動力學_許丁友_質點運動學(1)_直線運動學：連續運動(2)

各位同學,我們今天這個單元呢是要介紹說直線運動的時候 我們怎麼樣去分析它的一些運動的方式,然後上一個單元我們已經學習到說一些基本的公式了, 那這個單元呢我們就會用一些實際上的立體,來讓大家瞭解說怎麼樣運用這些公式。 好,那我們現在就開始這個單元。 好,首先我們看這個立體, 這個圖裡面有一個車子,它是沿著直線運動的, 然後在短時間內它的速度呢,我們都可以用這個數學式來描述它, v會等於0.6t²加上t,它的單位是每秒公尺, 然後那個t的單位也是秒, 然後這個車子呢,它在時間是0的時候呢,它的s位置是0, 也就是說它在原點的位置上面,那我們要求說它 3秒的時候,這個車子的位置跟加速度是什麼? 那首先我們來看看說題目給我們什麼東西, 這個題目裡面最重要的就是這個式子,就是我們把速度呢寫成時間的函數, 然後它又給我們初始條件,時間是0的時候位置是0, 然後它要求3秒的時候車子的位置還有加速度。 好,那我們首先來看看位置怎麼樣來求它。 好,現在我們假設向右是正的,然後我們剛剛知道說速度會等於ds dt, 那速度題目已經給我們是0.6t²加t, 然後我們就可以知道說它們有這個相關性, 然後我們知道說我們應該要用積分來求解這個題目, 所以我們要把ds dt等於這個t的函數把它整理一下, 我們兩邊同乘dt,這樣的話ds就會在等號的左邊,dt就會在等號的右邊, 那右邊呢全部都是t的函數,那我們就可以做積分的運算, 然後初始值都是從0開始,那積分完之後呢左邊就是s, 從0代到s,右邊就會是0.2t³加上0.5t²,從0代到t, 把它代進去之後,我們就可以整理成這個式子,寫成s是t的函數, 單位是公尺,然後題目要我們求當t等於3秒的時候, s是位置是什麼,然後我們就可以把它代到剛剛我們求到的這個式子裡面, 得到s是0.2,然後3的三四方加上0.5,3的平方,算出來就是9.9公尺, 這個就是我們想要求的第一個答案,就是它的位置,然後加速度怎麼辦呢? 同樣的我們也是用a等於dv dt,類似的這種形式, 然後因為我們v已經把它寫成時間的函數了,所以我們可以把它代進來, 寫成0.6t²加上t,然後對t做微分,然後微分出來就得到1.2t加上1, 單位是兩平方公尺,然後題目要我們求t等於3秒的時候,加速度是什麼, 然後我們已經有加速度時間的函數了,我們就可以把它代到公式裡面, 得到加速度就會是4.6公尺,然後因為是正的,所以代表它是向右的, 這就是我們第二個答案,然後這個就是我們第一個例題, 它很簡單的就是如果我們是速度是時間的函數的話,我們怎麼樣做解題的動作, 好,那我們看這個例題,這個例題是說一個子彈, 然後它的初速度是60公尺每秒,然後我們往下射,射到一個流體裡面, 就像圖裡面這個樣子,上面那個波浪狀就是流體的表面, 然後它的原點就射在表面上的位置,然後向下S為正,子彈就要往下射到流體裡面, 然後這個流體因為它會造成子彈慢慢減速, 我們可以把它寫成它的A會等於負的0.4的V的三次方, 單位是每秒平方公尺,因為是負的,所以它是減速度, 然後這個式子裡面速度的單位也是每秒公尺, 那題目要我們求說4秒之後子彈的速度跟位置是什麼, 那我們來看看這個題目給我們的東西,這個題目最重要的就是它把加速度寫成速度的函數, 剛剛上一個例題我們是把它寫成時間的函數,那加速度寫成速度的函數, 那該怎麼辦呢?其實我們也是用同樣的加速度跟速度的關係, 就是加速度是速度對時間的微分就可以來求解, 然後我們再觀察一下這個題目裡面,加速度是速度的三次方的關係, 意思就是說當你速度越快的時候,你加速度就會更快, 而且這比例是三次方的比例,是非常快的,然後題目也給我們它的初速度是每秒60公尺, 然後我們要問說4秒之後這個子彈的速度跟位置是什麼, 好,那現在我們因為是子彈是向下運動的,所以我們現在定義向下為正,這樣比較好去了解, 那我們先看看速度怎麼樣做求解,好,我們剛剛說加速度是速度的對時間的微分, 那加速度的函數題目已經給我們了,是負0.4的V的三次方, 那這個式子呢,我們就可以把它想辦法用積分來求解, 那要積分的時候同樣,我們先要把這個式子做整理, 我們要把兩個微分運算子,底V跟底T,把它分到等式的兩邊, 所以要同乘底T,就可以把底T移到等式的右邊, 然後等式右邊之後呢,那個V的三次方,速度的三次方呢, 我們要把它移到跟底V一樣的位置, 所以我們要把這個式子同除負0.4V的三次方, 這樣子就變成等式的左邊了,那這樣子就可以做微積分的運算, 那我們現在做積分,然後再帶初始條件,就是時間是0的時候, 它的速度是每秒60公尺,然後積分的運算完呢,就會得到這個式子, 變成負0.4分之1,然後這邊有一個負2分之1,就是因為我們原本是負的, V的負二次方,然後微分之後才會變V的負三次方嘛, 然後我們再帶初始條件,就是它的邊際條件,就是每秒60公尺積到某個速度V, 那右邊的話就是,積出來就是T減掉0,然後再把它整理一下, 得到0.8分之1,V平方分之1減掉60平方分之1,會等於T, 那我們希望把它寫成,速度等於時間的函數的話,我們還需要再整理一下, 那整理一下,我們知道那個V會有兩個解,一個是正根,一個是負根, 那現在因為我們是,子彈是一直向下運動的,所以我們知道我們要取正根就是向下運動, 所以我們就可以把V寫成這個形式,就是60平方分之1加上0.8T, 整個的負二分之1次方,單位是每秒公尺,然後題目要我們求4秒的時候, 它的速度是什麼,那我們把它帶到這個式子裡面就可以得到, 速度是0.559正的值,所以代表它是往下運動的,每秒0.559公尺, 好,這是第一個我們要求解的部分,再來我們要求解位置, 要求解位置呢,因為我們剛剛已經把速度是時間的函數把它寫出來了, 那我們又知道速度是位置對時間的一次微分,會寫成dSdT, 所以同樣的我們可以建立這個關係,就可以來做求解的動作, 然後我們現在要做積分,所以同樣的我們要把dT移到等式的右邊, 右邊就會全部都是T的函數,然後代代初始條件是T等於0的時候,S等於0, 然後積分完之後,我們就可以得到這個式子,這個式子我們就可以寫成S是T的函數了, 就會是0.8分之2乘上60平方分之1加上0.8T的二分之1次方, 然後代,從0代到T,就可以寫成這個式子,然後這個式子裡面, 我們現在要求的是T等於4秒的時候,S等於多少, 然後代進去我們求出來S就會等於4.43公尺,然後同學會發現說, 這個子彈原本的速度是每秒60公尺,那4秒之後,不是應該大概60乘上40,240公尺嗎? 但是為什麼只有4.43公尺呢?不會覺得很奇怪嗎? 就是因為這個子彈一旦射到流體裡面,它瞬間它的減速度非常非常的大, 那它能夠行進的距離其實非常的小,那這個現象呢,其實實際的情況大家可以看到一些, 我們在YouTube上面找到一些影片來觀察它,那第一個影片就是說, 在水面下的時候,我們裡面,在水裡面射一個子彈,這個子彈呢, 它的行進的情況,大家可以看得出來,它只能夠進行很短的位距離之後,它就停止了。 然後第二個影片呢,是說,當你在空氣中射一顆子彈, 然後它到底可以穿過幾個水球就停下來了呢? 這也是一個很有趣的問題,同學可以去看看這兩個影片,就可以觀察說, 到底事實上是不是跟我們算得出來是很相近的。 好,那我們來看看這個立體,這個立體呢,是說有一個金屬直點, 它受到磁場的作用下呢,穿過AB板之間的這個流體, 然後如果直點是從中央C的這個位置,從靜止開始釋放, 然後這個時候呢,它的位置是S等於100, S是從A這個板呢,當作原點開始的,往下為正, 然後這個時候的加速度是A等於4S,就是它是S的函數, 單位是每秒平方公尺,然後S的單位也是公尺。 那它要求的是說,當這個直點到達B板的時候,它的速度是什麼? 然後,在B板的時候,它的位置是S等於200mm, 那它也要求說,從C到B所需要的時間是什麼? 好,那我們看看這個題目裡面,給我們的是什麼? 那它最重要的就是說,它把加速度寫成位置的函數, 所以呢,這個就是它題目的特別的地方, 然後它給我們一些初始條件,然後它要我們要求終點, 它給我們終點的S是200mm,那它要求的是B板的,到達B板的時候的速度, 還有它所需要的時間,那我們看看速度怎麼求? 那這個題目最重要的就是說,我們要用這個公式,VdV等於AdS, 因為我們現在把加速度寫成S的函數, 所以我們就可以把它代進來,A等於4S,然後初始條件就是從0.1公尺, 就是100mm的位置開始,那這個時候速度是0, 那做積分運算之後就得到,左邊是1二分之V平方,從0來到V, 右邊是4二分之S平方,從0.1來到S, 因為我們現在直點是向下運動的,所以說我們知道它是正S的方向, 所以我們那個V平方的解呢,我們要取正的這個根, 所以我們要取V等於這個式子,正的這個式子, 然後我們現在要求說S等於200mm,就是0.2公尺的時候, 那它的速度是什麼?那我們把它代進去,就可以得到在B點的時候, 它的速度是0.346每秒公尺向下,然後我們要求時間, 那剛剛我們已經把速度寫成位置的函數了, 所以我們現在要用什麼公式呢?我們現在就用這個公式, V等於底S底T這個關係,然後因為我們把V寫成S的函數了, 所以我們就可以把它代進去,底S就可以寫成V底T, V把它代進去之後寫成右邊這個式子,然後還不能做積分, 我們再整理一下,因為右邊是底T但是它現在是S的函數, 所以我們要把S的函數把它移到等式的左邊, 同儲這些東西,就會得到這個式子,那左邊就會變成全部都是S的函數跟底S, 這樣就可以做積分的運算,然後在初始條件, 當時間是0的時候,它的位置是0.1,那積分出來就得到這個東西, Long的這個一串的式子,然後再代這些邊界條件, 然後照理這個積分怎麼運算呢?其實就是沒那麼簡單了, 那我們其實手邊會有很多的工具可以幫助我們, 那網路上就有一個老師推薦的一個網頁, 可以讓大家做積分求解的運算,大家可以去這個網頁來試試看, 然後把它邊界條件代進去之後就得到這個式子, 然後再把它寫成T等於S的函數,寫成這個形式, 那題目要我們求當S等於0.2公尺的時候,時間是多少, 那代進去之後就可以得到T等於0.658秒,就是我們這題的答案, 那這個單元呢,我們就是透過一些立體的方式, 把我們上一個單元所學到的一些公式呢,怎麼樣運用來求解, 求解這些速度,加速度,還有位置,還有時間的相關性, 然後立體裡面呢,第一個立體是速度是時間的函數, 那基本上就可以用第一個公式就可以求解了, 那第二個立體呢,是加速度是速度的函數, 那我們這個時候就可以用公式2來求解, 然後最後一個立體呢,是加速度是位置的函數, 那這就跳得比較遠的時候呢,我們就要用第三個公式來求解, 那以上就是我們這個單元的介紹。