技高數學_數與式_1.數與數線(一)_陳亮君

各位同學大家好 我是亮君老師 今天我們要來看的課程內容是 數與式 那我們先從數與數線的關係開始 好,那數線的由來是什麼呢? 在人類數學的發展史中 數字是被拿來理解、記錄生活事項的 那首先出現了最直覺的1、2、3 那我們就稱為正整數 而接著 商業行為的往來也漸漸發展出了 0、-1、-2的關係 再來為了分配物品 而出現了小數與分數 像是在切蛋糕的時候 或者是分物品的時候 那我們也可以用小數點來表示 也就是0.25、0.5、1 2、1 6 -4 3 這些都稱為有理數 那麼分數在數線上對應的位置 我們可以怎麼找呢? 首先來看到1 4 在數線上 我們可以從0再向外做一條直線 分成四等份 將第四等份的位置和1相連 接著在第1 1 4位置的地方 做同樣的平行線 那我們就可以得到了四分之一的位置 那如果是小數0.25呢? 我們可以怎麼從數線上找到呢? 那我們就可以先從0到1之間 分成了十等份 將第三等份 也就是0.2和0.3之間 我們再把它放大來看 那我們就可以知道0.25的位置 也就是0.2和0.3的正中間 也就是0.25了 那我們整體來說就可以知道 整數是1 2 3 依此類推 還有0-1-2-3等等 那麼有理數的部分 像是0.25 0.5 2 3 5 7 這些都是有理數 而無理數呢? 像是√2π-√5 那麼整數、有理數、無理數 這些數線上的數 我們就統稱為實數 接著我們來看看 那什麼叫做有理數呢? 我們來下個定義 也就是可以表示成p分之q的數 統稱為有理數 其中的pq是整數 而且分母的p不能夠等於0 那所以有理數包含了三個部分 第一個是整數 第二個是有限小數 第三個是循環小數 那整數像是2 我們可以寫成1分之2 而有限小數 我們像是1.38 我們可以表示成1分之138 而循環小數的部分 像是0.46的46循環 那麼分數和有限小數 我們可以怎麼互換呢? 像是0.125 我們可以寫成1千分之125 在約分之後得到1八分 而像是0.25 我們可以表示成25% 經過約分後得到了1四分 那像是40分之13 我們可以把40做直因數分解之後 得到2的3次方乘以5分之13 那可是因為分母我們想要是10的次方 所以10等於2乘以5 那我們就將分子和分母 都再乘上了5的平方 就可以表示成1千分之325 那也就可以用0.325 來表示40分之13 有限小數 也就是最簡分數中 若分母的直因數皆為2或5 那麼這個分數化為小數 必能整除 因此為有限小數 像是75分之12 我們可以經過約分之後 先得到了25分之4 那麼我們再將分子和分母 同乘上2的平方 那就也就得到了 100分之16 也就可以表示成0.16 像是8分之3 我們也可以將分子和分母 再同乘上5的3次方 那麼分母我們就可以寫成10的3次方 而分子為375 那我們就可以用小數點來表示 0.375 那所以同學們可以來想一下 那如果最簡分數的分母不是2 或者是5的時候呢 像是7分之1 那麼我們化為小數的時候 它就會是無限小數 那這個無限小數一定會是循環小數嗎 那我們來看到 利用1除以7 利用常處法來看到 可以得到 7分之1 等於0.142857 而接下來因為1又開始重複了 所以我們可以知道 7分之1可以寫成 0.142857 的142857循環 所以像是循環小數 0.3的3循環 我們可以寫成9分之3 也就是3分之1 這個我們等一下來做說明 那麼像是0.4的4循環 可以寫成9分之4 那我們也是稍微再說明一下 好來看到第一個說明 也就是我們可以先假設 s等於0.3的3循環 循環的部位是一位數也就是3 所以我們先將s乘上10 就可以得到 10s等於3.3333的3的循環 我們經過兩式相減 由下面的式子減掉上面的式子 可以得到9s等於3 也就得到了s等於9分之3 也就是3分之1 那麼來看到第二個說明 我們也可以將 0.4的4循環先假設成s 循環的部份是一位數也就是4 同樣的再將s乘以10 我們就可以得到10s 等於4.4444的循環 所以一樣由下方的式子減上方的式子 就可以得到9s等於4 所以0.4的4循環 就等於9分之4 接著那我們再來看到 下一個例子 也就是如果是0.46的46循環 可以表示成99分之46 而0.583的83循環 可以改寫為 990分之578 那我們也來看到以下的說明 那麼先來看到 0.46的46循環 我們可以先假設成是s 那由於循環的部位是兩位數 所以將s乘上100之後 我們就可以得到100s 等於46.4646的循環 那麼一樣由下式減掉上式之後 可以得到99s等於46 而s就等於99分之46 好 接著來看到 那麼如果是0.583的83循環 我們也是先假設成是s 由於循環的部位是兩位數 將s乘上100之後 我們就可以得到100s 也就是58.383838的循環 那麼同學可以看到 我們有將數字對齊 你由下式減掉上式之後 也就是99s等於58.3-0.5 也就得到了57.8 所以s我們就可以寫成 990分之578 好 我們來整理一下 我們可以透過說明1 與說明2 可以得到0.c的c循環 可以表示為九分之c的形式 例如0.2的2循環 我們可以表示為九分之二 而透過說明3 我們可以知道 0.ab的ab循環 可以表示為99分之ab 例如0.49的49循環 我們就可以寫成 99分之49 而像是說明4 我們可以知道 像是0.abc的bc循環 我們可以表示為 990分之abc-a 例如0.123的23循環 我們可以表示為分母是990 而分子是由123-1得到122 也就是0.123的23循環 可以寫成990分之122的分數形式 那我們來看看這四個 說明的情形當中 同學們可以想一想 有沒有什麼樣子的規律呢 所以其實同學們有沒有發現 如果小數點後 有幾位數循環 其實分母就有幾個9 而小數點後 有幾位不循環的數 這再把分母9的後面再加上0 而分子的部分 同學們其實也可以稍微觀察一下 像是說明4的部分 0.abc的bc循環 所以分子我們就是 加abc三個數 去減掉不循環的數 也就是a可以得到 所以我們可以推論一下 0.abc的c循環 我們其實就可以寫成 分母是900 因為小數點後有一位循環是c 所以分母一個9 而ab不循環 所以我們就在9的後面加上了兩個0 而分子的部分 我們就加abc三個數 去減掉了不循環的ab 就可以得到 我們來看個例子 像是0.118的8循環 所以分母我們就可以得到 8一個8循環的數 所以分母有一個9 那麼兩個1是不循環的 所以分母是900 那麼分子也就是可以從 118去減掉11 就得到了 9百分之107 接著我們來讓同學們思考一下 以下這個和 循環小數還有分數有關係的題目 那我們假設 abc三個數為0到9的整數 而且九分之七 小於0.abc的c循環 有小於九十分之七十一 那麼abc這三個數 會有幾組解呢 我們可以先從剛剛的推論來想一下 由於0.abc的c循環 我們可以表示為 9百分之abc-ab的分數形式 所以我們可以先將 這兩個分數擴分 改寫為 9百分之700 小於9百分之abc-ab 小於9百分之710 那麼同乘上900之後 我們可以改寫為 700小於abc-ab 小於710 那這樣子的可能性會有幾種呢 那我們再來假設一下 因為由於700到710 我們就可以知道 a一定是7 代入後 所以700小於7bc-7b 小於710 那麼b跟c 有什麼樣子的可能性呢 所以我們再來假設一下 如果b是等於7的話 那麼700小於77c-77 小於710 那麼在等量加法 同加上77後 就可以寫為 777小於77c 小於787 那麼這樣子的可能性 會有幾組呢 同學們來看一下 所以c是不是可能等於 8或者是9 所以有兩組 好 那我們也可以再假設 那如果b等於8的情況呢 那麼700小於78c-78 小於710 那麼同加上78後 就可以得到 778小於78c 小於788 那麼這樣子的c 可能會有幾組呢 所以同學們可以看一下 所以c是不是就可以 從0到7的整數 都有可能了呢 所以這樣子 在a等於7 b等於8 c有可能是0到7的整數的情況下 這樣有八組 再加上剛剛的兩組 所以a b c總共會有十組解 那透過以上的說明與練習 同學們有沒有對於 小數 循環小數 有更多的瞭解了呢 那我們今天的課程內容 就上到這裡 下次再見 拜拜