【清華大學】《大學物理》（國家級精品課）上 P16 - 16. 16-教學錄像-功和能1

下面我們開始第四章 功和能 前面我們講到了 你要把這個牛頓方程啊 關於時間做積分 我就得到了 充量 作用在一個質點上的充量 力的充量 等於這個質點呢 動量的變化 對吧 然後我在考慮呢 巨的時候 這個充量 關於某個定點的位置插程 那這邊動量也插程 就得到了角動量定理 角動量定理的積分 關於時間積分 就充量巨等於角動量的變化 我們這樣做的好處呢 再把二階微物方程 作爲二階微物方程的牛頓方程 變成了一階的 對吧 你看動量定理是一階的 對吧 動量定理怎麼寫啊 關於p的一階方程 對吧 角動量定理也是一階的 關於l的一階方程 好 這是關於時間的積分 如果我把牛頓方程兩邊 關於空間積分的話呢 我也渴望得到一個 一階微物方程 這個就是關於功和能的關係 我們通過對時間 預先對牛頓力學 在牛頓方程的兩邊 預先對空間積分 預先對時間積分 和預先對空間積分 我們把這個方程降階了 在數學上帶來了方便 另外呢 我們引入了新的物理量 動量 角度量和下面 動能 勢能 機械能 功 等等這些量 在這個程度上 求解問題更簡便 並且引入這些物理量呢 有時候要比速度 要比位置等等 這些物理量更重要 比如動量 角度量以及能量 它這個概念更寬泛 更深刻 深刻在哪呢 就是在物理學中的 物理學最高的追求呢 是對對稱性的追求 物理學最後呢 尤其到高能物理 到關於場的一些討論的時候 對於對稱性的追求 是最完美的追求 而且呢 也是沒有辦法的辦法 當具體的規律 你不清楚的時候呢 我就從對稱性的角度 去猜測這些具體規律 我們剛纔引入三個物理量 動量 角度量和能量 恰好是三種對稱性的表現 我們知道 動量對應的是空間平移不變性 角度量呢 對應的是空間旋轉的對稱性 能量是關於時間平移對稱性的 這個我們在涉及到的時候呢 我們還要討論 所以我們把牛頓方程 關於時間空間預先積分呢 好處不僅僅是把微分方程降階 給我們在數學處理上帶來方便 更重要的是 它引入了更深刻的物理量 角度量 動量和能量 而在這三種物理量中 哪個是最重要的 是最基本的 能量是最基本的 我那天開始那天我都介紹了 如果你把一個質點的座標寫成 廣義座標和廣義動量的話 最後你的方程變成什麼呢 變成關於哈姆頓量的微商 對吧 不是力了 力不好 力呢它描述的問題呢太窄 太具體了 如果用哈姆頓量那就好辦了 哈姆頓量相當於是動能加勢能 對不對 那個相互作用都包括在勢能裏面 勢能是很寬泛的一個量 所以在量子力學中 這個哈姆頓量代表能量 在量子力學中的微分方程 就是學力量方程中 就可以比成什麼樣子呢 描述微觀粒子狀態隨時間的演化 是靠哈姆頓量推動的 哈姆頓量是動力學原因 在牛頓力學中 我們認爲使這個粒子狀態 就是它的R隨時間變化 怎麼演化呢 靠力推動對吧 F等於mA 我還要說這件事 這件事是說多少遍都是重要的 在牛頓力學是這個樣子 就好像推動這個粒子的狀態的演化 位置的變化 或者速度的變化 或者狀態的變化 是靠力 在量子力學中 微觀物理中不是這樣了 推動這個粒子狀態隨時間變化 是這樣變的 IH8pnψ 這跟時間有關 當然跟位置也有關了 HD 是什麼呢 是有個叫做哈姆頓量的能量來推動 是它來推動的 哈姆頓量是什麼東西呢 是動能加勢能 動能我得寫成p的形式 是動能加勢能的形式 在薛定諤方程中 這個粒子的波函數 描述狀態的波函數隨時間演化 這麼演化對不對 IH√-1 IH8是個常數 1.05×10√34 你看它們這個波函數隨時間演化 靠誰推動呢 靠哈姆頓量來推動 哈姆頓量是動能加勢能 哈姆頓量就是能量 所以在角動量和能量中 能量這個作用是非常重大的 它可以推動這個粒子的狀態隨時間變化 你看我們對牛頓方程這麼一積分 下面我們看到 對空間一積分 給出能量的概念 而能量在表述或者在線 體系隨時間演化的性質的時候 起到動力學原因的作用 所以微觀粒子 氣原子中的電子 或者原子核中的質子等等 它的狀態怎麼隨時間變呢 就是哈姆頓量推動 因爲時間變化力就是哈姆頓量 作用在這個過程中 所以能量這個概念是非常重要的 我們下面就要討論能量 大概講這麼幾個題目 功動能源理 這個大家都清楚 中學都講過 我們講講就講 我們特殊強調一對力的功 一對力做功 這個講法是清華特色 這是清華的特色 當然現在好多教材也用這種講法 我個人認爲呢 這種講法非常好 它把這個保守力 勢能的概念講得非常清楚 這個是清華特色 然後給出保守力的概念 勢能的概念 注意保守力的概念 不僅僅在這裏面有用處 到電磁學中 包括到熱學中都很有用處 在電磁學中 靜電場和寶石場 從數學上概念是一樣的 在熱學中 商的引路 跟這個數學上的概念是一樣的 商火字旁高於金商的商 商是物理量 它是對體系混亂度的描述 越亂商越大 混亂度的描述 好了 我們重點要討論 一對力做功保守力和勢能的概念 然後由勢能求保守力 由勢能求保守力這件事情至關重要 不僅在牛頓力學中 它是物理學中的一個理念 給定一個勢 我就能通過求梯度 加個負號 求出與這個勢相應的相互作用 在很多物理體系中 都有它的用處 然後機械能守恆等等 這個大家都清楚 最後我們介紹兩體問題 在多體問題中 能夠嚴格糾結 能夠得到解析解的 一個是單體問題 一個是兩體問題 一到了三體問題 就不能嚴格糾結了 必須用近視解法 在多體問題中 最討厭的是少體問題 三個四個五個例子 最討厭 最好的是一體問題 兩體問題和多體問題 一百個例子好吧 我演入評論場 得到結果是十五個 最討厭的是少體問題 所以世界大概每兩年 開一次少體問題大會 少體是最難解決的 最後我們補充一個 百度理方程 我們的課程呢 關於流體幾乎是不講的 但是流體力學十分重要 由於課時的原因 多年來就把它刪掉了 但是我們簡單介紹一下 流體力學中最基本的方案 就是百度理方程 這個我們就簡單介紹一下 也很簡單 我把流體當作質點系 我用質點系的功能關係 就得到了百度理方程 這是我們要講的問題 這個我快點 什麼叫功呢 功就等於質點受的力 和它的位移的標記 有的書上說呢 等於力的作用點的位移 和力的標記 這樣說也可以 但是你沒有質點的話呢 你這個力是幹什麼用的 我們要得到的是動能定理 對質點的合力作的功 等於質點的動能的增加 我沒有質點 光有個力 最後你這個力作功是幹什麼的 這個用處很難說 所以我們還是用質點受力 這個模型來說話 有一個質點 它從A跑到B 在某個時間 在某一時刻 作用的力是F 最後的速度是V 這個呢 代表得到T時刻 它的位移 用這個模型 對AB這個曲線 這軌道呢 叫L A到B有可能 不同的L 不同的軌道 我就定義了 這個質點 當位移是DR的時候 作用在質點上的力 F作的功 用點程來定義 你會問你爲什麼這麼定義啊 我爲什麼不定義成差程呢 你說功是標量 那我功爲什麼不能定義成實量呢 因爲這樣定義之後啊 這個定義物理量有用處 對不對 就像加速度 加加速度 加加加速度似的 定義是隨便的 你定完了沒有用 那你莫若不定義 你定義物理量 爲了什麼 找它們的關係 找它們之間動力的關係 你要有用處的 可以跟實驗做對比的 這個有時候爲什麼 也沒有爲什麼 就是人們在找到這些規律的時候 定義一些有用的物理量 這是定義F點DR 那大小呢 這個點乘就是個標量 這個標量的大小呢 是DR的摩 就代表位移的大小 乘上力再乘上可參性 就還有一點 在體系從這個位置 跑到這個位置的時候 位移爲DR的時候 這個力呢按理說是可能變化的 對不對 但是當我DR取微分小的時候 這個變化可以不考慮 爲什麼不考慮 這個R應該 這個F應該做它來展開 對不對 有0級項 1級項 2級項 3級項 對不對 我爲什麼不用考慮呢 因爲這個是一級無窮小 對不對 在你這個展開中 你要有一級和一級以上的項 和它一乘就2級和2級以上的項 忽略不盡 因爲我定義的是一級無窮小 按理說F應該是一個它來展開的 但在這麼小的距離內 這個小的間隔內 它的它來展開呢 應該0級項1級項等等 和它相乘呢 我就取相乘結果的1級項就行了 所以竟然取0級項對吧 你們清楚我說的意思嗎 爲什麼都瞪着眼睛看我呀 你看啊 我現在定義 我要定義DW是個一級無窮小 對不對 如果我考慮F的它來展開的話 我會得到這個結果 有個DW的0級項 我就這麼寫了 它有一個呢 D方我不寫0 這麼寫 D方W加上等等 對不對 你要把F做它來展開的話 DW代表就那項 F點DR 我就這麼在DR這個範圍內 例子不變的取0級項 然後呢 F還有它來展開 它有1級項 1級項跟DR一乘呢 就是2級項對不對 結果你定義的是1級項 那當然2級項和2級項以上的項 全忽略不計了對吧 就這個意思 不是F跟位置沒有關係 那個關係我們不要考慮 我定義1級項就可以了 以後經常有這樣的事情 好了 我問從A到B沿着L這個軌道 做弓是多少 積分就完了 做這個積分就完了 弓有正負之分 這個積分有正負之分 要看你在這個置點運動的過程中 力跟這個位移的方向的關係 反正最後積分結果有正有負 在一般情況下 弓與路徑有關 就是我從A點運動到B點的時候 這個積分結果跟L不同的曲 曲的不同L有關 不同的路徑有關 但是保守力 下面我們介紹的保守力 保守力的弓與路徑沒有關係 它只跟起點和終點有關 跟你經過哪個路徑沒有關係 路徑無關 比如我有個保守力 從A 這是A點 這是B點 從A積到B 你可以沿着直線積 也可以沿着曲線積 也可以從這積到海點再回來 積分結果是一樣的 這就是保守力 保守力是什麼我不說 我說非保守力 比如摩擦力和非保守力 摩擦力我從A積到B沿着直線積 可能結果最像 沿着曲線可能大一點 你從這走到海點再回來 那摩擦力的功夫非常大 如果用斜點被磨下的尺寸來描述的話 那是不一樣的 從這走到這 它到了海點回來當然不一樣了 摩擦力就是非保守力 所以除了保守力之外 一般來說非保守力 它的積分的結果都跟路徑有關 這是第一條 第二條 置點的位移跟參考系有關 因此弓依賴於參考系 我現在畫這個圖 是對某個參考系說的 但是置點的位移和參考系是有關的 所以這個積分是跟參考系有關的 但是一對力做弓 我們一會兒講一對力做弓 內力做弓是跟參考系沒關係 什麼叫內力呢 在兩個粒子 在一個置點系統其中有兩個粒子 這是兩個粒子兩個置點 它們之間相互作用叫內力 這是一對力 比如吸引 它吸引它 它也吸引它 這是一對力 大小相等方向相反 這一對力做弓是指什麼呢 當這兩個粒子相對某個參考系 都有位移的時候 比如這個這麼位移 這個這麼位移的時候 它倆之間的吸引力要做弓 這個做弓你可以 一會兒我們經過推導可以得到 這個弓是以兩個力做的弓 兩個力兩個位移 但是由於兩個力之間 有大小相等方向的性質 所以可以得到下面的結果 冒號 就是一個力做弓 你做在這個粒子上 看這個粒子 它相對你的位移 乘上兩個力中的一個力 點成的結果 那就是說一對力做弓是什麼呢 是相對位移做的弓 相對位移當然跟參考系沒有關係了 對不對 所以下面我看到 一對力做弓跟參考系沒有關係 那現在我們先把這個結論說出來 也就是說這個弓 一般跟路徑有關 跟這個積分路徑有關 但是有一類力 積分的路徑沒有關係 這類力叫保守力 比如重力就是保守力 地球引力 比如我從這個 從二樓地板到三樓 我爬樓梯上去 你做這個積分 算個結果 我把房子鑽個啞 直接上去 你也可以做個積分 然後我下樓溜達一圈再上去 這三種積分路徑 結果是一樣的 重力就是一種保守力 第二 這個弓還和參考系有關 但是對一對力來說 就跟參考系沒有關係 那一力做弓跟參考系沒有關係 這個是大家注意的 動能定律中學都知道 我簡單說一下 先說質點的動能定律 對牛頓定律關於空間積分 就得到下面的結果 核外力對質點所做的弓 等於質點動能的增量 Wab代表核外力對質點做的弓 質點從A跑到B那個位置 當然A到B跟路徑有關 我沒寫 反正從A到B經過某個路徑 對核外力做的弓 就等於質點動能的增加 Eka代表A時刻 起始點的動能 Ekb代表中了的位置的動能 增加 所以Ekb.Ek 這個動能是這麼定義的 關於動能的定義 物理學史上有過記載 原來定義沒有二分之一 原來動能是怎麼算的 質量乘速度平方 沒有二分之一 後來發現這樣有矛盾 這規律中有矛盾 總差一個因子 所以後來就把它定義成二分之一 二分之一m微方 微微方加二分之一m微方 其中這個Wab是這樣的 所以我特殊寫個QyL 代表一般情況下 這個弓是跟積分路徑有關的 我們看來很簡單的規律 其實歷史上經過好多爭論 你看物理學史 有好多爭論 後人一學習 當然就把正確的結果拿出來 這個規律只適用於慣性系 因爲你得到這個規律的出發點 牛頓定律 以後我們看到 對牛頓定律兩邊關於空間積分 得到這個規律 第二 對非慣性系 它應該考慮慣性力做工 這個經常說這個 你要非慣性力的話 那個力還 除了真實力之外 你還加上慣性力 假想的慣性力 所以你要考慮慣性力做工 在這裏面考慮慣性力的做工 這個很簡單 瀏覽一下就可以了 牛頓第二定律 慣性系 關於空間兩側積分 這側從A按着L積到B 這塊從A積到B 什麼也沒幹 兩邊點成了R做積分 大家注意這個式子 dv點成dr 就等於dv點成上dr比dt dr比dt就是速度 就是v點成dv v點dv就是d 除上2 就是d 關於v的平方做積分 你看 這個式子 就是v點上dv 就是1 2d擴弧v點v 那這就是一個 什麼意思呢 這就是原函數 微方就是原函數 所以就得了這個結果 很簡單 就這麼簡單的運算 就給我們帶來一個 非常有好處的結果 那就是剛纔說的動能定律 我在討論一個質點的運動的時候 我可以不討論別的 什麼力我都不考慮 我只要知道這個粒子 從A狀態到B狀態 從A的位置到B位置 這個外力做的功 我算出來就可以了 算這個功 算出這個功 就等於動能的增量 如果知道開始的動能 或者開始的速度的話 那任意時刻的速度我就知道 對吧 我就得了這麼一個結果 你會問我 你的方程並沒有降階 怎麼叫降階 降了降階 關於R來說 我降一階 這是算出的結果 通過計分算出的結果 這個是速度的平方 速度的平方是dRdt的平方 從溫分上看降了一階 變成一階的了 就不是原來的R 關於時間的二階位上 變成一階位上 不過這個是一階位上的平方 還是撞了E 不再降階 再引入功和動能的概念 然後我再把功中分解成兩類功 一類是非保守力的功 像摩擦力這樣的功 這我沒辦法 你只能認真地算 因爲是跟路徑有關的 你要認真地算 誰也沒有辦法 但是還有一類內力叫保守力 這個保守力與路徑沒有關係 保守力做功與路徑沒有關係 與路徑沒有關係 我就可以寫成兩個標量函數的差 對吧 這個標量函數的差 叫勢能差 有了這個勢能差之後 變成這邊 那一個粒子在某一時刻 它的勢能加上它的動能 就叫做機械能 這個結果是什麼呢 非保守內力 外力和非保守內力做的功 等於體系機械能的增加 這個結果很漂亮 對吧 這個結果很漂亮 假如這個體系沒有摩擦力 沒有非保守內力 光有保守內力的話 那非常漂亮 外力做功就等於體系機械能的增加 如果外力等於零 或者不是外力作用 體系機械能守恆 就把能量守恆 非常寬泛的一個規律 把它下放到牛頓力學中 用機械能守恆 就引出了非常壯的結果 所以我建議大家 這些大家中學都清楚的 甚至幼兒園都知道的這些概念 你要在新的層次上去理解 這就是大學物理和中學物理的不同 然後你還要理解 就是這些語言這些規律 在整個物理學 在各個領域中都有它的影子 所以趙可華先生 北大趙可華先生說 說這個牛頓力學一定好好地講 這一段一定好好地學 因爲前一段國內有一種思潮 有一種思想認爲 牛頓力學可以不講了 中學都知道了 F等於MA 其實趙先生說牛頓力學 就我們講牛頓力學 牛頓第二定律等等這些規律 它是整個物理學運行的 工作的語言和習慣 它給出這個工作習慣 不僅僅在規律本身 可是這個習慣 這個工作語言等等 在中學中大家不太注意 中學我會算題的 甚至有需要那樣掐表 這個題幾秒鐘做出來 有這樣的叫什麼 叫條件反射式做題 爲了應付高考 拿來天空刷出非常快 甚至有些常數 不是記常數 那些集團都要記 什麼乘什麼 立刻數就出來 爭取時間 在這種訓練下 所以好多同學考了很高的分 就忽略了這些很有意思的 但是在高考中 又體現不出來的這些內容 我們就要加強這方面的內容 這些內容怎麼辦呢 一是課堂上通過教學 你們自己在課下去運功 它有個重要的方式就是討論 科學質根一討論 這是培根一位前輩說的 科學質根一討論 你討論 大家要爭論 挺有意思的 你們爭論爭論之後 你就覺得你會喜歡那個爭論 它比你看個大片還有意思 看完大片之後沒什麼收穫 就打來打去 甚至沒有正義 什麼非正義之分 所以我們希望大家 這些你知道的內容 你不要一看就反感就排斥它 你要深挖它物理上的一些 更深刻的東西 要有你的物理感覺 然後就是質點系的動能定理 這我就不講了 由質點的動能定理 關於質點的角標求和 就得到質點系的動能定理 這裏又有一個問題 一什麼叫做質點系的動能 質點系的動能 或者質點系的總動能 就是每個質點的動能的求和 對吧 這個正常人都會這麼理解 這個沒問題 這邊就是兩項 一項是所有外力做的功 和所有內力對質點系做的功 這是外力做的功 這是內力做的功 外力做功很容易算對不對 我有幾個外力 我每個外力做功 求起來加到一塊就行了 問題就是內力做功怎麼算 當然我也可以傻算對不對 內力做功一般都是一對力 兩個粒子之間相互作用 這兩個粒子分別有位移 那個力點上位移做積分就可以了 我們以後將在內力做功下功夫 首先得到內力做功 一對力做功 當然我可以寫成一個力做功 而且這個一個力做的功 跟參考系沒有關係 它是兩個粒子 相對運動的位移點上了這個力 另外內力又分兩類 一類是保守力 一類是非保守力 對於保守力內力做的功 我可以寫成勢能差 挪到這邊就變成機械能 第一 質點的位移不一定都相同 所以內力雖然成對 但內力的總功不一定爲零 這個很重要 我們說內力的水量和是零 所以對體系的動量沒有貢獻 內力關於定點的力矩和力矩等於零 所以對體系總的角動量沒有貢獻 但是內力對體系的總的能量 總的動能有貢獻 就炸彈爆炸 原來是炸彈靜止 爆炸之後碎片構成的質點系 它的總的動量還是零 還是沒動 總的角動量也沒變 原來是零還是零 但總的動能變沒變 你要是沒變你試一試 你試一試 爲什麼內力做功 可能對體系的質點系的動能有影響 就在於在運動的過程中 質點系中的質點的位移不一定都相同 對不對 你內力程度出現沒錯 但是A粒子和B粒子 A質點和B質點 它的位移大小方向可能都不同 所以這兩個點成之後 加在一塊不一定是零 對不對 就這個原因 內力不改變系統的總動量和總角動量 但是能改變系統的總的動能 比如炸彈爆炸等等 另外這個規律也只適用於慣性系 所以要說的話 我們又談到質心繫了 質心參考系了 你剛纔說了 剛纔說質點系的動能定理 只適用於慣性系 但我現在選質心參考系 一選質心參考系中 一選質心參考系 質點系的動能定理的形式 就跟慣性系中的是一樣的 而不管你這個質心參考系 是不是慣性系 就在這裏面不要加上慣性力做功了 因爲在質心參考系中 慣性力做的總功是零 以後我們可以證明這一點 又一次看到質心參考系的重要作用 所以理論上願意在質心參考系處理問題 其中這一項代表外力在質心參考系中做的功 第一項 第二項代表內力在質心參考系做的總功 這兩個打一撇代表在質心參考系中 末態的質點系的動能和初態的質點系的動能 好了下課