【4K】莫比烏斯之瞳！幾何視角的宇宙是怎樣的？

話說上次 咱們跟大家聊了一把時間與空間 哎 我這讀了一下評論啊 好多小夥伴都覺得過於硬核 不太好懂 咱們有一說一啊 這大過年的誰都不許騙人 大家是真覺得難嗎 你們可千萬別在彈幕里老是唬我啊 弄得我寫稿子一會覺得寫難了 一會啊 又覺得過於簡單 不過呢 今兒個過年咱們聊點輕鬆的 對吧 這個春節特別的不容易 那在這裏呢 我僅代表眼見爲實 祝願屏幕面前的各位同學 在新的一年裏 家庭美滿 學業進步 年年有餘 歲歲平安 那咱們聊點啥呢 咱們就聊這個 所謂物質告訴時空如何彎曲 而彎曲的時空呢 告訴物質如何運動 這句話特別有範兒 但是真正明白它的人其實不多 所以咱們今天就跟大家好好聊聊 所謂的這個運動 跟幾何到底有啥關係 而這個所謂的彎曲的幾何 它又是怎麼告訴物質 如何運動的 大家好 歡迎來到眼見爲實 我是趙薇 我們都知道 幾何是一種數學工具 其實啊 試圖用幾何語言 來描述天體運動的人 自古有之 愛因斯坦絕對不是第一個 咱們把時間調回到16世紀末 17世紀初 在這個年代 天文學界出現了一個曠世奇才 這就是大名鼎鼎的約翰內斯·開普勒 他的三大定律 我們再熟悉不過了 對吧 第一 行星的軌道 它看起來像是個圓 但其實啊 它是橢圓的 這叫啥呀 幾何 對吧 第二 在相等的時間內 行星與太陽的連線所掃撥的面積 它必然相等 你看 這也是幾何 這一條其實特別有意思 不過大家應該很熟悉了 因爲很多科普號都已經講過了 那第三條呢 就是行星的公轉週期的平方 與其半徑的立方成正比 這條我看講的人倒不是很多 但是它其實更有意思 比如我們假設這裏有一個太陽 然後咱給它撒上1000顆行星 隨便撒 對吧 接下來我們只需要應用t方正比於r的立方 這唯一的一條定律 那麼呈現在我們面前的 就是一個開普勒眼中的幾何宇宙 怎麼樣 挺美的吧 它不僅看起來美 公式也很簡潔 計算也很快 以今天的處理器速度 大家隨便找個電腦 放個1000個點模擬一下 問題不大 不過有些小夥伴也看出來了 你這裏的軌道只有圓 沒有橢圓 對嗎 沒錯 其實 開普勒的這第三個定律的真正寫法 這裏並不是r 而是a 那a是啥呢 a就是橢圓 我們知道 一個橢圓有長軸跟短軸 而a就是橢圓的長軸的一半 這叫做半長軸 對吧 所以如果我們的公轉軌道非常接近一個圓的話 那麼此時的a就等於r 隨着橢圓的離心率越來越大 它就會變得越來越偏 而開普勒第三定律的另外一層意思就是 如果此時我們保持a不變的話 你看 這些橢圓 它們的半長軸全部相等 那麼在這些軌道上的行星 它們的公轉週期 同樣也會保持不變 對吧 所以如果我們把這些軌道上都放上行星 那麼這些行星 它們運動起來是這個樣子的 你看 這就是開普勒的三大定律 老爺子用幾何學不斷的探索着宇宙的真諦 好 說完了開普勒 接下來就是牛頓了 不過牛頓呢 過於偉大 偉大到 原理大家也明白 公式大家也會背 我們都知道 在牛頓的世界裏 對於宇宙萬物運動方式的闡述 叫做受力分析 這並不是說牛頓的世界裏就沒有幾何了 只不過 在牛頓的物理圖像中 幾何是我們得到的結果 而受力呢 纔是根本的原因 爲啥小球會走拋物線 因爲萬有引力的存在 你看 開普勒和牛頓在這裏提供了兩個完全不同的物理圖像 在開普勒看來 其實小球走的不是什麼拋物線 它仍然是一條橢圓軌道 我們之所以覺得它像是一條拋物線 這其實是小球在其橢圓軌道的頂端的一種簡單的近似 所以開普勒的物理圖像 它是幾何 他認爲 所有的天體都應該遵循這套幾何規律 但是你要問他 爲啥世界會遵循這套幾何機制呢 他也不知道 對嗎 而牛頓的物理圖像呢 是受力 但是你要問他 爲什麼會有萬有引力的存在呢 他其實也不知道 所以大家要注意 所謂任何兩個有質量的物體 都會相互吸引 這是啥 這是事實嗎 不是 這是物理圖像 我們之所以會接受這種物理圖像 是因爲它很好的解釋 並且預測了很多的觀測結果 並且在幾百年的時間裏 經受住了一代代科學家的不斷的檢驗 那麼開普勒和牛頓的這兩種物理圖像 誰更好呢 其實這東西很難評價 如果我們只是分析太陽和地球這兩個天體的話 其實他們都對 但如果我們想要發射一顆火箭上天 那麼開普勒就沒法分析了 因爲對於火箭來說 它的助推器用到的是電磁力 而它想擺脫的呢 是萬有引力 但是在開普勒的世界裏 只有幾何沒有電磁力 對吧 但是牛頓可以啊 你看老爺子厲害就厲害在這了 對吧 他用受力分析 把電磁力和引力給它統一了 所以啊 從這個層面上來講 牛頓的物理圖像無疑是更好的 但開普勒就真沒用了嗎 並不是啊 你看咱們剛纔那個例子 如果我們用幾何來去理解太陽系的星體運動 非常簡單 但是如果你非得從受力分析出發 那可就費了勁了 我們得知道每一個小天體 它們的質量 距離 然後求出引力加速度 再求出速度 角速度 當然啊 我也不是說這麼理解就不對 但是啊 如果這些天體的運行本身就符合一個更加簡單的規律的話 咱們非要給它整這麼複雜 有必要嗎 所以啊 在真正研究星體運動的時候 我們用的仍然是幾何的方法 你看啊 這就是NASA提供的八大行星的開普勒根數表 經過簡單的編程 我們一鍵導入 真實的行星運動就出現了 包括軌道的傾角 離心率 半長軸 平靜點角 都可以完美的被刻畫出來 所以你看 在處理實際問題的時候 我們並不會去研究 到底地球受到了來自於太陽的多大的引力 這種只有高中生纔會被問到的變態問題 對嗎 1905年 狹義相對論發表 我們發現了時間與空間的關係 緊接着 十年之後呢 廣義相對論發表 萬有引力之前是一種力 但是啊 在廣向裏面呢 它被理解成爲一種時空彎曲造成的幾何效應 但具體又是怎麼個幾何效應呢 我相信在看到這個莫比烏斯花的時候 大家已經都理解了 但是咱必須得提前說明一下啊 所謂彎曲的時空告訴物質如何運動 這裏面的幾何啊 它是四維的 但是如果咱們上來就跟大家扯四維 那對於大多數小夥伴來說呀 是極其不友好的 所以今天呢 我們把它給分開 咱們先不扯四維 我們先用傳統的三維思想 我們假設時間在這裏啊 仍然是絕對的均勻流淌的 而這裏面的幾何呢 僅僅是空間上的幾何 愛因斯坦的這個物理圖像 其實有兩個視角 一個叫做全局視角 我們暫且管它叫做環外視角 也就是我們現在看到的這個視角 那在我們看來呢 這個飛船正在做着很有規律的運動 但是呢 這裏面還存在一個視角 就是飛船的視角 咱得先把這個設定給大家說清楚 對吧 很多人說莫比烏斯環 它是二維的 當然如果你只是說這個面的話 它確實是二維的 但是我們的飛船並不是二維的 它能夠理解自己的運動 你看啊 我們在地球上也能理解自己的運動 對吧 比如說你在近地軌道上飄着 哎 你也能理解自己在運動 對嗎 因爲你在繞着地球轉 地球在繞着太陽轉 這些你都看得見 而我們這艘戰艦呢 它也看得見 如果我們把它搞得更真實一點的話 我們把這個莫比烏斯環給它弄得非常大 然後呢 讓這個飛船啊 變得非常小 最後呢 我們把這些參照物都給它去掉 你看啊 這個時候飛船是知道自己在運動的 對吧 只不過怎麼樣 它並沒有感受到任何的外力 所以如果我們用牛頓的觀點來看 那麼很明顯 站在環外的人會認爲啊 這個飛船受到外力了 至少是一個向心力 或者引力 對吧 但是對於飛船上的人來說呢 對不起 什麼外力啊 一點感受都沒有 所以啊 站在飛船上的人會覺得 我這裏就是一個慣性的系統 我就應該做着 勻速直線的運動 對嗎 好 那如果我們現在給它點外力呢 哎 你比如說啊 讓這個自以爲不受外力飛船 我們把它打開引擎 以正弦曲線開始運動 注意啊 電磁力進場了 對嗎 於是站在環外的我們來看呢 哎 你看啊 它就是在這個莫比烏斯環上 做着一個正弦曲線的運動 但是這次 咱要再用受力分析 你看它可就費了勁了 對吧 那大家如果覺得不過癮 咱還可以搞出更多的花樣 比如說振盪曲線 又或者是螺旋曲線 或者乾脆咱就給它來一條隨機曲線 大家要注意的是 不管飛船怎麼改變它的運動方式 在這個過程中 這個莫比烏斯環的空間本身 並沒有產生任何的變化 那有的小夥伴可能要問了啊 這空間它也可以動嗎 當然可以啦 不過彆着急啊 在此之前 咱們得先搞明白 這個莫比烏斯環狀空間 它到底是怎麼搭建的 對嗎 要做一個莫比烏斯環 非常的簡單 很多人都知道啊 我們找一條紙條 翻轉一圈 然後呢 給它粘起來 這就做成了 但是啊 這個定義其實並不嚴謹 嚴謹的說法是 大家知道 把大象放到冰箱裏面需要幾步嗎 三步 對吧 所以構造一個莫比烏斯環 也需要三步 第零步 我們假設啊 存在着一個平直的本地參考系 我們暫且管它叫X'Y'Z' 而這個啊 就是我們的飛船視角 那接下來 第一步 我們以原點爲中心 把這個參考系 往X軸方向移動一個距離 具體是多少 隨你心意啊 我們把這個距離叫做R 第二步呢 我們讓這個參考系 開始繞着原點 做圓軸運動 最後一步 我們定義啊 在這個參考系 做圓軸運動的時候 它會沿着自己本地參考系的 Y軸方向 開始旋轉 而旋轉的角度呢 剛好是圓軸運動角度的一半 說白了就是 你沿着Z軸運動360度 那麼你就得翻轉180度 好 如果你完成了上述三步 那麼恭喜你啊 一個莫比烏斯環的變換 你學會了 沒錯啊 這仍然是一個變換 看過我們往期視頻的小夥伴 應該都知道啊 我們現在做的事 跟我們之前 在上帝視角 和道夢空間那兩期裏面 沒啥區別 一模一樣 而它的數學公式呢 長成這樣 你看着挺嚇人 對吧 千萬別被唬住了啊 其實這裏面的三個矩陣 它就是咱們剛纔說的 那三步變換 而這就是一個嚴謹的 完整的莫比烏斯環的定義 而我們需要去關注的呀 就只有兩個東西 右邊的這個X'Y'Z' 這是那個飛船的視角 而左邊這個XYZ呢 這叫做環外視角 所以你看啊 這一下是不是就全明白了 在飛船本地參考系的我 可以認爲 這個世界是平直的 但是經過變換之後呢 我的所有動作啊 都會被映射到這個 莫比烏斯的環狀空間裏面來 對嗎 好 那咱們剛纔啊 是變飛船 現在呢 咱們來變一變空間 咱們讓莫比烏斯環 開始膨脹 或者收縮 又或者 咱們讓它多翻轉兩圈 你看 飛船的飛行軌跡 同樣受到了影響 所以我們的視角 現在已經徹底的分成了兩層 對吧 在平直的空間中 飛船的飛行靠的是電磁力 哎 你要是開開發動機呢 你就加速運動 你要是關上發動機呢 你就勻速運動 但是對於空間的改變呢 對不起 飛船雖然可以感知到 座標位置的改變 但是對於他們來講 他們始終覺得自己 沒有受到任何外力 當然 咱們這個世界並不真實 但是大家要理解 我們爲什麼非得把它看成是兩層 這不僅僅是因爲感受的不同 你還記得 開普勒的那個幾何嗎 咱們之前也說過 因爲引力是一個立場 所以 不管你有多少個物體 在電磁力那層 他們又是怎麼運動的 到了下面這一層 大家是一樣的 所以 這個彎曲的空間 就變成了我們整體的一個運動背景 在這個兩層的視角里面 我們既可以用電磁力 來分析每一個物體 它們各自的受力和獨特的運動 那同時 開普勒理想中的 大家都遵循的幾何規律 也被完美的保存了下來 你看 咱們今天講的內容 其實並不難 但是 它又非常的重要 對吧 每次我們說 咱們要開始升級了 時空的背景 要開始產生變化了的時候 大家的疑問就來了 啥叫時空背景 對吧 所以今天 我相信大家都明白了 如果咱們再進一步 把這個三維的模型 給它升級成四維的話 那麼左邊這個 就變成了我們上次聊的 那個本地參考系 而右邊這個 叫做彎曲的時空 這個就是我們所謂的時空的背景 不過彎曲咱們還沒聊 而且彎曲其實更有意思 所以咱們下次 就來重點跟大家聊聊 彎曲到底是什麼 而四維的彎曲 跟三維究竟有何不同 好 那我們這次的內容就到這裏 在新的一年裏 再次祝願大家 闔家快樂 心想事成 知識看得見 科學更簡單 我們下期 不見不散