高中基本電學_第7章 直流暫態_7-1 RC電路的直流暫態_7-1.3 RC充電電路暫態電流公式解析_張偉勤

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2023年12月2日 #初態
#初態#直流暫態#穩態#時間常數
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各位同學大家好
我是桃園農工電子科張偉晴老師
歡迎收看Moxie基本電學課程
在這個單元中
老師將要為各位同學說明
RC充電電路站臺中的電流公式
接下來我們開始進入課程內容
如圖所示在這個單元中
我們將電容器連接至一簡單的直流電路之中
並且在開關S閉合之後
解析電路中的電流隨著時間而變化的關係
接下來看到當開關S閉合瞬間
電容器如同一短路元件
此時電容器兩端的電壓為0
電阻器兩端的電壓為1
由歐姆定理可推算
電阻器身上的電流I
進而得知整個迴路的電流
唯一最大值I0等於Imax等於1除以R
當開關S閉合那一瞬間過去之後
電路中除了直流電源I之外
電路中各處電壓與電流
均為隨著時間而變化的函數
接下來我們開始一步一步推導
上圖電路中隨著時間而變化的電流函數
請同學看到畫面中的電路圖
在電容器充電的過程中
依照克希荷夫電壓定理
我們可以將電路中各處的電壓關係
寫成直流電源I等於電阻器兩端的電壓Vr of t
加上電容器兩端的電壓Vc of t
在式子中的括號t代表該處的電壓或電流
是一個隨著時間而變化的函數
若把t代入某一個時間範圍
就可以算出經過這段時間範圍
所對應的電壓或電流值
在上述式子中的Vr of t
可利用歐姆定理改寫為電路電流I of t乘上電阻值R
而電容器兩端的電壓Vc of t
則可以利用第五章所學的公式V等於c分之Q
改寫成電容器內部隨著時間累積的電荷量Q of t
再除以電容量c
而電容器身上的電荷量Q of t
是因為電流流經電容器c隨著時間而累積增加
因此電荷量Q of t又可以再寫為電流I of t對時間的積分
最後我們可以得到
直流電源E等於I of t乘上電阻值R
再加上電容量c的導數
乘上電流I of t對時間的積分
接著利用工程數學中微分方程的方法
推導出電路中的電流I of t等於直流電源E除以電阻值R
再乘上自然指數E的Rc分之負t次方
這個數學是極為描述電路中的電流I of t
隨著時間t而變化的關係式
接下來老師要解釋這個電流公式中各部分的電路意義
首先看到E除以R表示開關S閉合的瞬間迴路中的初值電流
t則是代表開關S閉合後所經過的時間值
Rc則代表這個電路的時間長數
其中電阻值R即為影響電容器C充電電流的電阻值
是電路結構不同而有所差異
而t除以Rc可以解讀為開關S閉合所經過的時間t
為時間長數Rc的幾倍
E稱為自然指數該數值約為2.71828
其中自然指數E的Rc分之負t次方
可以視為電路的初值電流隨著時間t而變化的比例值
在電流公式的運算中
因為涉及自然指數E的次方運算
在計算上較為複雜
因此在本章節的課程中
只討論自然指數E至5倍的整數次方關係
並且整理成以下各組數值
這些數值在計算本章習題時常常使用
請各位同學務必熟記
E的負1次方等於0.368
E的負2次方是0.135
E的負3次方是0.05
E的負4次方等於0.018
有些坊間的書籍會將它寫成0.02
其實均為近似值
故不深入探討
E的負5次方等於0
上述五組數值分別代表當開關S閉合所經過的時間t
為Rc時間長數1到5倍時所對應的函數值
若仔細檢視這五組數值可以發現
當開關S閉合所經過的時間越久
E的Rc分之負t次方這個函數值就越小
從這樣的關係可以推論
當開關S閉合的時間越久
電路中的電流就會隨著時間越長而越小
當閉合的時間為時間長數的5倍時函數值為0
這時代表電路中的電容已充電完畢
Rc充電電路的佔派現象已經消失
電路此時進入穩定的狀態
在這個單元中老師說明瞭Rc充電電路佔派中
電流公式的簡單推導
以及電容公式的內容
以及內容中各個部分所代表的電路意義
本單元的內容到此結束
謝謝收看
