阿基米德Archimedes——公元前的微積分思維丨窺見微積分思維的演化過程

在古希臘歷史上,除了我之前提到的畢達哥拉斯、歐吉里德等數學家以外,還有一位數學天才,天才到自信地說,給我一個支點,我可以撬起整個地球。 如果要在世界上選出三大數學家,就一定有他的名字,阿基米德。 大家好,這裏是探索人類,我是靈心。 自從阿基米德原著的羊皮卷手抄稿被發現與還原後,人類運用微積分這種數學工具的時間被認爲提前了1800年。 那麼阿基米德原著的手抄稿裏到底寫了什麼,讓後世覺得這就是一種對微積分思維的應用呢? 微積分到底是一種什麼樣的工具或者思維方式呢? 在阿基米德的羊皮卷手抄稿裏,人們發現了一篇阿基米德詩傳的著作《方法論》。 在《方法論》裏,阿基米德利用槓桿原理集合窮竭法,也叫窮舉法,計算出了球的體積。 所謂窮竭法就是一種以極限逼近球圖形面積的方法。 當然,這是後世對窮竭法的解讀,畢竟極限的定義比微積分出來的時間還要更晚。 但其實窮竭法也並非阿基米德首創,早在公元前五世紀,一個叫拉姆諾斯安提豐的希臘人就已經在用窮竭法了。 之後古希臘數學家歐多克索斯又進行了改進,比阿基米德早出生38年的歐基裏德也在他的《集合原本》中使用窮竭法證明了若干命題。 同樣都是應用窮竭法,怎麼到了阿基米德應用窮竭法的時候,就是一種對微積分思維的應用。 而歐多克索斯或者歐基裏德就不是呢? 爲了搞清楚這個問題,我們就要把歐基裏德應用窮竭法證明命題的推理過程和阿基米德應用窮竭法計算球體積的思考過程做個對比,從中我們就能窺見微積分思維的演化過程。 先來看看歐基裏德在《集合原本》裏是如何應用窮竭法來解決問題的。 在《集合原本》裏有這樣一個命題,圓與圓之比,如同其直徑上的正方形之比。 可以看圖片上的這兩個圓,我們把左邊這個大一點的圓稱爲圓A,把右邊這個小一點的圓稱爲圓E。 那個時候還沒有圓的面積公式,所以歐基裏德證明這個命題的過程是有些繁複冗長的。 他的主要思路是利用反正法,他先引入一個面積S,我們先不管這個S是什麼,它就是一個想象中的一個面積的值叫S。 那我們預設以圓A和圓E的直徑做的正方形之比,就等於圓A和S之比。 然後歐基裏德就先假設S小於圓E,證明是有矛盾的,再假設S大於圓E,證明也是不成立的。 最後得出S就只能等於圓E,由此就可以得到結論,圓之比就等於其直徑上的正方形之比。 爲了證明S不可能大於或者小於圓E,他就應用到了窮極法,他取EF FG GH HE圓弧上的中點,由此可以做出圓E的內階多邊形。 那我們可以想象如果我們繼續取中點的中點,然後連線,由此做出的內階多邊形的面積可以不斷趨近於圓E的面積,但始終小於圓E。 這個就是窮極法所謂的以極限逼近某一圖形面積的一個方式。 那麼圓E和我們以剛剛那種方式做出來的內階多邊形的面積之差,也就是它們圍起來的這個弓形的面積會逐漸變小。 假設S是小於圓E的,那麼圓E減去這個多邊形E,它的差最終會小於圓E減去S的差。 也就是說在這種假設下的話,圓E的內階多邊形多E的面積大於S。 而兩個圓的內階多邊形之比就等於兩個圓的內階正方形之比,也就等於之前預設的圓A和S之比。 那麼此處關於兩個圓的內階多邊形之比等於兩個圓的內階正方形之比的證明過程我們就不展開了。 主要方式是通過K點做切線然後做外階長方形,那麼由此得到的EKF三角形就等於1 2這個外階長方形的面積。 那麼把多A比上多E等於圓A比上S變換一下,就是多邊形A和圓A之比就等於多邊形E和S之比。 而多邊形A是小於圓A的,而多邊形E卻大於S,所以就矛盾了,因此S不可能小於圓E。 而後歐吉里德又用差不太多的方法證明了S不可能大於圓E,最後得出推論。 歐吉里德應用的窮竭法在於,他知道把圓弧這樣無線取終點做連線,得到的內階多邊形的面積可以不斷趨近於圓而小於圓。 可以說歐吉里德在當時已經有了極限的思維,但他到了極限這一步又轉頭去用他已經爛熟於心的反證法去了, 他繞開了推導圓的面積公式這一難題,因此極限思維更進一步的發展也就止步於此了。 但這種無線逼近極限的思維正是微積分思想演化的開端。 那阿基米德又是怎樣把窮竭法應用到了微積分的思維水準的呢? 阿基米德的厲害之處在於,他不僅是一個數學家,他還是一個實證科學家,物理學家。 比如他提出的阿基米德原理,也可以稱之爲浮力定律, 全部或者部分浸在水中的物體受到的向上的浮力等於物體排開的水的重量,這樣他就可以比較一些不規則物體的體積。 他還推導出了槓桿原理,可以用來解決當時很多的工程問題。 阿基米德就是應用槓桿原理和窮竭法計算出了球的體積。 他先設計了一個槓桿系統,在槓桿的左邊掛着一個圓錐體和一個球體,右邊掛着一個圓柱體。 圓錐體和圓柱體的底的半徑和高都是2R,球體的半徑爲R2,槓桿的長度爲4R。 如果左右兩邊是平衡的,那麼左半邊系統的重量M1乘以力臂L1就等於右半邊系統的重量M2乘以力臂L2。 也正是由於阿基米德在研究浮力定律的時候有了密度的概念,所以他假設這三個物體的密度相同,那麼上面的等式就可以用體積代替。 圓錐的體積乘以L1加上球的體積乘以L1等於圓柱的體積乘以L2。 然後他就用了窮極法來證明槓杆的左右兩端是平衡的。 他分別在三個物體的X處做切片,假設切片的厚度爲ΔX,你可以想象這個切片就是紙片那麼薄, 那麼每個物體上的切片的體積可以近似等於一個很扁很扁的圓柱體。 而圓柱體的體積等於底面積乘以高。 前面我們知道歐幾里德並不會求解圓的面積,但是從歐幾里德上面的推論中不難再進一步推導出圓周率是一個定值。 到了阿基米德這兒,他不僅知道圓周率是個定值,還提出圓的面積等於以圓周長和圓半徑長爲直角邊的直角三角形面積,即圓的面積等於R×C除以2。 也就是說他知道圓的面積怎麼算,雖然和我們現在知道的πR的平方不一樣, 但爲了方便理解下面的計算過程,圓的面積仍然我們用πR的平方來代替。 左邊切片的體積就等於圓錐體切片的體積加上球體切片的體積。 而右邊圓柱體切片的體積就是4πR²Δx。 左右兩邊的體積再乘以各自的利弊,得證左右兩邊的利矩是相等的。 也就是說無論x在0到2R這個區間取值多少,槓桿左右兩邊的切片總是平衡的。 再根據前面推導出的體積的利矩等式,就能得出球的體積。 球的體積就等於1⅔圓柱的體積減去圓錐的體積,最終等於4ⅢπR²。 在上述的推導過程中,阿基米德應用窮竭法的方式是將三個物體切片,以一種近似的方式來求解切片的體積,已經涉及到了微分。 而切片又要從0加到2R,這就又涉及到了積分。 可以說,阿基米德對微積分的理解並不遜於牛頓和萊布尼茨,而那時候還只是公元前三世紀。 雖然和歐幾里德僅相差幾十年,但可以看到,阿基米德手裏可用的數學工具已經要比歐幾里德多得多。 這也得益於他對解決各種數學物理問題的狂熱,而且他的研究領域的廣度要遠超歐幾里德的平面幾何學。 那微積分到底是一種什麼樣的思維工具呢? 從上面的例子我們看到,人們先是有了窮竭法這種無限逼近的思想,發展到了阿基米德這兒, 他把一個整體進行無限切割變成了一個個無窮小,這樣就可以讓原本無從下手的問題化繁爲簡。 這種從宏觀到微觀的過程就是微分的思想。 再把無窮小累積後還原爲整體,從微觀再到宏觀,這就是積分的思想。 不過歷史並不像微積分一樣是線性變化的。 阿基米德的羊皮卷首抄本《集精博者》直到2005年被送到斯坦福的同步輻射實驗室,裏面的內容才得以還原。 而我們公認的微積分工具直到公元17世紀纔出現。 如果這本羊皮卷書可以在公元前三世紀後就廣媒流傳,也許就不會有17世紀牛頓和萊布尼茨的微積分發明之爭了。 也許人類的科技發展可以提早一大步。 遺憾的是,歷史從來沒有如果。