數學知識 這位先生差點摧毀了數學

數學中有一條規則，簡單得令人覺得顯而易見必定為真。 但如果接受這一點，你會發現現在有些線段的長度為零。 一個球體，不添加任何東西，也可以變成兩個相同的球體。 超過一百年的數學發展都建立在這個公理之上。 這看起來直覺且有效，但也會產生荒謬的悖論。 是這樣嗎？ 好吧，一切都要從選擇的問題開始。 試試看。選一個數字。 我可以隨便從腦子裡抓一個數字，比如 37 或 42。 但那是人類大腦在運作，而非數學過程。 在數學中，你無法真正隨機選擇事物，因為公式總是產生相同的結果。 這就是為什麼電腦沒有真正的隨機數產生器。 相反，他們通常會在您的資料上運行一個演算法。 利用目前的本地時間產生看起來隨機的數字。 因此，如果我們無法隨機選擇，數學中該如何進行選取呢？ 好吧，唯一的辦法就是遵循某種規則。 因此，一條規則可以是，永遠選擇最小的那個。 例如，如果我们考慮所有正整數，最小的數是 1。 對於質 Stuttgart，答案是 2。很簡單。 但實數呢？ 那是任何數字，正數、負數、整數、分數，皆可 即使是無理數，例如圓周率 π 或 2 的平方根。 現在試著選出最小的一個。 這是不可能的。實數會延伸至負無窮大。 即使我們試圖透過將規則訂得極其詳細來修正它， 就像在1之後選擇最小的數字，我們仍然會陷入困境。 1.01，然後是1.0001，接下來是1.00000001 等等。 那麼，實際上，1 之後是哪個數字？ 如果我們連實數的順序都無法開始規定， 下一頁和上一頁，第一頁和最後一頁，我們被困住了。 荒謬之處在於，我們知道自己擁有無限多的選擇。 但即使如此，我們仍無法決定該選哪一個。 解決這一問題的使命，始於1870年的一位男子。 他承擔了將實數確切地排列順序的任務， 即使這會殺了他。 而且幾乎就成功了。 格奧爾格·康托爾是一位才華橫溢的德國數學家。 他发现自己處於風暴的中心 在29歲時發表了他最早期的論文之一後。 幾個世紀以來，我們對無限的理解 深受伽利略1638年著作的影響。 它提出了一個關鍵問題。 自然數多還是平方數多？ 僅從它們的外觀來看，平方數之間的間距更大。 而且隨著海拔升高，它們變得越來越稀疏。 看來平方數比自然數少。 但伽利略意識到，他可以畫一條線 將每個自然數與其自身的平方一一對應。 而且由於他能夠建立這種一一對應的關係， 然後他意識到，這兩個集合的大小必須完全相同。 因此，實際上平方數的數量也同樣多 由於存在自然數。 從這個反直覺的結果來看， 伽利略得出結論，像「大於」或「小於」之類的術語 不要套用到無限上，這不是我們平常使用它們的方式。 這一切都只是一個永恆的概念。 這種觀點盛行了數個世紀。 事實上，這正是今天仍有許多人理解無窮的方式。 但兩百年後，康托並未感到滿意。 1874年，他曾疑惑， 如果那裡有兩個無限集合呢 那並沒有完全對應起來？ 它們會是不同的無限嗎？ 因此，他開始比較自然數 以及 0 和 1 之間的實數。 康托爾一開始假設他能夠完全地對應 將這些集合一一對應起來。 所以他想像著寫下一個無限的清單 在一邊有一個自然數 以及另一個介於 0 和 1 之間的實數。 由於不存在最小的實數， 他只是隨意地把他們寫下來。 假設他現在已擁有了一個完整的無限清單， 康托爾寫下另一個實數。 為了做到這一點，他取第一個數字的第一位數字 並加上一。 然後是第二個數字的第二位數字。 然後，他又加了一個。 他一路往下列表都這樣做。 如果數字是 8 或 9， 他減去一而不是加上，以避免重複。 到這個過程結束時， 他寫下了一個介於 0 和 1 之間的實數。 但這個數字在他的清單中任何地方都沒有出現。 它與第一個數字在第一位小數處不同。 與第二位小數的第二個數字不同， 以此類推。 它必須與清單上的每一個數字都不同 至少一位數字。 對角線上的數字。 這就是為什麼這個證明被稱為康托爾的對角線法證明。 而且這表明實數的數量必定更多 介於 0 和 1 之間 康托揭示了一件非凡的事。 無限並非只有一種大小。 某些無限集，例如平方數的集合， 整數，或有理數 可以與自然數完美配對。 你真的可以一個個數出來。 1、2、3，以此類推。 因此，康托爾將這些可數無限稱為可數無限。 但還有更大的無窮大。 康托稱之為不可數的。 這些無限集合，如同所有實數的集合一樣， 複數 它們無法與自然數一一對應。 康托爾的成果震撼了數學界。 畢竟，一件永遠持續下去的事物，又怎麼可能呢 比某件持續不斷的事物還要大嗎？ 他的作品被標籤為恐怖與嚴重的疾病。 但康托並未氣餒。 他的成功反而激勵他追求更宏大的目標， 顯示即使是不可數的無限集合 可以被排列成明確的順序。 康托爾所稱的良序。 一個集合要被良好排序， 他需要兩個條件。 首先，這個集合必須有一個明確的起點。 其次，每一個子集， 該集合中的一組項目 也必須有明確的起點。 例如，自然數是良序的。 有一個起點，1 以及任何子集，例如 6、7、8， 也有一個明確的起點， 在這種情況下，6。 你總知道哪個數字在前， 接下來是哪一個。 但是整數呢？ 整數延伸至無窮遠 正負兩個方向。 好吧，康托爾意識到他可以直接選取 0 以它為起點。 從那裡開始，他的排序是 1， 負1，2，負2 按絕對值對整數進行排序， 他們與 0 的距離。 無論你 etwas 首先列出正面因素，都沒有關係， 先說負面的部分， 只要您能保持一致即可。 這樣排序實際上才讓我們能夠 將整數映射到自然數 並看出兩組的大小相同。 但還有其他方法 我們完全可以對整數進行排序。 我們可以從 0 開始， 然後是 1、2、3、 一直延伸到正無窮大。 然後是負1、負2、負3， 一直延伸到負無限大。 這不是我們習慣的計數方式。 但這兩個選項都符合定義 良序的一種。 有一個明確的起點，0， 以及它們的所有子集也具有 一個明確的起點。 康托爾已成功地對一個集合進行了良序排列。 那是向兩個方向無限延伸的。 但那僅是可數無限。 在他的下一本著作中， 他發表了他的良序定理。 它聲稱每一個集合， 連不可數的無限集合也包括在內 如同實數一樣， 可能被良好地排序。 問題在於， 他其實並沒有證明這一點。 因為他做不到。 他試過的每一個方法都失敗了。 但有一個重要原因 康托爾對他的定理如此有信心。 坎托是一位虔誠的路德宗信徒。 他相信上帝正在透過他說話。 他說， 我的理論堅如磐石。 每一支射向它的箭 會迅速回到它的弓手身邊。 我怎麼會知道這件事呢？ 因為我從各方面都研究過它 多年來。 最重要的是， 因為我追尋過它的根源， 所謂，說穿了 至第一無誤之原因 一切被創造之物。 儘管不信 良序定理 這是一個高傲的宣言。 沒有任何數學證明。 因此，第二次， 數學界 遭到攻擊並被排斥的康托爾。 率先發起的是利奧波德·克羅內克爾， 數學科主任 柏林大學。 克羅內克完全否定了康托爾的工作， 稱他為科學江湖術士 一個敗壞青年的人。 克羅內克曾是康托爾的老師。 康托夢想著能與他相會。 柏林大學 但他所有的申請 被神秘地拒絕了。 因此，康托把這種拒絕視為對自己的個人攻擊。 1884年， 他寫了五十二封信給一位朋友， 以及他們中的每一個 克羅內克哀嘆道。 不久，康托爾便遭受了 第一個會是什麼 許多神經崩潰。 他被安置在一家療養院裡。 用於恢復。 他唯一能證明的方式是 每個人都錯了 是透過實數的良序性來實現的。 但他找不到起點。 literally. 一旦康托被釋放 從療養院出發， 他離開了數學。 一個破碎的人。 接下來的15年裡， 他教授哲學。 而且很少涉足他過去的興趣。 或許他面臨的最大挑戰 出現於1904年 國際數學家大會 那裡，尤利烏斯·科尼希， 一位來自布達佩斯的受人尊敬的教授 宣布他有證據 康托爾的良序定理 是錯的。 在觀眾之中，不僅有康托爾， 還有他的妻子， 他的兩個女兒， 以及他的同事。 他感到極度羞辱。 但現場還有一位其他人。 恩斯特·策梅洛 策梅洛是一位德國數學家。 最近才發展出來的 對康托爾著作的濃厚興趣。 當他聽著科尼格的演講時， 有什麼地方不對勁。 24小時內， 策梅洛已經精確指出了這個問題。 科尼希的證明包含 一個令人難以辯駁的矛盾。 一個月之內， 策梅鲆發表了一篇三頁的論文 證明每個集合都成立 可以被良好地排序。 而且完美無瑕。 策梅洛的突破出現了 當他發現某個深邃的真理時 康托爾的研究中。 康托爾所使用的機制 無意識且本能地到處都是， 但 nowhere 明確闡述。 看，從一開始就是這樣， 康托爾一直假設 他能夠做到的 同時無限多的選擇 從任何集合中， 包括不可數無限集合 就像實數一樣。 但這只是一種假設。 數學規則手冊中任何地方都沒有提到 這是否明確允許？ 數學建立在規則之上， 特別是公理。 公理是簡單的陳述 我們接受為真，而不需證明。 策梅洛意識到康托爾的假設 需要予以正式化 變成一件經得起考驗的事物 在一個證明體系中。 一個新的公理，內容為 做出所有那些選擇是可能的。 他需要選擇公理。 選擇公理可以說 在這個意義上 如果你有無限多個集合 且每個集合均不為空。 那麼就有一種方法可以選擇一個元素 從每個集合中。 對於有限集合， 這看起來很明顯。 就一輪一輪來，隨便選個東西。 即使是無限集合， 如果有明確的規則，就很容易了。 像往常一樣，選擇最小的那個。 但有時並沒有自然的規則。 在這些情況下， 當你選擇的時候 從無限多個集合中， 包括不可數的在內 你需要選擇公理。 我們無法說出我們是如何選擇的， 但公理卻使得 所有這些選擇同時進行。 公理不容許你說 你選擇了哪個元素？ 僅有無限多種選擇是可能的。 那麼，這個新的公理又是如何呢 讓我們能夠對實數進行良好的排序？ 策梅洛使用了選擇公理 從集合中選擇一個數字 所有實數。 他將這個數字放置於 我們就稱它為 x1， 轉換為一個新的集合 R。 因此，該公理使他得以 選擇另一個數字 所有實數的子集之中 除了被取出的那一個。 他稱這個數字為 x2 並將其作為他集合中的下一個數字。 而且他一直這樣做。 選定的數字 並將它放在旁邊， x3、x4、x5。 現在感覺他是在選擇 一個一個地這些數字 但實際上， 選擇已經做出 從所有可能的子集合中 同時。 當策梅洛對每個數字進行索引時 自然數中， 起初它看起來可能像是 他遇到了一個問題 因為自然數 僅是可數無限多。 畢竟真實的情況要多得多。 所以他最終應該會 用完標籤了。 但我們可以數到無限以上。 我們之前做到了 當我們數過正無限大時 要達到負一 負二 等等。 所以我们只需要一組新的數字即可 超出自然數的範圍。 稱下一個數字為歐米伽。 然後是歐米伽加一， 歐米伽 plus 兩 等等。 這些歐米伽數字 並不大於無限。 它們僅在無限之後出現。 他們不會告訴我們 有多少事物？ 但它們確實告訴了我們它們的順序。 因此，我們接下來抽出的數字是， 我們將其標記為 x 歐米伽， 然後是 x omega 加一， x 乘以 omega 加二 等等。 這將持續下去 直到我們匹配尺寸為止 實數 而且我們的原始集合是空的。 現在每一個實數 在我們新的組合中。 有一個第一個數字，x 一 以及每個子集 也有一個第一個數字。 就篦樣， 我們已成功 有序的實數。 這個訂單看起來一點都不像 就像我們熟悉的排序方式。 十億可能出現在0.2之前， 但透過這個過程， 我們可以證明 良序存在。 而且不止如此， 我們現在有一種方法 解決我們的問題 如何從數學角度進行選擇。 我們無法挑選出最小的實數， 但現在我們可以挑選了 一個實數 我們的起點。 我們可以對任何集合這樣做， 意味著所有集合都可以被良序化 無論是無限還是其他。 因此，康托爾的良序定理 策梅洛的選擇公理 等價的。 康托爾感到如釋重負。 策梅洛已經證明 良序定理 並對實數進行了良好排序 一個月內全部完成。 選擇公理 可能是一個新想法， 但其使用卻絕非如此。 策梅洛翻閱了數十篇論文 來自其他數學家 並意識到他們也 一直以來都在使用這個公理。 即使是那些曾經有過的人 批評康托爾的工作。 這正好說明了 這有多麼不合直覺啊 甚至是一個公理。 人們一直在使用它 差不多十年來都無意識地。 但這幾乎顯得太明顯了。 策梅洛的證明並沒有實際上 建立一個良序， 它只說必須有一個存在。 但某物可以存在嗎 如果我們實際上無法建造它呢？ 他的證明也使用了 無法計數的步數。 那甚至允許嗎？ 一些數學家主張 證明必須是有限的。 其他人接受了無限的概念。 但僅限可數的那種。 然後情況變得更糟了。 當數學家們在玩弄時 在選擇公理之下， 它造成了令人不安的結果。 其中最早到來的之一 喬塞佩·維塔利於1905年。 維塔利使用了選擇公理 建立一組數字 那粉碎了我們的想法 對其意義而言 長度的東西 那麼維塔利所做的事是 他取走每一個實數 介於 0 和 1 之間 並分配給其中一個 無限多個箱子。 讓我們稱這些箱子為群組。 因此我們希望每一個實數 最終落在精確的 我們無限多個箱子中的其中一個。 那他到底是怎麼做到的呢？ 真心說，我們有兩個數字 x 和 y。 如果它們的差異是， x 減 y， 等於一個有理數， 那是一個整數 除以另一個整數， 既然如此，x 和 y 都是如此 會被丟進同一個垃圾桶。 但如果我們有另外兩個數字， 假設 p 和 q， 以及它們的差異 不是理性的， 所以這是一個非理性的差異， 那麼那兩個數字 將被分別放入不同的垃圾桶。 那我們來做幾個例子。 如果這是四分之三 負二分之一 然後我們得到一個四分之一， 因此，三個quarter 一半將會離開 放入同一個垃圾桶。 事實上，你可以看到 所有有理數 從這個區間的 0 到 1 他們最後都會落得這樣 在同一組。 現在，如果你有無理數， 好吧，這並不明確。 他們會去嗎 放入同一個垃圾桶還是不放入。 因為，例如， 如果我們有這個數字 根號2除以2 負根號2除以2 減去四分之一， 那麼那確實有 一個合理的差異， 即使這些數字各自如此 是不合理的。 所以這兩個數字 將會進入同一組。 但如果我們有無理數(Void) 根號2除以2 負根號2除以3 好吧，這會導致一個非理性的差異。 根號2除以3 必須去一趟 放入另一個垃圾桶。 它將被連接起來 所有的數字 它有一個合理的差異。 這樣一來， 你可以為每個實數分配 恰好放入其中一個箱子中。 接下來，維塔利使用了選擇公理 伸入每個群組 並選擇一個數字 哪一個會是具代表性的 該團體的成員。 所以他可以掏出三個quarter 來自理性團體 此組中的根號2除以2 該組中的根號2除以3 等等。 雖然，當然。 因為我們使用了選擇公理， 你其實並不真正知道 那個代表數字是多少？ 就只是你有一個而已。 因此我們可以這樣記下來。 我們有這些代表 每個小組中 它們一起構成了維塔利集合。 你可以ività這組資料 一組點的集合 介於 0 和 1 之間。 接著，維塔利製作了無限多份複本 他的組合。 而他每一個都轉移 一個不同的有理數 介於負一與正一之間。 所以如果你仔細想想那會造成什麼結果， 它要移動了 每位代表的編號 處於該位置 其組別中其他每個數字。 如果我們僅有這一個有理數 我們挑選出來作為代表的 來自理性團體 現在我們將進行調整 每個可能的有理數 介於負一與正一之間， 所以最後會變成 在每一個其他位置 由其他成員佔據 其組別之中， 至少在 0 到 1 之間的範圍內。 所以如果你現在想像一下 合併所有這些 無限集合合在一起， 不會有任何重疊 之間的點。 其次，我們將會進行 介於 0 和 1 之間的每一個實數， 因為在那段期間 我們已經掌握每個團體的每一位成員。 那麼現在的問題是， 維塔利集合的大小是多少？ 現在我們知道那些集合的聯集 必須大於或等於 1， 因為我們擁有每一個實數 介於 0 和 1 之間。 但還有這些要點 只延伸到如此程度 負1 或 正2 因此，它必須小於或等於 3。 但問題就出在這裡， 因為是哪一個數字 維塔利集合的大小 可以加上自己嗎 無限次 最終得到一個值 1到3之間？ 沒有這樣的數字。 我的意思是，如果維塔利集合的大小為0， 你無限次地不斷加上它。 你仍然得到 0。 如果維塔利集合的大小 是一個小的正數值， 然後你把它加起來 無限次地 你會得到無限大，而不是 3。 因此我們遇到了一個矛盾。 唯一的出路 如果維塔利集合本身 無法測量的， 這看起來瘋狂極了。 不可測度集合 如同維塔利集合一樣， 沒有明確一致的定義 大小、長度或面積 甚至機率。 但數學建立在這種概念之上 一切都可以被量化。 無論是距離、時間還是重量。 但现在存在不可測度的集合， 而且看來像是選擇公理 應負責。 這才剛開始而已 由這公理所引起的騷動。 1924年， 兩位數學家， 斯特凡·巴拿赫與阿尔弗雷德·塔斯基， 用它來展示某樣東西 那看起來像個魔法把戲。 他們證明了你確實可以做到 一個實心球 並把它分成五個部分。 然後仔細地旋轉 並移動那些部件， 你可以將它們重新組裝起來 分成兩個球 每個都與那個完全相同 我們從那裡開始。 你還可以繼續下去 直到最後你會擁有 無限多個球。 無限來自於一。 這聽起來荒謬極了。 但我們實際上可以看到 其運作原理是透過建立圖形來實現。 想像一下，你可以移動 四個方向 上、下、左、右。 踏出一步之後， 向左說 你會得到相同的四個選擇， 上、下、左、右。 但如果你往右走， 你最終會回到原點。 因此，我們唯一要遵守的規則是 你無法立刻.Enter 反向移動。 我們將不斷重複這一點 每一步都 每畫一條新線 前一個的一半大小 所以全部都能顯示在螢幕上。 如果我們繼續前進， 我們最後會得到這個 無限分支的圖形。 從我們的圖表來看， 我們可以將其分為五個部分。 中間部分 我們開始的地方 然後還有 另外四個部分 全部相同 剛剛旋轉過。 所以如果我們來看這一節 左邊 我們把所有東西都搬走 向右一步 上半部分最終會到這裡， 這裡的底部部分 這裡的最左側部分， 然後我們幾乎已經重現了 整個圖形。 我們唯一缺少的東西 這個部分， 那我們把它重新加回去吧。 但我们本可以做同樣的事 以完全不同的方式 通過取底部部分 並將它向上移動一步。 現在最左邊的部分最終到了這裡， 這裡的最右邊部分 還有這裡的底部。 同樣，我們只是還缺一個部分， 那我們把它加回去吧。 但這表示我可以重新創造 整個原始圖形 以兩種完全不同的方式。 我們拿了一張圖， 將其分為各個部分， 移動了各個部分 因此，左邊的部分移動到了右邊 以及向下部分向上， 並且莫名其妙地結束了 有兩個相同的副本。 這正是巴拿赫與塔斯基當年所做之事。 但是一顆球。 正如我們的圖表所示， 我們再次有四種走法。 我們可以將球向上旋轉， 向下 左邊 或正確。 再一次， 我們唯一的規則是 我們不能立即逆轉一步棋。 為了確保我們永遠不會再回來 同一個點上 每次旋轉都會是 以相同的無理量部分 一個圓形。 我們可以隨機選擇一個起點， 標記它， 然後開始旋轉球。 每個點都已上色 根據旋轉方向 過去曾去過那裡。 如果我們無限次地這樣做， 我們最終得到這一系列點。 這是一個可數無限集合， 因為我們可以列出每一次旋轉 並為其分配一個自然數。 但球的表面 擁有不可數無限多的點， 就像實數線一樣。 因此，如果我們想要覆蓋整個表面， 我們需要重複這個過程。 那麼接下來我們從哪裡開始呢？ 由於存在不可數無限多個 可能的起點， 我們無法一一列出它們。 而且我們希望確保能夠避免 我們已經塗色的任何點。 因此，解決方案是使用 選擇公理 有了它， 我們可以繼續選擇 獨特的起點， 儘管我們無法說 正是我們選擇它們的方式。 一旦我們為球上的每一個點都塗上顏色， 我們可以將這些點分開處理 分成五組。 一個是起點之一， 以及另外四人為基礎 在最後一轉時 用來達到那些點。 這些群組 now 可以被處理 就像我們圖表中的各個部分一樣。 我們可以取一組點 以向左旋轉結尾的 並向右旋轉。 然後我們加入這個群組 以一次右旋結束， 就這樣， 我們已重新製作了原來的球。 我們可以再做一次， 多走一步 考慮起始點的因素， 我們也可以同等看待這個團體 以向下的旋轉結束， 並將其向上旋轉。 然後我們把這個群組加進去 以向上旋轉結束 以及我們的起點。 現在我們已經重現了 我們的原始球再次一次。 現在這有點過於簡化了， 但它傳達了精髓 如何做到這一點。 從一個球體開始， 我們製作了兩個完全相同的球。 相同體積的。 什麼也阻止不了我們 再次這樣做。 兩個球可以變成四個， 四變八， 還沒等你反應過來， 你有無限多個球。 選擇公理是一種 這太明顯了，根本無可否認。 及其後果 如此明顯地荒謬。 你就像， 到底發生什麼事了？ 這種無限重複 在理論上是可能的。 但問題在於， 我們把球分成的各組 並非簡單的形狀。 它們實際上是無法測量的。 就像維塔利集合一樣。 雖然原始球體具有體積， 而重複的球體具有體積， 中間的步驟 違反了我們對尺寸的認知。 這正是讓悖論發生的原因。 當然，那些並非物理上的 合理的剪裁， 但就像， 有一個更形而上的問題， 像這樣的事情甚至有可能實現嗎 如果我們能夠做出這樣的裁減呢？ 對我認識的幾乎每一個人都適用的答案 絕對不是。 事實是， 沒有人知道到底發生了什麼。 同年 塔斯基試圖將選擇公理進一步推廣， 證明它等價於該陳述 將任何無限集合進行平方 不會增加其尺寸。 當塔斯基首次提交這項研究時 寄往巴黎的一本期刊 編輯勒巴格輕蔑地回應道， 沒有人對等價性感興趣 兩個錯誤的陳述之間。 不為此所阻礙， 塔斯基把它寄給了另一位編輯。 在同一期刊上，弗雷歇。 他的回應是？ 沒有人對等價性感興趣 兩個明顯為真的陳述。 塔斯基再沒有在那裡提交過論文。 因此，數學在三十多年間處於危機之中， 讓人們不知道該相信什麼。 問題是， 等一下， 這真的是一個公理嗎？ 還是這件事是你能夠證明的？ 1938年， 我們終於開始得到一些答案了。 奧地利數學家庫爾特·哥德爾 證明了世界上確實有這麼一個世界 所有其他已被接受的公理 集合論的命題成立 選擇公理亦是如此。 然後在1963年， 保羅·科恩證明了也存在一個世界 所有集合論公理皆成立之處 除了選擇公理之外。 這有點像 幾何學中的平行公設 你可以把幾何學視為一場遊戲。 前四條公設或公理 就像最基本的規則一樣 必須玩那場遊戲。 然後是第五公理 選擇您想要遊玩的宇宙。 如果你選擇第五公設不成立的話， 因此，不存在平行線。 那你正在玩球面幾何。 如果你選擇一條平行線， 你正在玩平面幾何。 如果你選擇多條平行線， 那你就正在玩雙曲幾何。 所有這些幾何形狀都是有效的。 這取決於你想進行哪種數學運算。 對於選擇公理來說也是一樣的。 選擇公理既不能被證明 無法從其他公理中證明或反證。 只要其他公理是一致的， 增加選擇不會導致任何矛盾。 保羅·科恩獲得了費爾茲獎。 三年後，針對他突破性的成果， 以及他在集合論方面的其他工作。 在哥德爾與柯恩的研究之後， 大多關於選擇公理的爭議都平息了。 最後，到底發生了什麼事？ 這取決於你 無論你是否想要選擇 選擇公理成立的條件是 你的系統的一部分，還是不是 面對後果 無論是擁有它還是沒有它生态。 儘管結果看似不合直覺 由選擇公理所建立的， 如不可測度的集合 無限的重複， 這非常有用。 選擇讓數學家們 以簡潔明確的證明取代冗長的明確證明 以更簡潔的論點。 透過證明有限情況下的陳述， 許多證明可以被推廣 無限情況下的任何情況，僅用一行表示。 這將減少原本可能達二十頁的證明 僅僅半頁。 選擇公理 不僅讓數學變得更容易， 這對某些證明來說至關重要。 有很多定理 在一般情況下無法證明的地方 不使用「選擇」這個詞語。 現在，一些數學家 仍然更傾向於不需要選擇公理的證明。 即使更困難， 證明必須一步一步地詳細說明。 推廣至無限的情況 這提供了額外的資訊。 一些數學家花費他們的時間 研究宇宙 沒有選擇公理 了解發生了什麼事 當我們把它移除時。 但今天， 選擇公理 幾乎被普遍接受。 過去80多年來， 一代又一代的數學家 被教導將選擇視為理所當然。 到那樣的程度 許多使用選擇公理的人 甚至可能都沒有意識到 當他們在做這件事的時候。 如果你不包含選擇公理， 那你就有點在工作了 雙手被反綁在背後。 很難有任何進展 現代數學 所以問題從來就不是真的 選擇公理是正確的嗎？ 但正確的說法是選擇公理。 你想做什麼？