數位電路設計_蕭宇宏_數值系統_十進數與二進數

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140 觀看·2023年12月3日
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各位同學好
我是國立雲林科技大學
蕭宇紅老師
今天要進入到新的單元
在這個單元裡
要為各位同學介紹的
就是數位世界裡頭
會使用到的數值系統
那麼我們就趕緊來看一下
在這個單元內
會教給大傢什麼樣的知識
那麼接下來看到的就是
本單元的學習目標以及大綱
一開始會介紹十進數以及二進數
接著會讓同學瞭解二進數
以及十進數之間的轉換
再來會介紹到八進數以及十六進數
接著會介紹在二進數裡頭的
運算
另外還會介紹BCD碼以及格雷碼
還有ASCII碼跟parity碼
這些會在數位系統當中使用到的一些數值系統
那麼我們就趕緊來看第一個小單元
在這裡要先讓同學瞭解的是
在現實生活當中使用的進制
大家都知道是十進制
英文叫做decimal number system
那為什麼在現實生活中一開始就會使用十進制呢
我想那是因為我們人類啊
與生俱來就是有兩隻手
那總共有十隻手指頭
所以我們在數數的時候就習慣以十進制的方式來呈現囉
那之前提到的是在數位世界裡頭
它是透過二進制的方式來呈現
英文叫做binary number system
那為什麼要用二進制來呈現它呢
因為在數位世界裡
就只有兩個數就是1跟0來呈現
所以當然就只能使用二進制的方式囉
那在介紹二進制之前呢
先讓同學回想一下
十進制的數值系統到底是如何成型的哦
那十進制的數值系統呢
基本上就是透過十種不同的數字組合而成
也就是從0到9
這個是大家都知道的
那麼它基本上就是叫十微基底的一個數系哦
那麼在做運算的時候呢就是叫滿十進位的一個概念
那十進位數這樣子的數值系統
其實呢它有另外一種解讀的方式
也就是一種權重的表示法
所以呢在每個位置其實有它相對應的權重值
譬如一般我們說的個位數
其實它的權重值稱為為1
十位數權重值就為10
百位數權重值就為100
那以此可以類推哦
在十進數的一般形式上面呢
可以把它寫成一種通式
那我們來看一下它到底是如何去定義的
這裡可以看到呢
這是一個十進數的一個一般形式的呈現方式
在這裡我們用大D來表示
數元也就是在這個位置上的大小
那麼還可以看到的就是有小數點的部分
如果小數點向左邊進行的話
這個區域是叫做整數部分
小數點的右邊的這個區域是稱為小數部分
那首先看到的是整數部分
在第0位我們稱為叫做D0的這個部分
它的這個位置的權重值是代表10的0次方
其實就等於1
那繼續往上走就會有到D位
它的一個數元叫做D1
那權重值是10的1次方
以此類推第二位是D2的這個數元表示
權重值是10的2次方
那如果進行到最高位就是Dm位的話呢
Dm那麼在這個數元的這個相對應的權重值就是10的m次方了
再來看到的就是小數的部分了
小數點後的D位我們稱為叫做D-1位
因為對應的就是這個權重值
所以用D-1來表示這個數元的表示
那權重值就是10的-1次方
其實就等於0.1
再往下走就是這個D-2位
我們用D-2來呈現
它相對應的權重值就是10的-2次方
D-3位的話呢就是D-3
那麼權重值是10的-3次方
以此類推到Dn位的這個D-n
那麼它的權重值就是10的-n次方了
那再來我們可以利用一個實進數的實例來表示
那麼實進式的一個數值621.38呢
其實就可以呈現出一個通式的情形
所以可以把它寫成6去乘上10的2次方
加上2去乘上10的1次方
再加上1乘上10的0次方
再來是小數點的部分是加上3去乘上10的-1
加上8去乘上10的-2
那這個是實進數的一個實例哦
那可以將實進數的這個表示法呢
推展到一個R進數的通式
那這個R當然可以等於任何一個整數啊
所以在這裡可以看到的是
我們可以呢用R來表示它的數元
那呈現出了一個通式就會像這邊所呈現出來的結果
那這個其中的Ri呢
它可以是0到R-1間的任何一個數字
那這個通式展開來的一個情形呢
就會變成下面這個表示
Rm去乘上小R的m次方
一直累積加下來到R2
乘上R的2次方
好以此類推
那到小數點的部分呢
就會是大R的-1乘上R的-1次方
那可以以此類推下去
一直到R的-n去乘上小R的-n次方
那這個就可以呈現一個R進數的通式了
那接下來我們要看到的是
二進數的一般形式的表示
在這裡呢我們使用大B來表示它的數元的表示
但是呢在二進制裡頭呢
它的數元有另外一個特別的名稱叫做位元
也就是bit
那同樣看到的是在小數點的左邊呢就是整數的部分
小數點的右邊就是小數的部分
那從整數部分來看
第0位B0它的權重值是對應2的0次方
同樣的道理第一位就是B1對應的權重值是2的1次方
以此類推
到最高位元第M位就是對應到的權重值是2的M次方
再來看到的小數的部分
第-1位呢權重值對應的是2的-1次方
-2位就是2的-2次方的權重值
以此類推哦
到-N位的話呢就是權重值2的-N次方了
好其實基本上跟十進數的一般形式非常的類似哦
那麼同樣的我們以一個二進數的實例讓同學瞭解
假設有一個二進式的數值是1011.01
那麼它到底是如何去呈現它的結果的
就是1去乘上2的3次方加上0乘上2的2次
加上1去乘上2的1次方
再加上1去乘上2的0次方
這個是整數的部分
那小數的部分是0去乘上2的-1次方
再加上1去乘上2的-2次方
所以呢我們將這個式子整個乘出來
並且做累加
就會出現這樣子的一個結果
答案是11.25
那從這裡可以知道
一個二進式的數值1011.01
它的輸出相對應的十進數就是11.25了
各位同學在這個小單元裡頭
我們為同學介紹了就是十進數以及二進數之間的關係
那麼在接下來呢會再進行講解它的轉換的過程
