當我正在想像所有這些事情的時候， 在我的想法中，槓桿的質量與其中一個球相同。 在這種情況下，碰撞點需要位於從支點起算的槓桿長度的三分之一距離的平方根處。 但實際上，槓桿比其中一個球還重。 我第一個想法是，這很簡單，因為我了解槓桿和機械優勢。 因此，如果槓桿的質量是球的兩倍，那麼這就等於我把質量加倍放在槓桿的末端。 因此，同樣地，我需要將碰撞點移動至從那個三分之一距離的平方根處雙倍的距離。 如果槓桿的質量是三倍，那麼我們就將距離也變成三倍，依此類推。 我一直在嘗試幾個不同的槓桿。 這個特定的質量比是我沒有記下來的。 但這段畫面向你展示了當你移動那麼多距離時所發生的情況。 正如你所看到的，碰撞後，球仍會略微向前移動。 它並沒有完全停止。 所以我们離轉點太遠了。 而且如果你記得之前的情況，我必須將一半的質量放置在距離支點根號二的位置，才能讓火箭有相同的感受。 好吧，我們在這裡也需要對質量比開根號。 當我們這麼做時，這就是碰撞的位置。 看，球一下子停住了，太棒了。 奇怪的是，當你把所有球都放進去時，這個 lever 似乎效果並不理想。 這是一支較短的桿臂，具有較為傳統的旋轉軸心，而這支桿臂則好用得多。 就像反覆彈跳的過程並不會持續太久。 重要的是，每次迴轉後會有一顆球從牛頓擺中脫離。 之前有兩個或三個球出來，但全都以那種方式失敗了。 你可能會注意到，那個桿子被以一種奇怪的方式固定住了。 我用這根釣魚線把這邊固定在轉動點上。 然後這條釣魚用的繩索是可以調節的，這正是我用來保持水平的工具。 效果相當不錯。 問題在於它引入了另一種力量。 當球撞到槓桿頂部時，那沒問題。 但當球體撞擊槓桿底部時，魚線的彈性會產生額外的力，球體將會遇到這股力。 我的猜測是，這影響微乎其微，而這種設計還有其他優勢。 而且它的效果比其他採用傳統轉軸設計的槓桿更好。 我也試過不同長度的兩者。 然而真正奇怪的是，對於這個槓桿而言，碰撞的最佳位置實際上遠離理論上的最佳位置。 而且它遠遠沒有達到那種錯誤的理論最優位置。 所以在這個階段，我們或許需要開始考慮材質方面的事了。 你知道嗎，槓桿的彈性是什麼？ 它在像弹簧一樣運作嗎？因此我們多少得擔心部分能量會回彈。 我確實認為還有一些設計上的改進空間。 也許如果我有一台CNC機器，我就能做出更有趣的轉軸。 那也像是杠杆上掛東西的鉤子之類的東西。 不過，總體來說也不錯。每次只會彈出一個球，但彈跳的力度會很快減弱。 我知道在製作這個影片的期間，Action Lab 發布了一支關於牛頓擺的影片。 在其中，他展示了一種非常巧妙的方法，從衝擊波的角度分析牛頓擺的行為。 真正有趣的是，你可以像詹姆斯那樣，將其分析為衝擊波。 或者你可以將其分析為具有完美不可壓縮的球體，這些球體之間發生完全彈性的碰撞。 而且它們之間有微小的間隙。 無論如何，你都會得到完全相同的行為。 我預期這兩個不同模型之間的等價性暗示了某種更深刻的內涵， 但我就是想不出那會是什麼。 但如果我們真的想從衝擊波的角度來思考我的裝置，那麼對這個槓桿來說意味著什麼呢？ 事實上，這變成了阻抗匹配的問題。 我拍了一整支影片來談這個話題，我會把連結放在說明欄裡。 我也会在 Action Lab 上附上詹姆斯的影片連結，絕對值得你花時間觀看。 但無論如何，當你想到波在一個系統中傳播時， 如果系統的某一部分對波的傳播阻礙程度比其他部分大或小， 然後，部分波浪能量會在該處被反射。 並通過調節槓桿的質量和碰撞點， 我們真正做的，是將槓桿的阻抗與球的阻抗相匹配。 以免產生反射。 無論你是從完全剛性、完全彈性碰撞的角度來思考， 或者你從傳播的衝擊波角度來思考， 優化槓桿碰撞的過程最終會得到相同的結果。 不過，不管怎樣，正是我對牛頓擺的一個愚蠢想法，讓我意識到了這一點 槓桿比表面上看起來更為奇特。 滑輪也是如此。 還有斜面。 如果你有任何關於如何改善我設定的建議，請在評論中告訴我。 希望您喜歡這段影片。 如果你這麼做了，別忘了按讚訂閱。 而且這個演算法認為她接下來會喜歡這支影片。