困擾數學家千年的難題：兩個圓直徑不同，為何滾過一週距離相同？

哎呦喂，這根本說不通啊 一個大輪帶着小輪一起滾 小輪居然走了一樣遠的距離 這不就等於說它們周長相等嗎 但他們明明一個大一個小 伽利略看到這個問題直接傻了 研究了半輩子給出一個答案 結果是錯的 而真正的答案更讓人崩潰 他告訴你你從小理解的相等這兩個字 數學家說 你壓根兒就沒理解對過 這個問題叫做亞里士多德之輪悖論 起源於2300年前的古希臘著作《機械學》 它不是什麼民間謎題 它是寫進了正經學術文獻裏的難題 困了無數頂級大腦 整整2000年都沒人能解 你現在看它覺得好像也沒那麼難 但這正是它最恐怖的地方 看起來簡單 真正想清楚沒有一個人能做到 第一個認真研究它的大人物是法國數學家羅貝瓦爾 他盯着這個滾動的大輪 把目光鎖定在輪子邊緣的一個點上 追蹤這個點滾動時畫出來的軌跡 結果他發現這條軌跡是一條波浪形的美麗曲線 數學上叫做擺線 然後他又去看內圈小輪邊緣的點 軌跡同樣是一條曲線 但這條曲線被奇怪的拉長了拉扁了 小輪越小這條曲線就被拉得越誇張 羅貝瓦爾盯著這個結果想了很久沒有得出答案 只留下了一個更大的疑問 然後伽利略出場了 伽利略是個實驗狂他不喜歡光靠腦子想他要動手 他把圓換成六邊形造了 一個大六邊形套著一個小六邊形的輪子然後讓它滾 結果他看到了一個非常清晰的現象 大六邊形每翻一個面小六邊形確實也跟著走 但小六邊形的邊根本沒有全程貼著地面 它每走一步都會騰空跳起來 在地面上留下一段空白的間隔 也就是說小六邊形是靠跳來追上大六邊形的距離的 伽利略腦子轉得很快他馬上想到如果換成8邊形呢 實驗結果是跳躍的次數變多了但每次跳躍的距離變短了 那如果邊數繼續增加增加到100條邊 1000條邊 10000條邊一直增加到無窮多條邊呢 伽利略得出結論圓形就是一個邊數無限多的多邊形 所以內圓一定在進行無數次無限小的跳躍 聽起來好像很有道理 但數學家看完直接搖頭，錯了，圓不會跳 它從來沒有離開地面 那真相到底是什麼？ 把羅貝瓦爾和伽利略的研究放在一起看 答案只剩下一個可能 內圓在滑 它沒有跳起來 它一直貼著地面 但它並不是靠自己滾動走完這段距離的 它是被外圓拖著走的 外圓每轉動一個角度 內圓就被強迫跟著轉同樣的角度 沒有任何停頓 沒有任何緩衝 是一種發生在連續運動中的 悄無聲息的拖拽式滑動 你可能覺得好，這個答案我聽懂了，那不就結束了嗎？ 沒有，問題才剛剛開始，因為這裡藏著一個更深的漏洞 如果內圓一直貼著地面滾動 那它和地面之間接觸的每一個點都應該是唯一的 不重複的外圓也是一樣，但外圓比內圓大，它的周長更長 理論上，它接觸地面的點應該更多 可兩個圓明明滾了同樣的距離 憑什麼一個大圓和一個小圓能接觸到 同樣多的地面上的點，它們上面的點 數量真的一樣多嗎 這個問題把數學家逼進了一個完全不同的領域 要搞清楚兩個圓上的點誰多誰少 你得先搞清楚什麼叫做一樣多 我們從小學的方法是數數 兩堆蘋果一個一個配對 配完沒有剩餘就說它們一樣多 這叫一一對應 對於可以數清楚的東西這個方法完全沒問題 但圓上的點能數清楚嗎 把兩個圓展開變成兩條長度不同的線段 現在問題變成了 這兩條線段上的點誰多誰少 數學家做了一個操作，把兩條線段放進一個三角形裏 從三角形的頂點向下畫一條線 無論這條線怎麼傾斜 它一定同時穿過兩條線段各自的一個點 而且這兩個點都是唯一的 這意味着兩條長度明明不同的線段 它們上面的點居然可以完美的一一對應 沒有任何剩餘 按照我們從小學的邏輯 它們應該一樣多 但等一下，這說得通嗎 一條10釐米的線段和一條1米的線段，點的數量一樣多 更離譜的還在後面 你可以用同樣的方法證明一條線段上任意 截取的一小段和整條線段的點一樣多 一小段等於整體，這在我們的直覺裏是完全荒謬的 所以數學家得出了一個顛覆性的結論 一一對應並不等於相等 對於離散的可以分開數的東西，一一對應是有效的 但對於連續的東西，比如線段上的點，一一對應完全失效 因爲連續的東西根本沒辦法一個一個的數清楚 這就引出了數學史上最燒腦的發現之一 0到1之間有多少個數？你說無窮多 那0到100萬之間呢，也是無窮多 數學家康托爾的回答讓所有人沉默 因爲0到1之間的每一個數 都可以和0到100萬之間的某一個數精確對應 沒有遺漏，沒有重複 甚至0到1之間的數和0到正無窮之間的數也是一樣多的 但康托爾沒有就此停下 他繼續追問，那整數的數量和實數的數量也一樣多嗎 這次答案變了，不一樣多 整數可以一個一個列出來 1 2 3 4 雖然永遠數不完，但你至少知道下一個是什麼 這叫可數的無窮 但實數不行，0之後的下一個數是什麼？是0.1 不對，還有 0.01，還有 0.0001 還有 0.000000 永遠可以在前面再插入一個更小的數 無窮也是有大有小的 亞里士多德之輪從一個讓人抓頭的車輪滾動問題出發 2000 年後逼出了人類對無窮本質最深刻的理解 那個你每天都能看到的車輪轉動之間 藏着整個數學世界最難解開的祕密 有一個東西物理學家研究了 200 年 到今天還沒人能用一句話解釋清楚它 你推它，它不往你推的方向走 你想讓它倒，它偏偏不倒 重力對它視而不見 它只盯着宇宙的絕對座標紋絲不動 它叫陀螺儀 一個長得像玩具卻藏着整個宇宙祕密的裝置 今天就帶你搞懂這玩意到底逆天在哪 先從一件很多人搞錯了一輩子的事說起 離心力你肯定聽過 坐車急轉彎被甩向車窗 那個往外飛的感覺無比真實 但物理學告訴你一個讓人不舒服的真相 離心力根本不存在 你被甩向車窗不是因爲有力推你 而是你的身體本來就想直線前進 是車強行轉彎撞上了你 那個往外飛的感覺 是你的慣性在抵抗 被強行拐彎不是一個真實的力 物理學管它叫慣性力 專門用來描述這種只存在於你感受裡的 不存在於真實世界裏的假力 那真實存在的力是什麼 是向心力 把球綁在繩子上甩圈 球每一瞬間的速度方向都是切線，是直線不是彎的 你鬆手球立刻直線飛出去，不會繞弧線也不會朝圓心飛 它之所以一直轉圈是因為繩子每一刻都在把它往圓心方向拉 強行改變它的方向這個力纔是向心力 一旦這個力消失球立刻逃走 旋轉這件事本質上是一場持續不斷的強行拐彎 現在你理解的這一點就能搞懂陀螺儀最核心的祕密了 把陀螺儀立在手心不旋轉它直接倒下 沒什麼好說的重力嘛 但讓它高速旋轉再立在手心 神奇的事情發生了 它不倒而是歪著身子繞一個圓圈緩緩旋轉 像喝醉了一樣這個現象叫進動 是陀螺儀最燒腦的核心 也是第一次見到就會三觀崩塌的畫面 靜動的原理是這樣的 陀螺盤在高速旋轉 圓盤上每一個小點都在繞軸飛速轉圈 就像無數顆衛星在公轉 這時候重力來了，往下壓圓盤 但問題是這些小點已經在轉了 對一個旋轉中的物體施加一個力 它不會直接往那個方向倒 而是把這個力的效果推遲到運動 方向前方整整90度才體現出來 每一個小點都偏了90度 圓盤是剛性整體，所有點互相牽連 加在一起，整個陀螺儀就不倒 反而側着身子整體轉了起來 重力從上面壓下來，效果從側面鑽出去 這就是爲什麼你推陀螺儀，它不往前倒，而是歪着轉圈 如果沒有摩擦力和空氣阻力 陀螺儀可以以固定角度永遠靜動下去 但現實裏，轉速會慢慢衰減，轉速一慢，靜動角度就越來越大 圓盤越歪越厲害，最終砸地停止 就像一枚硬幣轉着轉着越來越歪，最後啪一聲倒下去 道理是一樣的 接下來講一個跟旋轉地球直接相關的效應 知道的人不多，但它每天都在影響你的生活，叫科里奧利效應 你向正北方扔出一架紙飛機 飛機會稍稍向東偏移 彷彿有一股看不見的力在推它 你北邊的朋友向正南方扔飛機 他的飛機則會向西偏移 但這不是風，也不是任何神祕力量 是地球自轉造成的純粹的物理結果 原因是這樣的 赤道上每秒跑465米 越靠近極點線速度越慢 你扔出去的飛機 帶着你所在緯度的較快速度往北飛 飛到高緯度之後 它比那裏的地面和空氣都快 於是向東超前偏移 反過來，朋友的飛機帶着低速往南飛 到了低緯度反而比周圍慢 被甩在後面，向西偏移 科里奧利效應還有垂直版本 從高處落下的物體會稍向東偏 向上拋出的物體則會稍向西偏 因爲越高的地方繞地球旋轉的圓周越大 線速度越快 這個速度在下落時保持不變 就產生了偏移 這個效應影響了颱風的旋轉方向 影響了洋流 也影響了炮彈彈道 遠距離狙擊手打靶必須把這個偏移量算進去 否則子彈一定會飛偏 最後講一個更讓人目瞪口呆的發現 叫厄否效應 20世紀初由匈牙利物理學家羅蘭馮厄否發現 他分析海上船隻的重力測量數據時發現了一個詭異的規律 向東行駛的船測出來的重力比正常偏小 向西行駛的船測出來的重力比正常偏大 他反覆覈查沒有錯 於是得出了一個讓所有人都不敢相信的結論 向東運動你會變輕向西運動你會變重 不管你是步行開車還是坐飛機全部適用 在赤道附近 飛機向東飛行時乘客體重能減輕約0.9% 一個70公斤的人向東飛能少掉將近600克 爲什麼你隨地球自轉本來就有限速度 重力作爲向心力始終在抵抗你想切線飛出去的慣性 這種慣性產生了一種類似升力的效果讓你稍稍變輕 向東運動疊加了地球自轉速度你跑得更快 這種升力效果增強重力對你的有效拉力就減小了 你變輕了向西運動則反過來 速度被抵消升力減弱你變重了 你的質量一刻沒變只是地球抓你的力鬆了一點點 一個旋轉的圓盤揭開了力學最反直覺的真相 進東讓力90度轉向，科里奧利效應讓地球上的運動全部偏斜 厄博效應讓你向東飛就能減重600克 這三件事背後是同一套旋轉物理學的邏輯 陀螺儀從來不只是一個玩具，1852年傅科用它 第一次讓人類親眼看見地球在自轉 今天它以芯片的形式藏在你的手機裏 幫你導航防抖識別方向 每次拿起手機 其實都在用200年前的物理學 用宇宙的座標系定位自己 這個世界的運行邏輯 遠比你想象的更奇怪也更精妙 你知道什麼形狀的井蓋 無論怎麼轉動都不會掉入下水道嗎 答案就是勒洛三角形 它的幾何繪圖方法說起來也十分簡單 以一個正三角形的三個頂點爲圓心 邊長爲半徑朝外圍畫三個圓 就可獲得三段相連的等弧即勒洛三角形 這種類型在幾何中被稱爲定寬曲線 生活中這種原理的應用隨處可見 比如美國航空航天局曾在發射火箭時 會先在工廠完成推進器的組裝 然後運送至肯尼迪航天中心進行整體吊裝 推進器需要橫躺着被運送至數千米 對於液體燃料火箭來說 輕微的變形就可能導致燃料泄漏 從而造成發射事故 爲了檢測火箭的截面是否是正圓 技術人員提出了一個標準 每隔60度測量一次火箭的直徑 也就是在這個方向上 截面內兩點距離的最大值 如果三次測得的直徑都相等 那火箭的截面即使不是標準的圓形也差不多了 至於爲什麼還要從幾何中的定寬曲線談起 它是一種在任何方向上的直徑都是定值的幾何圖形 顯然圓就是最常見的定寬曲線 可定寬曲線遠不止這麼一種 最具代表性的當屬勒洛三角形 使用截面是定寬曲線的滾木 搬運東西時不會發生上下抖動 另外定寬曲線還有一個十分有趣的性質 就是寬度相等的定寬曲線有着相同的周長 所以視頻中圓形滾木滾動一週的時候 旁邊的勒洛三角形滾木也恰好轉過一週 那麼能否利用這一性質 用它來製作自行車的輪子呢 國內外本着對科學的探索 都有着利用勒洛三角形制作車輪的案例 但效果卻不太理想 因爲在轉動的過程中 勒洛三角形的肩部 需要時不時的獨立支撐車體的重量 對製作材料的耐磨度要求很高 假設覆蓋上輪胎的話 很容易就會造成脫落 最重要的是這種車輪雖說在平地很穩定 遇到坑可就麻煩大了 所以它的性能遠比不過圓形車輪 雖說自行車輪製作失敗了 但它卻在汽車工藝上有着名極一時的應用 那便是馬自達公司所發明的轉子發動機 與其他發動機不同的是 它沒有活塞和曲杆，取而代之的是一個轉子 轉子截面是勒洛三角形 當發動機運行時，無論轉子轉到什麼程度 都能嚴格地將氣缸分成三部分 同時進行進氣壓縮點火與排氣的週期 效率遠高於旋轉兩週才做功一次的傳統四衝程發動機 而且體積更小，振動與噪音也更低 但轉子發動機對材料和工藝的要求也更高 所以目前採用轉子發動機的汽車還並不多 小小的勒洛三角形也能蘊藏大乾坤，你能想到嗎 這是一塊高爾頓釘板 3000顆小球自入口處落下後 在釘子的干擾下 從左邊落下與從右邊落下的機會相等 碰到下一排釘子又是如此 最終落入底板中的某一格子 所以小球的路線事先難以確定 但不管以上實驗重複多少次 小球最終在格子中呈現出的形態 永遠近似於鐘形曲線 這個釘板的設計者是英國科學家生物學家高爾頓 目的是利用統計學研究遺傳進化問題 當科學走進生活後 高爾頓板就變成了一個有趣而又充滿神祕性的遊戲 比如曾經在老北京胡同裏流行的一種遊戲 每兩角錢可在高爾頓釘板內投入一顆小球 假設小球落到兩邊靠外側的格子裏 就會獲得較爲貴重的禮物 落到靠近中間的格子則得不到禮物 不知道其中原理的人總是期待着好運從天而降 殊不知命運其實早已是安排好了的 首先我們先分析一下小球下落的整個過程 假設我們把釘板的結構抽象爲一棵樹的話 小球落入最上方孔的概率爲1 碰到下一排的釘子將以相等的可能性向左或向右 所以最上方落入下面兩個子節點的概率分別爲1/2 子節點同樣的分爲1/4和1/4 而第三排第二個節點處球可以從兩個父節點落入 所以落入第三個二的概率是兩個四分之一的和即二分之一 總結規律我們可以看到 每棵樹的每一個節點都是父節點的和的二分之一 比如第四排第二個的權重八分之三 就是其父節點四分之一以及二分之一的和的一半 第四排最後一個節點就是其父節點四分之一的一半八分之一 看到這兒，我們不禁想到了楊輝三角 它的每個節點都是 都是父節點的和 每個數字左右對稱 由一開始逐漸變大 楊輝三角中的項均爲組合數 如果把任意一行的數用條形圖顯示出來 就可以得到與高爾頓板類似的 兩頭低中間高的鐘形曲線 其中組合數實際上描述了對某一特定實驗 獨立重複多次的分佈結果 稱爲二項分佈 楊輝三角每排的表示方法 用的正是二項展開式 因此楊輝三角的第四排 就可以看作爲C30 C31 C32 C33 而我們的高爾頓板每次相加之後還要除以2 將排數視作n 於是，在Cnk基礎上 我們要把它的每項除以2的n次方 也就等於Cnk乘以二分之一的k次方 再乘以二分之一的n-k次方 因此可以得出結論 高爾頓板的結果是滿足於二項分佈的 所以當足夠多的小球通過高爾頓板下落後 堆積而形成的球堆輪廓就會近似於鐘形曲線