noc19-ee36-lec15

નમસ્કાર, તો અગાઉના અઠવાડિયામાં આપણે નેટવર્ક (network) ના કેટલાક અગત્યના ગુણધર્મ વિષે ચર્ચા કરી. આપણે સર્કિટ (circuit) માં લિનીયારીટી (linearity) ના ગુણધર્મથી શરૂ કર્યુ હતું, જ્યાં આપણે હોમોજીનીટી (homogeneity) અને એડીટીવીટી (additivity)ની ચર્ચા કરી હતી, પછી આપણે સુપરપોઝિશન (superposition) થીયરમ (theorem) તરફ આગળ વધ્યા હતા અને પછી આપણે સોર્સ ટ્રાન્સફોર્મેશન (source transformation) અને ડ્યુઆલીટી (duality) જેવા અન્ય વિચારોની ચર્ચા કરી હતી. અને છેલ્લા ક્લાસમા આપણે થેવેનિન થીયરમની શરુઆત કરી હતી. તો આપણે અગાઉના લેક્ચરમાં નોન-ડિપેન્ડન્ટ સોર્સ (non-dependent source) માટે આપણે થેવેનિન થીયરમ જોયુ હતુ કે જે વોલ્ટેજ (voltage) અથવા કરન્ટ બંને ઇંડિપેન્ડન્ટ સોર્સ માટે હોઈ શકે છે. તો આ ક્લાસમાં આપણે થેવેનિનના થીયરમ પર જ આગળ વધીશું, પરંતુ આપણે ડિપેન્ડન્ટ સોર્સ કે જે વોલ્ટેજ અથવા કરન્ટ હોઇ શકે છે તેના વિષે વધુ ચર્ચા કરીશું. તો, ચાલો હવે શરૂ કરીએ. સૌ પ્રથમ આપણે છેલ્લા ક્લાસમાં શું ચર્ચા કરી હતી તે યાદ કરીએ. તો આપણે થેવેનિન થીયરમની ચર્ચા કરી હતી અને ત્યારબાદ આપણે ચર્ચા કરી કે લિનિયર ટુ ટર્મિનલ સર્કિટ (linear two terminal circuit) ને ઈક્વીવેલેન્ટ (equivalent) સર્કિટ સાથે બદલી શકાય છે, જે વોલ્ટેજ (voltage) સોર્સ 𝑉𝑇ℎ સાથે સીરીઝ (series) માં રેઝિસ્ટન્સ (resistance) 𝑅𝑇ℎ ધરાવે છે. જ્યાં 𝑉𝑇ℎ એ ટર્મિનલ પાસે ઓપન સર્કિટ વોલ્ટેજ (open circuit voltage) છે અને 𝑅𝑇ℎ એ ટર્મિનલ પાસેનો ઈક્વીવેલેન્ટ રેઝિસ્ટન્સ છે જ્યારે ઇંડિપેન્ડન્ટ સોર્સ બંધ કરીએ છીએ. તો હવે આપણે ઇંડિપેન્ડન્ટ સોર્સ ને બંધ કરી છીએ જ્યારે આપણે 𝑅𝑇ℎ ની ગણતરી કરીએ છીએ. તેનો અર્થ એ થયો કે ઇંડિપેન્ડન્ટ વોલ્ટેજ સોર્સ શોર્ટ સર્કિટ (Short circuit) થશે અને ઇંડિપેન્ડન્ટ કરન્ટ સોર્સ ઓપન સર્કિંટ થશે. હવે ધારો કે આપણી પાસે એક ઘણી મોટી સર્કિટ (circuit) હોય અને આપણે તેનો અભ્યાસ કરવો હોય તો આપણે આ બે ટર્મિનલના અક્રોસ (across) માં કનેક્ટ (connect) કરેલ લોડ (load) નો અભ્યાસ કરવો હોય તો પછી નોડ (node) a અને b ની ડાબી બાજુએ જે સર્કિટ છે, તે આક્રુતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ વોલ્ટેજ અને રેઝિસ્ટન્સને બરાબર થશે. આમ વોલ્ટેજ ને થેવેનિન વોલ્ટેજ તરીકે અને રેઝિસ્ટન્સ ને થેવેનિન રેઝિસ્ટન્સ દ્વારા લખી શકાય છે. આ બંને કિસ્સામાં આપણે ટર્મિનલ a અને b ની અક્રોસમા V-I લાક્ષણિતા સમાન જોઇશુ. આમ બંને સર્કિટ ઈક્વીવેલેન્ટ છે કારણ કે તેમની V-I લાક્ષણિકતા સમાન છે. આમ આ તે છે જે ચર્ચા આપણે અગાઉના લેક્ચરમાં કરી અને પછી આપણે સ્થાપિત કર્યું કે થેવેનિન વોલ્ટેજ બીજું કંઈ નથી પરંતુ તે લિનિયર ટુ ટર્મિનલ સર્કિટ ની એક્રોસમા ઓપન સર્કિટ વોલ્ટેજ છે અને 𝑅𝑇ℎ બીજું કંઈ નથી પરંતુ ટર્મિનલ પાસેનો ઈનપુટ (input) રેઝિસ્ટન્સ છે જ્યારે આપણે ઇંડિપેન્ડન્ટ સોર્સ ને બંધ કરીએ છીએ. આમ તમે જ્યારે ટર્મિનલ a અને b મા જોવો છો, ઈક્વીવેલેન્ટ રેઝિસ્ટન્સ જે તમે અહીંથી જોવો છો તે બીજું કંઈ નથી પરંતુ થેવેનિન રેઝિસ્ટન્સ છે. હવે આપણે થેવેનિન રેઝિસ્ટન્સની ગણતરી માટેની ચર્ચા કરીશું જેના માટે આપણે બે કિસ્સાને ધ્યાનમાં રાખીશું. તો હવે એ જોઈએ કે આ પ્રથમ કેસ કેવો હતો? પ્રથમ કિસ્સામાં નેટવર્ક (network) પાસે કોઈ ડિપેન્ડન્ટ સોર્સ નથી અને કરન્ટ સોર્સ ઓપન સર્કિંટ હશે. અને હમણાં જ આપણે ચર્ચા કરી હતી કે વોલ્ટેજ સોર્સ શોર્ટ સર્કિટ હોવો જોઈએ અને કરન્ટ સોર્સ ઓપન સર્કિટ હોવો જોઈએ અને પછી 𝑅𝑇ℎ એ નેટવર્કનો ઈનપુટ રેઝિસ્ટન્સ છે અને તે અગાઉની આક્રુતિ માં દર્શાવ્યા મુજબ ટર્મિનલ a અને b ની વચ્ચે જોવા મળે છે. હવે આ સેશનમાં આપણે બીજા કિસ્સા વિષે વધારે ચર્ચા કરીશું. આ કિસ્સામાં નેટવર્ક પાસે ડિપેન્ડન્ટ સોર્સ છે. આપણે ડિપેન્ડન્ટ સોર્સને બંધ કરી શકતા નથી કારણ કે તે કોઈ સર્કિટ વેરીએબલ (variable) પર ડિપેન્ડન્ટ છે. તેથી, આપણે ડિપેન્ડન્ટ સોર્સને સર્કિટ સાથે જોડેલા રાખીશુ જ્યારે આપણે માત્ર ઇંડિપેન્ડન્ટ સોર્સને બંધ કરીશું અને પછી ડિપેન્ડન્ટ સોર્સને ટર્ન્ડ ઓફ કરી શકતા નથી કારણ કે તે સર્કિટ વેરીએબલ દ્વારા નિયંત્રિત કરી શકાય છે. જેને આપણે સર્કિટમા રાખીશું અને આપણે ટર્મિનલ ab પાસે વોલ્ટેજ 𝑣0 લાગુ કરીશું અને કરન્ટ 𝑖0 શોધીશું. તો આનો અર્થ શું થાય છે ? હવે જો તમારી પાસે સર્કિટ છે જેમા બધા ઇંડિપેન્ડન્ટ સોર્સ શુન્ય પર સેટ (set) છે અને બધા જ ડિપેન્ડન્ટ સોર્સને નેટવર્ક સાથે કનેક્ટેડ રાખો. તો ટર્મિનલ a અને b પર વોલ્ટેજ v0 લાગુ કરવામાં આવે છે, જે કરન્ટ i0 લાગુ કરે છે. આ કિસ્સામાં જો તમને સર્કિટને કાં તો કિર્ચોફ વોલ્ટેજ નિયમ અથવા કિર્ચોફ કરન્ટ નિયમ ની મદદથી સોલ્વ (solve) કરી શકો છો, તમે થેવેનિન રેઝિસ્ટન્સની વેલ્યુ મેળવી શકો છે, જે બીજું કંઈ નથી પરંતુ v0 /i0 છે. આમ જ્યારે તમારી પાસે સર્કિટમાં ડિપેન્ડન્ટ સોર્સ છે જેન તમે દુર કરી શકતા નથી. તો સૌ પ્રથમ તમારે બધા જ ઇંડિપેન્ડન્ટ સોર્સને દુર કરશો અને પછી 𝑣0 જેટલો વોલ્ટેજ લાગુ કરો છો અને પછી કરન્ટ 𝑖0 નું માપન કરવાની કોશિષ કરી શકો છો અને તેના આધારે થેવેનિન રેઝિસ્ટન્સની વેલ્યુ (value) શોધી શકો છો. હવે વૈકલ્પિક રીતે કરન્ટ સોર્સ દાખલ કરીને 𝑅𝑇ℎ મૂલ્યાંકન કરી શકાય છે. આમ, વોલ્ટેજ સોર્સને બદલે જો તમે કરન્ટ સોર્સને લાગુ કરો છો તો તમને બે ટર્મિનલની અક્રોસમાં વોલ્ટેજ મળશે અને જ્યારે તમે આ માપન કરો છો તો તમેને v0 /i0 તરીકે ફરીથી 𝑅𝑇ℎ ની વેલ્યુ મળી શકે છે. આમ આ બંને કિસ્સામાં તમે તેમાથી કોઈપણ નો ઉપયોગ કરી શકો છો અને તમને પરિણામ સમાન જ મળશે. તો જ્યારે સર્કિંટ સાથે ડિપેન્ડન્ટ સોર્સને જોડેલ છે ત્યારે આપણે કઈ પ્રોસેસ (process) અનુસરવી જરૂરી છે? હવે આપણે 𝑅𝑇ℎ શોધવો પડશે, જે થેવેનિન રેઝિસ્ટન્સ છે. જેના માટે આપણે ઇંડિપેન્ડન્ટ સોર્સને ઝીરો એ રાખીશું અને ડિપેન્ડન્ટ સોર્સને કનેક્ટ કરી રાખીશું. હવે નેટવર્ક પાસે ડિપેન્ડન્ટ સોર્સ હોવાથી આપણે વોલ્ટેજ 𝑣0 અથવા કદાચ કરન્ટ સોર્સ 𝑖0 ની મદદથી બહારથી નેટવર્કને એકસાઈટ (excite) કરવું પડશે જેને ટર્મિનલ સાથે જોડવામા આવશે. સામાન્ય રીતે આપણે 𝑣0 ને 1 બરાબર રાખીશું કારણ કે તે આપણી ગણતરી માટે સરળ રહેશે અને સર્કિટ લિનીયર છે જેનો અર્થ એ છે કે આપણે અહીં હોમોજીનીટી (homogeneity) ના કન્સેપ્ટ (concept) ને અનુસરીશું. આમ તે 1 વોલ્ટ અથવા 10 વોલ્ટ હશે ત્યારે તે મુજબ સર્કિટનો રિસ્પોંસ (response) વધારવામાં આવશે અને સર્કિટ લિનીયર હોવાથી આપણા માટે કોઈપણ વોલ્ટેજ લાગુ કરવો સરળ છે જેને આપણે ટર્મિનલ ના અક્રોસમાં લાગુ કરવા ઇચ્છીએ છિએ પરંતુ સરળ માં સરળ 1 વોલ્ટ છે કારણ કે તે ગણતરી કરવી સરળ બનાવે છે. હવે આપણે i0 ની વેલ્યુ શોધવી છે કારણ કે આપણે સર્કિટની અક્રોસમાં વોલ્ટજ 𝑣0 ઉમેરેલ છે. આમ આપણે KVL અથવા KCL ની મદદથી i0 જે ટર્મિનલમાંથી પસાર થાય છે તેની ગણતરી કરી શકીએ છીએ અને પછી આપણે થેવેનિન રેઝિસ્ટન્સની વેલ્યુ મેળવીશું, જે બીજું કંઈ નથી પરંતુ 𝑣0 /i0 છે. 𝑣0 આ કિસ્સામાં 1 છે અને તેથી તે 1/i0 થશે. આપણે 1 એમ્પિયર કરન્ટ સોર્સ પણ દાખલ કરીએ છીએ, આમ આ આપણને 𝑣0 /1 તરીકે 𝑅𝑇ℎ ની વેલ્યુ આપશે કારણ કે 1 એ કરન્ટ સોર્સ વેલ્યુ છે. હવે આપણે એક ઉદાહરણની મદદથી કંસેપ્ટ સમજીએ કે કઈ રીતે સર્કિટને ઉકેલી શકાય છે જ્યારે આપણી પાસે ડિપેન્ડન્ટ સોર્સ છે. હવે આપણે આ ચોક્કસ સર્કિટને જોઇએ જ્યા તમે જોશો કે આપનણી પાસે કોઈ એક ઇંડિપેન્ડન્ટ કરન્ટ સોર્સ છે કે જેની વેલ્યુ 5 એમ્પિયર (ampere) છે. આ ઉપરાંત આપણી પાસે એક વોલ્ટેજ સોર્સ છે, જે ડિપેન્ડન્ટ વોલ્ટેજ સોર્સ છે અને વોલ્ટેજની વેલ્યુ 4 ઓહ્મ (ohm) રેઝિસ્ટન્સ ના અક્રોસમાના વોલ્ટેજ પર ડિપેન્ડન્ટ છે. હવે આપણે શું કરવું જોઈએ? આપણે ટર્મિનલ ab ની ડાબી બાજુએ થેવેનિનને ઈક્વીવેલેન્ટ શોધવું પડશે. આમ હવે આપણે થેવેનિનને ઈક્વીવેલેન્ટ શોધવું પડશે, જે આ આખી સર્કિટનુ ઈક્વીવેલેન્ટ હોવો જોઈએ. તો હવે આપણે તેને ઉકેલીશું, તો તેના માટે આપણે સૌ પ્રથમ શું કરવું જોઈએ? સૌ પ્રથમ આપણે 𝑅𝑇ℎ એટલે કે થેવેનિન રેઝિસ્ટન્સને ઉકેલવુ પડશે. તો આ કિસ્સામાં આપણે શું કરીશું ? તો આપણે બધા જ ઇંડિપેન્ડન્ટ સોર્સ ને દુર કરી શકીએ છીએ, આ કિસ્સામાં આ એક કરન્ટ સોર્સ છે, જેને તમે ઓપન સર્કિટ બનાવી શકો છો. આમ પરિણામી સર્કિટ આવી કંઈક હોવી જોઈએ અને આપણે અહીં શું કરવાની જરૂર છે ? તો અહીં આપણે એક વોલ્ટેજ સોર્સ 𝑣0 ઉમેરવું જોઈએ, જે 1 વોલ્ટ બરાબર છે, જે ટર્મિનલ a અને b અક્રોસમાં જોડેલ હોવો જોઈએ અને પછી સર્કિટ ને ઉકેલીશું. આમ અહીં આપણે કરન્ટ સોર્સને ઓપન સર્કિટ બનાવ્યુ છે, જે 4 ઓહ્મ રેઝિસ્ટન્સના અક્રોસમાં જોડેલ છે અને આ ઉપરાંત ટર્મિનલ a, b ના અક્રોસમાં એક વોલ્ટેજ સોર્સ ઉમેર્યો છે, જે v0=1 વોલ્ટ છે. તેથી સુધારેલ સર્કિટ આક્રુતિમાં દર્શાવેલ છે. તમે મેશ એનાલીસીસ (Mesh Analysis) નો ઉપયોગ કરી શકો છો જેની ચર્ચા આપણે અગાઉ કરેલ છે. આમ અહી આપણી પાસે 3 મેશ જોડેલ છે અને આપણી પાસે ત્રણ મેશ કરન્ટ i1 ,i2 અને i3 હશે. હવે આપણે શું કરીશું? આપણે મેશ એનાલીસીસનો ઉપયોગ કરીને સર્કિટને ઉકેલીશું. તો આ લુપ (loop) 1 ના કિસ્સામાં મેશ સમીકરણની વેલ્યુ કેટલી હશે? તો આ લુપ 1 છે, હવે જ્યારે તમે ઉકેલો છો ત્યારે તે ડિપેન્ડન્ટ વોલ્ટેજ સોર્સની અક્રોસમાં માઇનસ થી ધન તરફ જતુ હોવાથી તે 6 −2𝑣x +2( i1 - i2 )=0⇒𝑣x= i1 - i2 બનશે. હવે જો તમે આ ચોક્કસ મેશ જોશો તો તમને જોવા મળશે કે 4 ઓહ્મ રેઝિસ્ટન્સ (resistance) ના અક્રોસમા વોલ્ટેજ ડ્રોપ (voltage drop) છે, જે બીજું કંઈ નથી પરંતુ કરન્ટ 𝑖2 ગૂણ્યા 4 ઓહ્મ છે. હવે કરન્ટની દિશા વોલ્ટેજની પોલારીટીની (polarity) વિરુધ્ધ હોવાથી શું થશે? તમે સરળ રીતે કહી શકો છો કે, −4i2=𝑣𝑥= i1 - i2 આ કિસ્સામાં તમે તેને સરળ બનાવી શકો છો અને તમને i1=−3i2 મળે છે. તો હવે પછી આપણે શું કરીશું? તો હવે આપણે લુપ 2 અને 3 માટે KVL લાગુ કરીશું. જો તમે લુપ 2 માટે KVL લાગુ કરશો તો શું થશે? 4i2 + 2(i2 -i1 ) + 6(i2 - i3 ) = 0 લુપ 3 માટે તમને શું મળશે? 6(i3 -i2 ) + 2i3 + 1 = 0 તો હવે જ્યારે તમે તેને ઉકેલો છો ત્યારે તમને i3 = -⅙ A વેલ્યુ મળશે. હવે આપણને ખબર છે તેમ 𝑖2 બરાબર −i3 છે. હવે જો તમે આ સર્કિટ જોશો તો 𝑖0 એ i3 ની વિરુધ્ધ દિશામાં છે . તો આપણે કહી શકીએ છીએ કે i0 = -i3 = -⅙ A તો હવે તમને Rth માટે શું મળશે? Rth = 1Vi0 = 6. હવે આપણે 𝑣𝑜𝑐 શોધવું છે કારણ કે આપણે Rth પહેલેથી મેળવી લીધુ છે, 𝑣𝑜𝑐 ની વેલ્યુ શોધવા માટે આપણે શું કરવું પડશે? તો હવે આપણે ટર્મિનલ a અને b ના અક્રોસમાં વોલ્ટેજ શોધવો પડશે. તો આપણે 5 એમ્પિયર ઇંડિપેન્ડન્ટ કરન્ટ સોર્સને સર્કિટમાં ફરીથી ઉમેરીશું અને પછી તેને આપણે ઉકેલીશું. હવે ફરીથી આપણી સર્કિટમાં 3 મેશ બનેલ છે, જે 𝑖1, 𝑖2 અને 𝑖3 છે. આપણે ત્રણેય મેશ માટે મેશ સમીકરણ લખીશું. જો તમે આ જોશો તો સરળતાથી તમને 𝑖1 મળે છે, જે બીજુ કંઈ નથી પરંતુ 5 એમ્પિયર છે કારણ કે તેની સાથે આ ઇંડિપેન્ડન્ટ સોર્સ જોડાયેલ છે. આ મેશમાં પછી તમને શું મળશે? 4(i2 - i1) + 2(i2 -i3) + 6i2 = 0 ⇒ 12i2 - 4i1 - 2i3 = 0 તો ચાલો હવે આપણે મેશ નંબર 3 વિષે વાત કરીશું.તો તમને શું મળશે? −2vx + 2(i3 - i2 ) = 0 ⇒ = i3 - i2 હવે આપણને એ ખબર છે કે 𝑖1=5 છે અને આપણે ડિપેન્ડેંસી પરથી જાણીએ છીએ કારણ કે આ કન્સ્ટ્રેન્ટ વેલ્યુ (constraint value) છે, જે 4(i1 -i2 ) =vx છે. આમ જ્યારે આપણે 4 ( i1 - i2 ) =vx = i3 -i2 વેલ્યુ મુકીને સમીકરણને ઉકેલીએ છીએ. 𝑖1=5 છે, તો આ i3 + 3i2 = 20 બને છે. આમ બીજું સમીકરણ કે જે માત્ર 𝑖, અને 𝑖3 ના રુપમા છે, તેને મેળવવા માટે 𝑖1 નો ઉપયોગ કરશો, તમને 12i2 - 2i3 = 20 મળશે. હવે તમારી પાસે અઅ બે સમીકરણ છે જ્યાં માત્ર બે અજાણ્યા પેરામીટર 𝑖2 અને 𝑖 3 છે. જેને તમે સરળતાથી ઉકેલી શકો છો અને અંતે તમને 𝑖2=10/3 એમ્પિયર મળે છે. હવે, Vx = voc = 6i2 = 20V હવે આપણે બીજુ ઉદાહરણ જોઇએ. આ સર્કિટમાં જો તમે સર્કિટને જોશો તો આપણે થેવેનિન ઈક્વીવેલેન્ટ શોધવા ઇચ્છીએ છીએ, પરંતુ આ ચોક્કસ સર્કિટમાં આપણી પાસે કોઈ ઇંડિપેન્ડન્ટ વોલ્ટેજ અથવા કરન્ટ સોર્સ નથી. આમ સર્કિટ પાસે ખાલી ડિપેન્ડન્ટ સોર્સ હશે. આમ, અહી આ કિસ્સામાં આપણી પાસે કરન્ટ સોર્સ છે, જે ડિપેન્ડન્ટ છે. તો હવે આપણે શું કરીશું? આપણે જોઈશું કે આ સર્કિટમાં 2 ઓહ્મ રેઝિસ્ટન્સ છે જે 4 ઓહ્મ રેઝિસ્ટન્સ ની સાથે પેરેલલમાં છે. તો આ બંને પેરેલલમાં છે અને વધુમાં તે ડિપેન્ડન્ટ કરન્ટ સોર્સની પેરેલલમાં છે. હવે પ્રથમ વસ્તુ જે આપણે ધ્યાનમા લઈશું તે એ છે કે આપણી પાસે સર્કિટમાં કોઈ જ ઇંડિપેન્ડન્ટ સોર્સ ન હોવાથી આપણે સર્કિટને બહારથી જ એક્સાઈટ કરવી પડશે. તો તેનો અર્થ શું થાય? તો હવે આપણે કાં તો વોલ્ટેજ અથવા કરન્ટ સોર્સને ટર્મિનલ a અને b ના અક્રોસમાં લાગુ કરીશું. આ રીતે આપણે થેવેનિન ઈક્વીવેલેન્ટ શોધવા માટે સર્કિટને બહારથી એક્સાઈટ કરી શકીએ છીએ. હવે બીજી એક વસ્તુ જે આપણે ધ્યાનમાં રાખવી જોઈએ એ તે છે કે અહીં આપણી પાસે એક પણ ઇંડિપેન્ડન્ટ સોર્સ ન હોવાથી આપણે થેવેનિન વોલ્ટેજની વેલ્યુ શોધવી જરૂરી નથી, શા માટે? કારણ કે જો તમે આ આક્રુતિ જોશો, તો આ ચોક્ક્સ કરન્ટ સોર્સની વેલ્યુ એ 2 ઓહ્મ રેઝિસ્ટન્સમાંથી વહેતા કરન્ટ પર આધારીત છે. તો જ્યાં સુધી આપણી પાસે બાહ્ય સોર્સ છે ત્યાં સુધી આ ચોક્ક્સ સર્કિટને એનર્જાઇઝ (energize) કરી શકતા નથી. તેનો અર્થ એ થયો કે જો તમારી પાસે ટર્મિનલ a અને b ઓપન સર્કિટ તરીકે છે અને જો તમારે ટર્મિનલ a અને b ના અક્રોસમાં ઓપન સર્કિટ વોલ્ટેજ શોધવો છે તો આ હંમેશા શુન્ય થશે કારણ કે સર્કિટને પાવર લાગુ કરવા માટે કોઈ જ ઇંડિપેન્ડન્ટ સોર્સ નથી. તેથી, આ રીતે તમે કહી શકો છો કે આપણે આ પ્રકારના સોર્સ માટે 𝑉𝑇ℎ ની ગણતરી કરવી જરૂરી નથી. તો હવે આપણે માત્ર થેવેનિન રેઝિસ્ટન્સ શોધવાનું જ બાકી રહ્યું. આમ આગળનો સરળ અભિગમ એ છે કે કાં તો તમે 1 વોલ્ટ વોલ્ટેજ સોર્સ અથવા 1 એમ્પીયર કરન્ટ સોર્સ લાગુ કરો. તો ચાલો હવે આપણે એક કરન્ટ (current) સોર્સ લાગુ કરીએ અને તેને ઉકેલવા ની કોશિષ કરીએ. તો હવે આપણે શું કરીશું? તો આપણે જોઈશું કે આ ચોક્કસ સર્કિટમાં 1 નોડ છે, આ ચોક્કસ સર્કિટ a, b ના અક્રોસમાં વોલ્ટેજ બીજું કઈ નથી પરંતુ બંને રેઝિસ્ટન્સના અક્રોસમાં વોલ્ટેજ છે કારણ કે આ બધા જ એલીમેન્ટ (elements) પેરેલલમાં છે. તો હવે આપણે શું કરીશું ? તો હવે આપણે નોડલ સમીકરણ ની મદદથી તેને ઉકેલીશું કારણ કે આ ચોક્કસ સર્કિટ માં કિર્ચોફના કરન્ટના નિયમને લાગુ કરવો સરળ છે. તો ચાલો આપણે નોડલ સમીકરણ લાગુ કરવનો પ્રયત્ન કરીએ જ્યારે 𝑖0 ની વેલ્યુ 1 મુકીએ. હવે જો તમે આ નોડ જોશો તો આ નોડ a કે પછી આ નોડ કે આ નોડ, બધા જ સમાન પોટેંશિયલ (potential) પર કાર્ય કરશે. આમ તે હવે સિંગલ નોડ (single node) તરીકે માનવામાં આવે છે. આમ આ નોડ પર જો તમે કિર્ચોફનો કરન્ટનો નિયમ લાગુ કરશો તો પ્રથમ વસ્તુ એ છે કે આ ચોક્કસ નોડ પર કરન્ટ જે બહાર જાય છે તે 2𝑖𝑥 જેટલો છે. બીજો કરન્ટ કે જે બહાર જાય છે તે vo4 જેટલો છે. બીજો કરન્ટ જે આ નોડમાંથી બહાર જાય છે તે vo2 જેટલો હશે અને પછી કરન્ટ કે જે અંદર જાય છે તે 𝑖0 જેટલો છે. 2ix + v0 - 04 +v0 - 02 + (-1) = 0 હવે જો તમે તેને ઉકેલશો તો તમને શું મળશે ? તો તમને 𝑣0 અને 𝑖𝑥 ની ટર્મ (terms) મા આ સમીકરણ મળશે. હવે આપણી સમસ્યા એ છે કે આપણી પાસે એક જ સમીકરણ છે અને આપણી પાસે 2 વેરીએબલ (variable) છે, તેનો અર્થ એ થયો કે આ સર્કિટને ઉકેલવા માટે આપણે વધુ એક સમીકરણની જરૂર પડશે. તો આ બીજું સમીકરણ આપણને ક્યાંથી મળશે ? આ બીજું સમીકરણ આપણને કન્સ્ટ્રેન્ટ પરથી મળશે. અને આ કિસ્સામાં કન્સ્ટ્રેન્ટ એ કરન્ટ 𝑖𝑥 છે જે ડિપેન્ડન્ટ કરન્ટ સોર્સ ની વેલ્યુ ડિફાઈન કરે (defining) છે, જે 2𝑖𝑥 છે. હવે જો તમે 𝑖𝑥 ની વેલ્યુ જોવો, તો 𝑖𝑥 એ બીજું કંઈ નથી પરંતુ -v02 છે કારણ કે 𝑖𝑥 ની દિશા કરન્ટની નેચરલ (natural) દિશાની વિરુધ્ધ દિશામાં છે. જો વોલ્ટેજ 𝑣0 પાસે રેફરન્સ (reference) કરતાં વધારે પોટેંશિયલ (potential) હોય, તો આ રીતે તે -v02 થશે. તો હવે આપણે શું કરીશું ? આપણે સરળતાથી 𝑣0 ને આ સમીકરણમાં મુકશું. આમ અંતમાં