TTV: Giải thích 50 hằng số toán học | TM Digital Genius

Lại tiếp tục là một video thú vị trên kênh Digital Raniat Giải thích về 50 hàng số toán học Đầu tiên là Pi Pi biểu thị tỷ lệ giữa chu vi của đường tròn Và đường kính của nó Nó sắp xỉ bằng 3,14 Tiếp theo là Tau Tau để biểu thị tỷ lệ giữa chu vi đường tròn và bán kính của nó Nó bằng 2P Số Euler, E Nó là một hàng số quan trọng khác xuất hiện trong nhiều hoàn cảnh Nó sắp xỉ bằng 2,718 Và có thể được xác định bằng giới hạn này Hoặc tổng vô hạn này Đơn vị ảo Đơn vị ảo được biểu diễn là Y Có tinh chất là bình phương của nó bằng âm 1 Nói cách khác Y bằng căn bậc 2 của âm 1 Giải fibula chi Giải bắt đầu bằng 0 và 1 Mỗi số hạng tiếp theo là tổng của 2 số hạng trước nó Nếu chúng ta lấy tổng nghịch đảo của tất cả các số hạng này Thì chuỗi này hội tụ đến một giá trị gọi là hàng số fibula chi nghịch đảo The xi sắp xỉ 3,35 Khi chúng ta xem xét tỷ lệ các số fibula chi liên tiếp Tỷ lệ này hội tụ thành một giá trị được gọi là tỷ lệ vàng Khoảng 1,618 Phi cũng bằng 1 cộng căn bậc 2 Hãy tưởng tượng một đoạn thẳng có chiều dài A cộng B Tỷ lệ của A và B bằng tỷ lệ của toàn bộ đoạn thẳng với A Bình phương tỷ lệ này cho chúng ta tỷ lệ siêu vàng Nó sắp xỉ bằng 1,46 Mặt khác, nếu tỷ lệ của A trên B bằng tỷ lệ của 2A cộng B trên A Thì chúng ta có tỷ lệ bạc khoảng 2,41 Chính xác bằng 1 cộng căn của 2 Nếu chúng ta có 3 đoạn thẳng có mối liên hệ bằng tỷ lệ này Chúng ta có tỷ lệ dẻo sắp xỉ 1,32 Có lẽ đây là 3 tỷ lệ xa lạ đối với chúng ta Ta số chúng ta thường quan tâm tới tỷ lệ vàng Còn những tỷ lệ còn lại ít được nhắc đến Góc vàng Góc vàng liên quan đến tỷ lệ vàng Nhưng chỉ đối với các góc trong một vòng tròn Nó sắp xỉ 137,5 độ hoặc 2,4 radian Cũng có góc kỳ diệu Là góc giữa đường chéo của một hình lập phương Và bất kỳ cạnh nào trong ba cạnh trung đỉnh của nó Góc này bằng khoảng 54,7 độ Tiếp tuyến của nó chính xác bằng căn bậc 2 của 2 Trong dãy fibula chi Chúng ta tính tổng 2 phần tử trước đó Trong chuỗi chibula chi Chúng ta gộp 3 phần tử trước đó Tỷ lệ giữa các phần tử trong chuỗi fibula chi hội tụ về tỷ lệ vàng Nhưng trong chuỗi chibula chi Nó hội tụ về hàng số chibula chi Sắp xỉ 1,839 Bây giờ Hãy tưởng tượng một biến thể của chuỗi fibula chi Trong đó chúng ta có 50% cơ hội Trừ các số hạng trước đó thay vì cộng chúng Điều này tạo ra chuỗi fibula chi ngẫu nhiên Mặc dù chuỗi này luôn khác nhau Nhưng tốc độ tăng trưởng của dãy fibula chi Ngẫu nhiên bằng 1,13 Con số này được gọi là hàng số vingolat Nếu chúng ta đặt dấu của cả 2 số hạng ngẫu nhiên Thì chuỗi sẽ tăng không giới hạn Trừ khi chúng ta nhân số hạng đầu tiên với hệ số gọi là beta Nếu beta lớn hơn 0,7 Thì dãy tăng dần không giới hạn Nhưng nếu nó nhỏ hơn 0,7 Thì nó giảm dần về 0 Giá trị chính xác này được gọi là hàng số Embry-Jefferson Đường chéo của hình vuông có cạnh bằng 1 Có độ dài là căn bậc 2 của 2 Còn được gọi là hàng số Pythagor Số này có thể được viết dưới dạng liên phân số Nó liên tục vô hạn như thế này Bây giờ, giả sử chúng ta lấy một số ngẫu nhiên Trong phạm vi từ 0 đến 1 Và biểu diễn nó dưới dạng liên phân số Giống như căn bậc 2 của 2 này Nhưng với hữu hạn các hệ số Hàng số lóc cho chúng ta biết mức độ chính xác Mà chúng ta đạt được bằng cách thêm một số hàng bổ sung vào phân số Nó có giá trị khoảng 0,97 Nghĩa là mỗi hệ số bổ sung trong liên phân số Sẽ tăng độ chính xác của phép tính gần đúng lên 0,97 Ở một chữ số tập phân Trung bình nhân Tương tự như trung bình cộng Nhưng thay vì cộng các số và chia cho số lượng Chúng ta nhân các số đó rồi lấy căn của chúng Khi chúng ta biểu diễn một số thực ngẫu nhiên dưới dạng liên phân số Và lấy trung bình nhân của các hệ số của nó Nó hầu như luôn bằng khoảng 2,68545 Giá trị này được gọi là hàng số Khinchin Điều này không đúng cho các số hạng như căn bậc 2 của 2 E Và các số hữu tỷ Chuối điều hòa bắt đầu bằng 1 Tiếp theo là 1 phần 2 Rồi 1 phần 3 Vân vân Chúng ta có thể vẽ đổ thị tổng của x số hạng đầu tiên của chuối này Chúng ta cũng có thể vẽ đổ thị Nogazic tự nhiên của tổng x này Khoảng cách giữa hai đổ thị được biểu thị bằng hàng số Euler-Maceroni Nó sắp xỉ bằng 0,577 Nếu chúng ta tính tổng các nghịch đạo của chỉ các số nguyên tố Chúng ta sẽ có một chuối khác Khoảng cách giữa các đổ thị của chuối này Và Nogazic tự nhiên của Nogazic tự nhiên của x Là sắp xỉ 0,26 Đây được gọi là hàng số Tiếp theo, chúng ta hãy xây dựng một hàm đếm số nguyên tố Ký hiệu là Pi của x Hàm này trả về số lượng số nguyên tố cho đến một số nhất định Ví dụ Pi của 12 Bằng 5 Vì có 5 số nguyên tố từ 1 đến 12 Chúng ta có thể vẽ đổ thị của hàm này Và chúng ta có thể tính gần đúng đó Với hàm x trên Nogazic tự nhiên của x Để cải thiện phép tính gần đúng này Chúng ta trừ một hàng số b khỏi mẫu số Hàng số này được gọi là hàng số Ligand Vào năm 1808 Martin Ligand đã tính nó sắp xỉ 1,08 Tuy nhiên, ngày nay người ta biết rằng Hàng số này chính xác bằng 1 Hàng số Euler Số Euler mà chúng ta thấy là sắp xỉ 2,718 Hàng số Omega là một con số thỏa mãn phương trình Omega nhân e mũ Omega bằng 1 Hàng số này sắp xỉ bằng 0,567 Hàng số Gelfold Bằng với e lũy thừa Pi Bằng khoảng 23,14 Điều thú vị là nó cũng chính xác bằng trừ một lũy thừa âm Y Hàng số Gelfold Schroeder Bằng 2 mũ canh 2 Chuỗi Schroeder Nó bắt đầu bằng 2 Và số hạng tiếp theo luôn là tích của tất cả các số hạng trước nó Cộng 1 Nên số hạng thứ 2 là 2 cộng 1 Số hạng thứ 3 là 2 x 3 cộng 1 Vân vân Bây giờ chúng ta trừ đi 1 từ tất cả các số hạng này Và lấy nghịch đảo Sau đó chúng ta tính tổng sen kẽ của các số hạng này Cộng số hạng đầu tiên trừ số hạng thứ 2 Cộng số hạng thứ 3 Vân vân Điều này cho chúng ta một tổng vô hạn bằng khoảng 0.64 Được gọi là hạng số Cahen Hạng số Catanen Được định nghĩa là tổng sen kẽ của các nghịch đảo Của các bình phương của các số lẻ Giá trị của nó sấp xỉ bằng 0.91 Hạng số Aperi Là tổng nghịch đảo của các lập phương Của tất cả các số tự nhiên Nó có giá trị khoảng 1.2 Hạng số Goelitz Hay tích Goelitz Được định nghĩa là 2 trên 1 Nhân 2 trên 3 Nhân 4 trên 3 Nhân 4 trên 5 Và cứ như thế Giá trị của tích vô hạn này chính xác bằng pi phần 2 Căn bậc 2 của 1 nhân căn bậc 2 của 2 nhân căn bậc 2 của 3 nhân căn bậc 2 của Vân vân Có giá trị khoảng 1.66 Và được gọi là hạng số Tri hồi bậc 2 của số 1 Hãy xác định một chuỗi bắt đầu bằng 1 Số hạng tiếp theo là căn bậc 2 của 2 Sau đó là căn bậc 3 của 3 Vân vân Bây giờ hãy tính toán tổng sen kẽ của chuỗi này Bắt đầu bằng nấy âm số hạng đầu tiên Tổng bằng âm 1 Với 2 số hạng Tổng sấp xỉ là 0.41 Với 3 số hạng là âm 1.028 Với 4 số hạng là 0.386 Và cứ thế tổng này giao động vô hạn Nhưng điểm trên không bao giờ xuống thấp hơn một hạng số Đó là hạng số MRB Nó sấp xỉ bằng 0.187 Nó được Marine Jayburn phát hiện Một cặp số nguyên tố sinh đôi Bao gồm 2 số nguyên tố cách nhau 2 đơn vị Như 3 và 5 Hoặc 11 và 13 Tổng các nghịch đảo của tất cả các số nguyên tố sinh đôi Là sấp xỉ 1.9 Nó được gọi là hạng số BRUN Một bộ tứ nguyên tố Bao gồm 2 cặp số nguyên tố sinh đôi Cách nhau bằng 4 Chẳng hạn như 5, 7, 11 và 13 Tổng các nghịch đảo của tất cả các bộ tứ nguyên tố Là sấp xỉ 0.87 Và được gọi là hạng số BRUN Cho bộ tứ nguyên tố Mọi số tự nhiên có thể được viết Dưới dạng tích của các số nguyên tố Được lân lên nữ thừa nào đó Ví dụ 54 Nó có thể được biểu diễn dưới dạng tích này Trong trường hợp này Số mũ lớn nhất là 3 Trung bình Số mũ lớn nhất xuất hiện trong hệ số nguyên tố Của bất kỳ số tự nhiên nào Cũng sấp xỉ 1.7 Và được gọi là hạng số LEVEN Các vật thể trong không gian thường Có quỹ đạo Ellipse Phương trình Kibler Giúp liên hệ một số tinh chất nhất định Hãy tưởng tượng vật thể A Quay quanh vật thể B Theo quỹ đạo hình Ellipse Chúng ta cũng hãy vẽ một đường tròn Bao quanh quỹ đạo Một điểm di chuyển trên đường tròn Với cùng thời gian Để vật A di chuyển quanh quỹ đạo của nó Góc này được gọi là Độ bất bình thường trung bình Được biểu thị bằng chữ m Tiếp theo chúng ta vẽ một đường thẳng đứng Đi qua vật A Góc này được gọi là dị thường lệch tâm Và được biểu thị bằng chữ e Chữ e nhỏ biểu thị độ lệch tâm Của quỹ đạo Cho biết quỹ đạo bị kéo rãn bao nhiêu Một vòng tròn không bị kéo rãn Có độ lệch tâm bằng 0 Trong khi hình Ellipse bị kéo rãn càng cao Thì sẽ có độ lệch tâm gần tới 1 Các nghiệm của phương trình Kibler Chỉ hội tụ lếu độ lệch tâm Của quỹ đạo nhỏ hơn khoảng 0.66 Một giá trị được gọi là giới hạn Laplace Hay hàng số Laplace Một parabol có thể được xác định Bằng cách sử dụng một điểm Gọi là tiêu điểm Chúng ta cũng cần một đường thẳng Gọi là đường chuẩn của parabol Mà mọi điểm trên parabol có cùng khoảng cách Đến tiêu điểm và đường chuẩn Đường ngang đi qua tiêu điểm Và song song với đường chuẩn Được gọi là latitude tâm Tỷ lệ của dây cung này với khoảng cách này Sấp xỉ là 2.29 Và giống nhau đối với bất kỳ parabol nào Tỷ lệ này được gọi là hàng số parabol phổ quát Bây giờ Hãy xác định 2 tiêu điểm Cách nhau 2C đơn vị Bất kỳ điểm P nào thỏa mãn phương trình Trong đó tích của khoảng cách từ P Đến mỗi tiêu điểm bằng C bình phương Sẽ nằm trên đường cong Lemnitz-Keth Hàng số Lemnitz-Keth Là tỷ lệ giữa chu vi của đường cong này Với khoảng cách 2 tiêu cự của nó Bằng 2.62 Và hàng số này không đổi đối với mọi đường cong Để tính trung bình cộng Nhân của 2 số Trước tiên chúng ta tìm trung bình cộng Và trung bình nhân của các số đó Sau đó lặp lại quá trình Với các giá trị mới Tiếp tục cho đến khi các giá trị này hội tụ đến 13.458 Trung bình cộng nhân của 1 và can 2 Là xấp xỉ 1.198 Ngịch đảo của nó Khoảng 0.83 Được gọi là hàng số ngau Điều thú vị là hàng số này chính xác bằng hàng số Lemnitz-Keth chia cho P Số 89 có thể được biểu thị Dưới dạng tổng của 2 bình phương Nếu chúng ta có số x lớn Thì tổng số số nguyên dương Bên dưới x có thể được biểu thị Dưới dạng tổng của 2 bình phương Xấp xỉ bằng bnx trên căn Của lô gan đề phe tự nhiên của x Ở đây b là hàng số Làn đầu zamanuzian Xấp xỉ bằng 0.76 Hãy tạo một chuỗi gọi là chuỗi nhìn và nói Một chuỗi quá lạ Nó bắt đầu bằng 1 Để tạo ra cụm từ tiếp theo Chúng ta chỉ cần nhìn vào thuật ngữ trước đó Và mô tả nó Chúng ta thấy 1 chữ số 1 Nên thuật ngữ tiếp theo là 1 1 Trong số hạng thứ 2 Chúng ta thấy 2 chữ số 1 Nên số hạng tiếp theo là 2 1 Tiếp theo chúng ta thấy 1 chữ số 2 Và 1 chữ số 1 Nên số hạng tiếp theo là 1 2 1 1 Trình tựu này tiếp tục đến vô tận Trung bình sau mỗi lần lập Chuỗi tăng trưởng theo một thừa số xấp xỉ 1.3 Tốc độ tăng trưởng này Được gọi là hàng số Conway Và điều thú vị Nó cũng là nghiệm của đa thức này Chuỗi 2 more Chuỗi nhị phân Nó bắt đầu bằng 0 Và để tạo ra các số hạng tiếp theo Chúng ta sao chép toàn bộ chuỗi Và thay đổi tất cả các số 0 thành số 1 Và tất cả các số 1 thành số 0 Số tiếp theo Chúng ta sao chép 0 1 Và thay đổi thành 1 0 Quá trình này tiếp tục đến vô tận Nếu chúng ta viết chuỗi 2 more Dưới dạng phân số nhị phân Chúng ta thu được hạng số Browhead 2 more Trong hệ thập phân, hạng số này xấp xỉ 0.41 Hạng số Temporal Là một nhóm các hạng số Tương ứng với mỗi cơ số Hạng số Temporal Cho cơ số 10 là 0.1234567891011 Vân vân Đối với hệ nhị phân là 0.11011 Vân vân Chúng ta có thể tạo ra Một hạng số Temporal Khác cho bất kỳ cơ số nào Hạng số Copeland Addot Tương tự như hạng số Temporal Cho cơ số 10, nhưng nó được xây dựng Chỉ bằng cách sử dụng các số nguyên tố Bây giờ, hãy tạo một phân số Trong đó, nếu vị trí thập phân Là số nguyên tố, thì chữ số đó là 1 Nếu không, thì chữ số đó là 0 Phân số này được viết dưới dạng nhị phân Biểu diễn thập phân của nó Được gọi là hạng số nguyên tố Hãy sang định một chuỗi khác Gọi là chuỗi Kolakotki Trong chuỗi này, chúng ta lập đi lập lại Giữa việc cộng 1 và 2 Chúng ta bắt đầu bằng 1 Thể hiện rằng chúng ta thêm 1 Tiếp theo, chúng ta thêm 2 Nghĩa là chúng ta thêm 2 chữ số Tiếp tục, chúng ta thấy chữ số tiếp theo là 2 Vì vậy, ta thêm 2 chữ số 1 Rồi, chúng ta thấy 1 Nghĩa là chúng ta thêm 1 chữ số 2 Mẫu này tiếp tục vô tận Nếu chúng ta trừ một số hạng Từ mỗi số hạng của chuỗi Kolakotki Rồi biểu diễn nó dưới dạng Phân số nhị phân, chúng ta thu được Hạng số Kolakotki Trong cơ số 10, hạng số này được biểu diễn như thế này Và nó có ứng dụng thực tế Hạng số min Được định nghĩa là số dương nhỏ nhất Mà khi lưng lũy thừa 3 mũ n Và làm tròn xuống Sẽ tạo thành một số nguyên tố Với bất kỳ số tự nhiên n Hiện tại, người ta tin rằng giá trị sấp xỉ của nó Là 1.3 Mặc dù điều này chưa được chứng minh Bằng cách sử dụng giá trị này Với n bằng 1, chúng ta nhận được 2 Với n bằng 2, chúng ta nhận được 11 Đối với các giá trị lớn hơn của n Chúng ta thu được số ngày càng lớn Với n ngày càng lớn Việc xác minh xem kết quả có phải là Một số nguyên tố hay không Sẽ trở lên cực kỳ khó khăn Giai thừa của một số được định nghĩa là Tích của tất cả các số tự nhiên nhỏ hơn số đó Điều này có nghĩa là chúng ta chỉ có thể Tính giai thừa của các số tự nhiên Để vẽ đồ thị hàm giai thừa Chúng ta có thể vẽ các điểm nguyên Chúng ta có thể mở rộng hàm giai thừa Thành bất kỳ số nào Bằng cách sử dụng hàm gamma Chúng ta cũng có thể vẽ đồ thị nghịch đảo của hàm gamma Diện tích dưới đồ thị của hàm này Ở bên phải chục Y Là khoảng 2,8 Và được gọi là hàng số Franzen Và Robinson Hãy vẽ một hình tròn có bán kính 1 Tiếp theo một tam xác đều ngoại tiếp Rồi lại một hình tròn ngoại tiếp Rồi một hình vuông Và một hình tròn khác Rồi một hình ngũ giác đều Vân vân Bán kính của hình tròn sẽ không bao giờ vượt qua giá trị sấp xỉ Là 8,7 Nó được gọi là hàng số ngoại tiếp đa giác Bây giờ Chúng ta hãy vẽ một hình tròn khác có bán kính bằng 1 Nhưng lần này Là một tam giác nội tiếp bên trong nó Chúng ta tiếp tục mô hình như trước đây Bán kính của hình tròn nội tiếp Sẽ không bao giờ nhỏ hơn khoảng 0,11 Nó được gọi là hàng số Kibler Điều thú vị là hàng số này chính xác bằng 1 Chia cho hàng số ngoại tiếp đa giác Số đốt ti Năng nghiệm của phương trình này Giá trị của nó sấp xỉ bằng 0,73 Hãy xác định một chuỗi Trong đó mỗi phần tử bằng 1 Cộng 1 trên phần tử trước đó Tất cả lũy thừa vị trí Của nó trong chuỗi Chẳng hạn nếu chúng ta bắt đầu bằng 1 Thì phần tử tiếp theo là 2 lũy thừa 1 Phần tử tiếp theo là 1,5 Mũ 2 Và cứ thế Chuỗi này nhanh chóng tăng lên Và giao động giữa các số lớn và 1 Nếu chúng ta bắt đầu với 2 Thì chuỗi vẫn nhảy lên nhảy xuống Bắt đầu bằng 1,5 cũng tạo ra một mô hình tương tự Hành vi này xảy ra Với bất kỳ số bắt đầu nào Ngoại trừ khi bắt đầu với hàng số Foyard khoảng 1,18 Nếu chúng ta bắt đầu với số này Thì chuỗi sẽ phát triển như thế này Số nguyên tố Mersenne Là một số có dạng 2 mũ n Tổng các nghịch đảo Của tất cả các số chỉ sấp xỉ 1,6 Và nó được gọi là hàng số Edward Bowen Các số nguyên tố Mersenne Cũng được sử dụng để tìm các số nguyên tố rất lớn Một số có hàng triệu các sự số