Injektivität, Surjektivität und Bijektivität

okay wir definieren heute mal die Begriffe injektivität sujektivität und bijektivität das sind Begriffe die bei Funktionen vorkommen das sind Eigenschaften von Funktionen und wir gehen ganz intuitiv ran und versuchen uns klar zumachen was diese Begriffe intuitiv bedeuten um anschließend die Begriffe auch formal zu definieren ist ja immer gut erstmal sich konkret was klar zuumachen bevor man an eine formale Definition geht oftmals ist ein Mathematik andersrum man kriegt die formale Definition hingeklatscht und sollst dann überlegen was das konkret bedeutet das ist aber der schwierigere Weg ne Abstraktion muss ja in den Köpfen stattfinden von euch von uns allen und man muss von irgendwas abstrahieren das heißt es gut erstm konkrete Bilder Erfahrungen Anschauungen zu haben um dann davon zu abstrahieren und die allgemeine Formel aufzusreben schben okay also wir schauen uns an was bektivität injektivität sujektivität und bektivität bedeutet und ich habe schon angedeutet das sind Eigenschaften von Funktionen was ist eine Funktion was würdet ihr sagen intuitiv eine Funktion versucht das mal zu beschreiben Haut was raus aus ganz egal ob es richtig ist oder falsch will einfach nur mal eure Intuition haben was eine Funktion ist ja Elvis x wird genau y ein x-Wert wird genau ein Y einem y Wert zugeordnet mhm das heißt eine Zuordnung die einem Wert genau einen anderen Wert zuordnet wo kommen diese Werte her okay das ist jetzt ein bisschen eine Frage die von der ich genau ein Antwort haben will sollte man nicht machen also es gibt wir haben mit zwei Mengen zu tun okay eine Menge und noch eine Menge die Menge nennen wir mal D und die Menge hier nennen wir z Definitionsmenge und Zielmenge okay und wir haben eine Funktion von der smenge in die Zielmenge also wir bilden Elemente einer Menge ab auf Elemente einer anderen Menge und du hast schon mit X und Y bezeichnet oftmals sagt man ja sowas wie F von X = Y wobei wir davon ausgehen dass das X ein Element von D ist und das Y ein Element von Z ja also X kommt hier in dieser Menge vor und das Y irgendwo hier und vielleicht skizzieren wir mal diese Mengen irgendwie so ein bisschen also das können natürlich endliche Mengen sein und unendliche Mengen und wir ich zeichne jetzt mal eine endliche Menge okay weil eine unendliche Menge dafür haben wir nicht die Zeit heute so da sind irgendwelche Elemente drin und da sind irgendwelche Elemente drin man kann s nich auch vorstellen dass das hier z.B ganz R ist die Menge der rationalen Zahlen hätte ich hier unendlich viele Knubbel drin und dass die Menge der reellen Zahlen hät ja auch unendlich viel Knubbel drin ne wir können s aber auch vorstellen dass das hier die Zahlen 1 2 3 4 sind und dass die Zahlen irgendwas irgendwelche Zahlen oder hier sind Dreiecke drin da sind Vierecke drin oder irgendwas ja irgendwelche mathematischen Objekte sind dieser Menge und irgendwelche in dieser so und jetzt visualisieren wir die Abbildung die Funktion mit Hilfe von pilen okay also z.B wird dieses x diesem y hier zugeordnet okay wenn ich diese dieses x nehme in die Funktion reinstecke kommt dieses y da raus oder wenn ich dieses hier x hier nehme dann kommt vielleicht dieses y da raus okay was bedeutet genau einem zugeordnet was darf nicht passieren bei einer Funktion was kann ich in diesem Bild hier nicht haben Hexe genau ich kann nicht von einem Punkt zwei Pfeile weggehen lassen das geht nicht F VX wenn ich da x reinstecke können da hinten nicht z schieden Werte rauskommen wenn ich einen Wert reinstecke in die Funktion kommt genau ein Wert raus auf der anderen Seite okay wir haben das auch manchmal als so ein Maschinenmodell dargestellt ne so Funktion kann man auch sagen das hier ist f so da stecke ich oben ein X rein und unten kommt ein Y raus und es kann nicht sein dass da unten zwei Sachen rausfallen sondern ja kann halt immer nur genau einem Wert zugeordnet werden so ein X und was auch wichtig ist der Definitionsbereich da darf kein Wert drin sein den ich nicht an die Funktion geben kann ne also jedem x aus dem Definitionsbereich jedem wird genau ein Y zugeordnet so z. und ich kann auch zwei Xen hier zwei Elementen aus dem Definitionsbereich derselbe Wert auf der anderen Seite zugeordnet werden das geht das zwei Pfeile auf dasselbe Element im in der in der Zielmenge verweisen ich kann aber nicht von einem Element zwei Pfeile abgeen lassen also ich habe eine Funktion wenn von jedem Element im Bereich genau ein Pfeil weggeht in die in die Zielmenge dabei können die Pfeile auch auf dasselbe Element gehen oder manche Elemente in der Zielmenge werden gar nicht getroffen das gibt's auch das muss nicht der Fall sein dass H hinten alle getroffen werden ne sagt mir mal eine Funktion von den reellen Zahlen in die reellen Zahlen bei dem bei der zwei Elemente im Definitionsbereich demselben Wert im Zielbereich zugeordnet werden fällt euch da was ein Elvis F VX = x² genau sag mir mal zwei Werte im Definitionsbereich die demselben Wert in der Zielmenge zugeordnet werden genau ne also das könnte die 2 sein das könnte die -2 sein und wenn F von X = x² ist werden beide der Zahl 4 zugeordnet und bei der Funktion gibt es auch in der Zielmenge Werte die gar nicht Funktionswerte sind nämlich z.B ja -1 ne -1 ist ja ein Element aus R kann aber niemals Funktionswert sein von F von X = x² also eine Funktion bildet jedem ordnet jedem Element in der Definitionsmenge genau einen Wert in der Zielmenge zu dabei können aber auch diese Pfeile gemeinsam mehrere Pfeile auf ein Element gehen und es können auch Elemente geben in der Zielmenge die gar nicht erreicht werden so das ist erstmal eine Funktion es sind durchaus auch andere zusammen hänge hier denkbar wo man hier mehreren zuordnen kann und so weiß jemand was man dann hat wenn ich jetzt hier auch von einem ausgehend mehrere Pfeile vielleicht machen könnte oder mehrere hier miteinander verbinden weiß jemand welchem mit welchem Begriff übergeordneten Begriff man es dann zu tun hat ich verrat euch Relation eine Funktion ist eine spezielle Relation nämlich eine bei der genau einem Wert in der der Linken Menge ein Wert in der rechten Menge zugeordnet wird also jedem Wert in der Linken genau ein Wert in der rechten okay was bedeutet injektivität weiß es jemand als einige von euch hatten die Begriffe ja schon mal wisst ihr noch was injektivität bedeutet wann ist eine Funktion injektiv keine Ahnung das wird das noch mal wiederholen wann ist eine Funktion injektiv wenn eine Sache nicht der Fall ist das da eine Funktion ist injektiv wenn es keine zwei verschiedenen Elemente im Definitionsbereich gibt die demselben Wert in der Zielmenge zugeordnet werden also bei der injektiven Funktion darf das nicht der Fall sein jedes Element hierin in der Zielmenge wird von maximal einem Pfeil getroffen nicht zwei nicht drei nicht vier von maximal einem Pfeil okay also das müssen wir wegmachen bei injektiv das kann nicht sein das mal hier weg so und dann machen wir das so okay das wä eine injektive Funktion jedes Element in der Zielmenge wird von maximal einem Pfeil getroffen manchmal gar nicht okay aber auf keinen Fall zweimal oder dreimal oder so so und jetzt formulieren wir das mal formal injektiv bedeutet be alle X1 und x2 aus dem Definitionsbereich gilt wenn F von X1 = F von X2 ista dann folgt daraus x1 = x2 also wenn ich zwei beliebige Elemente aus dem Definitionsbereich nehme die sind in der Regel verschieden können aber auch gleich sein ne irgendwelche zwei Elemente aus dem Definitionsbereich wenn die auf dasselbe Element im Zielbereich abgebildet werden dann müssen sie gleich gewesen sein es können keine zwei verschiedenen gewesen sein also wenn zweimal der gleiche Funktionswert rauskommt dann muss schon derselbe Wert reingesteckt worden sein in die Funktion in die funktionsmaschine das ist die übliche Weise das zu definieren wenn ihr euch mit Implikationen auskennt dann ist diese Implikation ja äquivalent zu x1 x2 dann folgt daraus F von X1 ist le F V X2 ne das ist das was wir uns vorhin intuitiv überlegt hatten wenn z Element im Definitionsbereich unterschiedlich sind dann müssen auch ihre Funktionswerte unterschiedlich sein üblicherweise wird aber die Definition von indektivität so gemacht also wenn zweimal derselbe funktionsswert rauskommt dann müssen auch schon die Werte in der Definitionsmenge gleich gewesen sein okay gut so das ist injektivität was bedeutet Subjektivität weiß das jemand von Euch ja genau wenn es hier hinten keine Elemente gibt die nicht von dem Pfeil getroffen werden jedes Element hier in Z wird von dem Pfeil getroffen bra noch mal zwei Elemente mehr so also ich kann noch ich kann weiterhin den Fall haben ne ich kann den Fall haben dass jetzt zwei Pfeile auf dasselbe Element gehen das muss ja nicht injektiv sein aber es darf kein Element geben irgendwas hier gesch konstruieren so das nicht getroffen wird hier hinten in der Zielmenge ist kein Element drin das nicht von einer Pfeilspitze getroffen wird sojektiv bedeutet für alle y aus der Zielmenge gibt es ein X aus der Definitionsmenge s dass F von X = Y ist gib mir irgendein Element aus der Zielmenge und dann sage ich dir ein Element aus der Definitionsmenge so dass F von X = Y ist okay und bektiv bedeutet injektiv und sujektiv also eine Funktion ist bijektiv wenn sie injektiv ist und wenn sie sujektiv ist ist diese Funktion hier biektiv die ich jetzt hier gemalt habe mokli du schüttelst den Kopf warum genau das hat zwei Pfeile also was ist diese Funktion nicht ne nicht injektiv genau ne nicht injektiv das heißt das müssen wir wegmachen wenn wir die injektiv machen wollen irgendwas muss hier aber von ausgehen ne dann machen wir noch mal ein Element rein tun mal so als GB's da noch eins so ist diese Funktion hier biektiv Hexe genau die zwei Punkte haben wir die haben die werden von kein Pfeil getroffen die Funktion ist also nicht subjektiv wie sieht's mit dieser Funktion aus ist die ist die biektiv ja jeder Punkt hat PIL und nur ein jeder Punkt in der Zielmenge wird von einem Pfeil getroffen ist also subjektiv aber von maximal einem Pfeil also injektiv jeder Punkt in der Zielmenge wird von mindestens einem Pfeil getroffen sujektiv jeder Punkt in der Zielmenge wird von maximal einem Pfeil getroffen injektiv bijjektiv bedeutet also injektiv und subjektiv jeder Knubbel hier rechts wird von mindestens einem und von maximal einem PIL getroffen also von wie vielen Pfeilen wird jeder hier getroffen von mindestens ein und von maximal ein also genau einem bei einer bidektiven Funktion wird jedes Element in der Zielmenge von genau einem Pfeil getroffen so bei einer Funktion ganz allgemein geht von jedem Element im Definitionsbereich genau ein Pfeil aus bei einer bijektiven Funktion wird jedes Element in der Zielmenge von genau einem Pfeil getroffen es gibt also eine Eins zu ein Zuordnung was dazu führt dass die beiden Mengen gleichmächtig sind die haben die gleiche Anzahl von Elementen ne hier geht von jedem Element genau ein Pfeil Weg hier trifft jedes Element genau ein Pfeil also müssen überall beiden Mengen die gleiche Anzahl von Elementen sein ich habe keine wenn hier mehr drin wä den Z dann hätte ich hier Elemente die nicht getroffen werden wer nicht mehr subjektiv oder wenn ein Element hier von zwei Pfeilen getroffen wird dann würden hier ja zwei Elemente drauf abgebildet werden dann hätte ich da eins weniger so Z sagen da aber exakt ein Pfeil von einem Element hier weggeht und genau dort exakt ein Element trifft gibt es eine Eins zu ein Zuordnung deswegen sind auch zwei Mengen gleichmächtig wenn es eine bijektive Abbildung zwischen beiden gibt das ist das typische Problem wie wie kann man die gleichmächtigkeit von zwei Mengen feststellen wenn man nicht zählen kann der Schäfer geht morgens mit seinen Schafen auf die Weide ja aus dem also holt sie aus dem Gatter raus und es sind ziemlich viele Schafe und der kann er nicht zählen und ich merke wie viele sind und so weiter also was macht er jedes Schaf das aus dem Tor rausläuft legt einen Stein neben hin und abends wenn die Schaf wieder zurückkommen nimmt auf jedes Schaf ein Stein wieder weg warum funktioniert das weil es von Schaf zu Stein eine Eins zu ein Zuordnung gibt ich darf nicht mehr Steine als Schafe haben mehr scharf als Stein ich habe genau eine Eins zu ein Zuordnung es gibt eine bijektive Abbildung zwischen scharfen und Steinen genauso ist das hier also letztenendes macht man mit diesen Definition nichts anderes als eine Situation darstellen von bei der von jedem Element hier genau ein Pfeil in die andere Menge geht das ist sowieso eine Funktion und aber auch hier jedes Element von genau einem PIL getroffen wird eine der ein zu ein Zuordnung biektivität also ziemlich intuitive Sache die kompliziert aufgeschrieben ist habt ihr zu den Begriffen Frage