F67 - Un calcolo inaspettato

vi racconto un breve aneddoto dei tempi di quando ero studente universitario di Quando ho iniziato l'università a Losanna era il lontanissimo 1983 primo anno di facoltà di fisica avevo 17 anni Poi ne ho fatti subito dopo 18 perché sono nato in ottobre e e tra l'altro Quello fu un anno dove io proprio le classi non ci andavo proprio perché anche se mi piaceva molto la fisica ero molto più interessato alle feste alle ragazze e a tante altre cose e col sistema svizzero Tra l'altro bisognava passare tutti gli esami allo stesso tempo e quindi non è che si potesse dare o studiare un solo esame e se si sbagliavano gli esami Due volte si era fuori dalla facoltà quindi Insomma era una cosa abbastanza seria e tosta quindi mi ricordo che in modo molto lungimirante alla fine dell'anno decisi di non presentarmi agli esami proprio per non sprecare una di quelle due occasioni Poi ho dovuto quindi ripetere il primo anno due volte ero comunque molto giovane andava bene e dopo anche se non sono mai stato un grande studioso Cioè ho sempre studiato il minimo necessario dopo diciamo così mi sono ravveduto e poi sono andato avanti e non ho mai più tra virgolette bocciato Ecco quel primo anno però comunque Frequentavo quelli che si chiamavano i lavori pratici cioè erano dei lavori di laboratorio di fisica e ci facevano fare vari esperimenti e tra questi esperimenti c'erano ad esempio quelli di termodinamica e mi ricordo quel giorno che stavamo studiando una macchina termica che è una macchina quindi che sfrutta l'esistenza di due serbatoi di temperature diverse una caldo uno a freddo e un fluido che viene compresso e dilatato e che quando si comprime estrae energia dal dal serbatoio caldo e quando si dilata l' cede a quello freddo e fa uno str ciclo ciclo detto ciclo di Stirling e in questo ciclo è in grado di fornire ad esempio tramite un pistone un certo lavoro che poi è utilizzabile magari per muovere delle ruote o cose di questo genere e noi dovevamo studiare il rendimento di questa macchina e in particolare qual era il lavoro che era in grado di fornire all'esterno Allora per fare questo bisognava tracciare un grafico pressione volume cioè un grafico dove In ascissa c'era il volume di questo fluido che si comprimeva E si dilatava e in ordinata c'era la pressione di questo fluido e ovviamente poiché questo motore termico faceva un ciclo si otteneva una sorta una curva No una curva che veniva percorsa no E voi sapete che un lavoro è una forza per una distanza una pressione per un volume Siccome la pressione è una forza per un unità di superficie Quindi se moltiplicate una pressione per un volume ottenete una forza per una distanza quindi qualche cosa che ha la dimensione di un lavoro di un'energia quindi quest'area quest'area l'area di questa curva che noi avevamo determinato in modo sperimentale Adesso non ricordo esattamente come l'avevamo tracciata ma l'avevamo tracciata con una notevole precisione forse c'era anche un raggio laser che ci aiutava a tracciarla e dopo ovviamente sapevamo che quest'area ci dava il lavoro della della macchina termica in questione e il compito era calcolare quell'area Quindi eravamo arrivati a un momento in cui bisognava proprio in termini pratici calcolare l'area di una superficie delimitata da una curva chiusa curva arbitraria no ecco se fosse stata una curva di forma quadrato rettangolare sapevamo come fare ma in questo caso era una curva arbitraria quindi ci eravamo Confrontati con questo problema dico ma come facciamo a calcolare diciamo con una buona precisione questa l'area di questa curva l'assistente che era lì ovviamente ci ha lasciato riflettere un po' poi ci ha detto una cosa che mi aveva abbastanza colpito ed era questa ha detto vedete c'è questo laboratorio Dove ci troviamo in questa stanza Ci sono vari strumenti di misura attorno a voi ce n'erano veramente tanti e uno di questi ci dice ci ha detto e potete usarlo E se lo usate vi darà una un una una misura con un ottimo grado di precisione dell'area che state cercando poi se se ne andò ad assistere altri gruppi ha detto poi torno intanto rifletteteci e noi Eramo lì che Camo cercavamo di riflettere che cavolo di strumento dobbiamo usare che è in grado di calcolare un'area E insomma alla fine nessuno del nostro gruppo venne l'urea e quindi l'assistente tornò e a un certo punto col suo S sisino sorrisino tipico di chi si era già trovato in quella situazione molte volte sapeva che era molto difficile che qualcuno trovasse questo modo molto intelligente di fare questo calcolo senza farlo e ci indicò una bilancia di precisione e ci disse vedete voi dovete usare una bilancia di precisione Oh cavolo E lì Ovviamente iniziamo a capire com'è che bisognava fare perché l'idea era molto semplice noi avevamo tracciato Ovviamente la curva su un foglio eh E noi potevamo Ovviamente un foglio rettangolare foglio A4 ad esempio ed era facile calcolare ovviamente l'area di un foglio A4 perché se questo è x e questo è Y l'area di questo foglio era semplicemente X * Y quindi potevamo misurare calcolare l'area con estrema precisione di questo foglio nello stesso tempo grazie alla bilancia di precisione potevamo determinare il peso o meglio anche la massa di questo foglio quindi la bilancia ci dava la massa del foglio quindi potevamo associare diciamo alla super all'area di questo foglio un peso o una massa se preferite e quindi potevamo sapere determinare Quanti centimetri quadrati corrispondevano ad esempio a 1 grammo di carta di quel foglio A questo punto cos'è che dovevamo fare dovevamo semplicemente prendere delle forbici ritagliare la curva in questione quando lo fate con attenzione con le forbici potete ritagliarla con estrema precisione Dopodiché dovevamo soltanto pesare la curva ritagliata e grazie al fatto che sapevamo Quanti centimetri quadra corrispondevano a 1 gammo di quella carta potevamo tradurre quel peso in un'area in centim Quad e quindi Voilà questo è era il grande barbatrucco che ci ha permesso di calcolare quell'area con estrema precisione devo dire che quando diciamo scoperto No questo questo trucco Rimasi colpito no colpito perché c'era qualcosa di Profondo in in questo modo di procedere perché avevo anche seguito anche se non seguivo tanto i corsi i corsi di analisi e sapevo che per calcolare l'area di una curva ad esempio di una funzione mettiamo se prendevo una funzione tra A e B se volevo calcolare l'area sottostante a una funzione FX Ebbene questa area a era data da un integrale No un integrale della funzione tra in questo caso tra A e B Ovviamente se avete una curva di questo tipo potete calcolarla come integrale di una differenza di funzioni cose di questo genere ora le integrali se si tratta di funzioni qualunque Insomma non è semplice non è un calcolo semplice da fare se non si tratta di funzioni estremamente semplici quindi non riuscivo tanto a capire dicevo Ma cavolo Ma Ma quindi questa bilancia che noi abbiamo utilizzato è come un computer un computer analogico estremamente potente nel calcolare delle integrali perché siccome riusciamo a determinare direttamente l'area di una su superficie arbitraria che poteva essere anche arzigogolata non è importante tramite il peso automaticamente determinava l'area e quindi era come se calcolavo un'integrale complicatissima quindi la bilancia era un computer analogico che era in grado di calcolare alcune integrali in modo estremamente efficace e questa cosa mi sorprendeva no mi sorprendeva perché dico ma aspetta Ma com'è possibile in realtà è possibile perché effettivamente quando si misura un peso o quando si calcola un'area Ebbene c'è una proprietà condivisa tra l'area e il peso ad esempio e che è quella dell'additivo prendo due due due superficie una la chiamo A1 e una la chiamo A2 Allora diciamo quando le considero insieme eh se io guardo Qual è l'area chiamiamo Le superfici S1 e S2 quando calcolo l'area di S1 e poi posso calcolare l'area di S2 se faccio la somma di queste due aree Allora ottengo l'area di S1 Unione S2 dove ovviamente sto ipotizzando che non ci sia sovrapposizione cioè che S1 intersezione S2 sia sia ovviamente sia l'insieme vuoto ovviamente no che non ci sia overlap ok Quindi c'è questa proprietà di additività Ma questa stessa proprietà di additività c'è anche per il peso di un oggetto No se io guardo il peso di un oggetto chiamiamolo o1 più un oggetto Unione oggetto un altro oggetto O2 E beh sarà la somma di questi pesi o stessa cosa per la massa No la massa di due oggetti o1 Unione O2 della comb di due oggetti è la somma delle masse degli oggetti Pardon m delle masse degli oggetti singoli Quindi vedete che la proprietà la grandezza fisica che misura una bilancia che è il peso o se volete la massa Eh perché poi il peso è la massa per l'accelerazione gravitazionale Ebbene questo peso ha questa proprietà di additività che è la stessa proprietà di della dell'area e quindi ed è per questo che la bilancia in fin dei conti fa un integrale perché quando misura un peso fa la somma del peso di tutte le sue tutte le componenti dell'oggetto che si Sta misurando no ed è posso Posso immaginare questo oggetto come la somma di un numero enorme di componenti quasi infinitesimale però fa questa somma automaticamente Perché diciamo automaticamente la bilancia misura la risultante cioè la somma di tutte queste forze Ora ovviamente un foglio di carta è un oggetto che ha una geometria particolare perché il suo volume è dato dalla sua area per lo spessore che è sempre lo stesso e quindi e poi tra l'altro è fatto di un materiale di densità uniforme quindi la massa del foglio è questa densità uniforme per il volume e questo volume è lo spessore del foglio moltiplicato per l'area del foglio e quindi se inizio a eh spezzettare questo foglio in tanti pezzettini c'è una relazione di proporzionalità diretta tra la superficie del foglio e la sua massa ma poiché quando calcolo il peso faccio una somma di tanti piccoli pesi di tutti i frammenti di questo foglio ad esempio e faccio allo stesso modo la somma di tutte queste aree e tutte queste somme sono l'equivalente di un integrale nel caso delle aree si parla spesso di un procedimento per definirle che è quello di Peano Jordan ad esempio che è l'equivalente poi sostanzialmente di un integrale di riman ma comunque vedete c'è una corrispondenza che è legata a questa proprietà di additività quindi sì una bilancia fa questa strana somma la fa con una precisione incredibile e quindi poiché il foglio è una struttura che ha certe proprietà di uniformità questa additività del peso o della massa se preferite si traduce nell'addio dell'area ovviamente qui stiamo ragionando in termini non relativistici perché il peso o la massa sono grandezze additive solo se siamo in ambito non relativistico poiché la massa di un foglio è inferiore alla somma delle masse di due metà di questo foglio di questo non avevo parlato di un altro video non ve lo spiego Ma comunque queste correzioni relativistiche sono infinitesimali e ovviamente noi non dobbiamo preoccuparci qui di questa cosa molto bene Quindi questo aneddoto mi ha insegnato una cosa importante che ci sono diversi ambiti della fisica della matematica che sono connessi tra loro che hanno delle proprietà simili nascoste magari E poiché hanno queste proprietà simili quando facciamo delle cose in un ambito e Beh possiamo poi usare il risultato che abbiamo ottenuto per dedurre il risultato di operazioni che avremmo potuto fare nell'altro ambito Solo che a volte cambiando di ambito possiamo Eh diciamo Effettuare delle operazioni in modo estremamente più semplice è molto più facile di tagliare un foglio piazzarlo sulla bilancia e besarlo che dover ritagliare in tanti piccolissimi quadratini e contarli tutti e verificare la dimensione di tutti questi quadratini Quindi grazie alla bilancia siamo passati a un'integrazione diretta e quindi con un enorme vantaggio Ecco potete immaginare che ci sono vari contesti della fisica della matematica dove questi barbat trucchi vengono fatti in continuazione si traduce un problema in un altro problema lo si risolve in quel nuovo ambito e poi si ritorna indietro di solito si parla di isomorfismi e cose di questo genere bene Mi fermo qua Grazie per l'attenzione