【哈爾濱工業大學】《結構力學》（國家級精品課）（下） P21 - 121. 123-12-5結構穩定分析05

這節課我們接着上一節課講力體 能量法 現在這是一個豎壓的柱子 上面的核載是一個分佈的 上面核載是分佈力 分佈劑度是Q 是常數 抗爛鋼度是EI 杆長是L 現在要用能量法來求它的離電核載 用能量法來求解 首先你要先選擇座標系 然後在這個座標系上 你要給出來一個你認爲最容易失穩的形狀 要給個大致的形狀 也就是形狀函數 這個形狀函數要求要滿足位移變遷條件 當然你要能滿足力的變遷條件 那當然就更好了 至少應該滿足位移變遷條件 這一點和動力學裏面我們用能量法求的基本頻率是一個道理 就是你給的形狀函數至少應該滿足位移變遷條件 我們給了一個座標系 X桌向上位 Y桌向右 發生了一個我們要求在這個位置上平衡的那個力 我們選一個函數 形狀函數選一項 那也就是把無限自由度體系化成了單自由度 把無限自由度化成了單自由度 一個自由度 那麼A就廣義座標 你看A都要定了 所有的位置的各個點的位置是不是都定了 A是廣義座標 這個是形狀函數 這個形狀函數是滿足位移變遷條件的 因爲後邊我們計算的時候也要用到它的一些導數 我們現在給它這個X求解導數 然後我們驗證一下 X等於0代進去 這個是1是吧 Y是等於0的 滿足這個X等於0這點 就是下端的這個位移是0的條件 水平位移是0 這個條件是滿足的 那麼這地方的轉角是0 轉角也是0 那麼你要設的這個函數還要滿足 它的一些導數在這點的值等於0 讓我們求導數 求導數就變成了一個是散引了是吧 散引L分之π X再乘上一個L 2L分之π X等於0代進去 那散引0當然還是0了 所以一些導數在X等於0這點的值是0 就是滿足了這個位移的邊界條件 平端函數 然後下面我們就可以計算這個結構的勢能是吧 結構的勢能包括兩部分 一個呢是陰變能 線性能 一個呢是外力勢能 兩部分 我們來看這個陰變能 這個陰變能的時候呢 這個陰變能表來說裏面有那個Y對X的二級導數 曲率 那麼我們對Y對X的二級導數 然後把它帶到這個陰變能的這個表達式裏面去 彎曲陰變能 相當於是V段兩側的彎矩 在這個V段兩側截面的相對轉角上所做的施工 這個是在前面訓練很多次的 然後把求導的這個二級導數帶進來 做定積分 積分結果是64L3的方彎成EI π4的方A方 陰變能 下面求那個外力勢能 求外力勢能 也就要求這些合載這些力 退回到沒有發生位移這個位置上 所有這些力所做的虛工 是不是 因爲往後退的話這些力做工都是負工 做虛工 那我們求的時候我們先取出一小段 取dx的一段 dx的一段 那麼這一段的下側 這一段這小V段的下側由於這個彎曲了 這個點有個向下移動 那麼這小段上的力應該是dx乘上q 那麼q乘上它這個點的下降那個部分 萬有負號 就是這小段上的外力勢能 然後我們再沿着杆長積分就可以得到所有的外力的勢能 那麼這個dx這個V段的下側 它在下降的這個距離我們又拿不到表示 拿不到表示 那麼這一點的下降的距離 我們在上節課講力體的時候 在講能量法的時候講過了 這個勢能 這個下降距離應該怎麼算 有沒有印象 這個積分是吧 二分之一 外力階導數平方再積分 就是你這點的下降的高度應該是二分之一 外力階導數平方然後再積分 那麼你這個拉伯達是由下面各個小段發生了偏轉 造成了線上位移是吧 所以那個應該積分應該從0一直積到x 積分從0積到x 就x上邊的很多小段 每個小段都偏離了一個角度是吧 偏離了 偏移了一下轉了一個角度 造成了下降 那麼你當然要從0到x就積分了 積出來的是你這個小段的dx這個小段的下側的這個位 下側的截面下降的這個高度拉伯達 各個點都不一樣 然後我們把外力階導數帶進來 把外力階導數帶進來 然後做積分 做變向鍵的積分 這個結果 那就是說你這個感鍵上各個點由於它發生了變形以後 各個點的下降是隨着這個x的不同而不一樣的 是不是都不一樣 它是個x的函數 然後我們求這個小段上的 外力外力的那個外力勢能 這小段上的應該我們用d v e 形容表示這個小段上的外力勢能應該是上面的力q乘dx 乘上它的下降的高度 然後你把這所有的小段這樣的都加一塊 就是做一個積分 從0到l積分 這從0到l積分了 這個dx劃分着很多小段 從0開始一直到l 然後把這l帶進來 做定積分 那麼有了這個外力勢能了 有了這個應變能了 它倆相加 就是結構勢能 結構勢能是應變能和外力勢能相加得到結構勢能 然後結構勢能取阻值 是不是 就是對a求解導數 一批是a的函數 結構勢能是a的 是廣義座標的函數 然後對要取那個極值 求解導數 a求解導數 然後a不能等於0 求解導數當然就是2a了 這一個東西乘上2a 對a求導數 不是對i求導數 是對a求導數 一批是a的函數 a的函數 對a求導數以後 是2a乘上這個括號裏的一下 應該等於0 a不能等於0 a要是等於0 y就是0 對於初始的這個軸心受壓狀態 a不等於0 所以括號裏邊這個就應該等於0 那麼由此可以求出q 是8.3 精確解是7.837 精確解 所謂精確解就是 我們解那個微溫方程解出來的 和前面那個靜力法解出來的 靜力法解出來的 是7.837 能量法我們這是技術解 那麼還是要提換一個思路 這個就是現在一般市面上 一般的幾個教材裏面解法 就是這樣解的 問題是一個 三個問題 那麼其中一個教材裏面 就把座標器選在了這一點 就是座標原點點在這 x向下爲正 y向左爲正 座標器不一樣 因爲你給那個函數 是跟座標器的選取有關係的 是不是 跟座標器選取是有關係的 所以你先要選一個座標器 然後這時我選這個yx的時候 在選a乘sinl分之π的時候 實際上這個四分之一 這個正常曲線 正常曲線的四分之一 正常曲線 從0到2π 一個全波 我是取了四分之一 當然剛纔我取的一減 那是一減 一減它也是一個正常波的四分之一 和這一樣的 都是這條曲線 只不過座標器不同 你寫的函數不一樣 然後看看它滿不滿足位移變移條件 x等於0 x等於0 y是0 對不對 這是座標原點在這兒 x等於0 這個曲線在這兒 那值也是0 是吧 y是不是也是0 所以上端的位移條件是滿足的 那麼下端這塊 轉角是0 那就是說你要把它 對 求解導數 求解導數 然後把x等於0代進去 是不是看是不是等於0 你求解導數應該是2x cos2x分之π 是吧 再乘以一個2l分之π x等於l代進去以後 是cos2x分之π 這樣是應該等於0的 所以也滿足了 上端的水平位移是0 下端的轉角是0的條件 所以這個可以作爲形狀函數 因爲你的形狀一樣 你不管在哪個座標器下 不管你取哪個座標器 你只要這個形狀是一樣的 它裏邊的變性能是一樣的 變性能不應該隨着座標改變 所以這個走的結果 應該和剛纔講的那個結果應該一樣 比如你把這個求解導數代進去積分 肯定還是我們剛纔講過那個方法 走的結果是一樣的 剛纔取的那個座標器是一樣的 已經變能了 那麼再說外力勢能 外力勢能是這樣來算 外力勢能是這樣來 我們在這取了一個距離座標點x的處 距離座標點x的處 那麼這個地方有一個微段 這塊是x 這是dx 那麼由於這個微段發生了偏移 造成了上邊的整個下降了一塊 dx這個微段發生了偏轉 是不是就帶動了上面所有的地方都要下降 和下降是一樣的 你下面你給一個微段 每一個微段它要是往下這麼一轉 就使得上面的所有的力都要下降一塊 那好了 那麼我們這小段發生偏轉 造成了這小段上側的面的降下的位移 這個表達式 這個是上節課我們推導出來的這個表達式 那麼就是你這個微段 dx微段上邊的所有的力的合力應該是q乘x 上面這個小微段這個截面 上面這個截面的上側 所有的力的合力應該是q乘x 那麼它要下降這麼大 我這裏寫的是做的虛空 就是你這個微段的截面 這個微段上面截面的上側的所有的力 在這個微段發生偏轉了以後 下降那個位移上所做的虛空 然後你每個小段是不是都要發生偏轉 你每個小段轉一下 它那上面要下降一塊 下面小段再轉一下 都有下降一塊是吧 我們把每個微段偏轉造成的下降 那個力做的弓都加一塊 就是積分 就是做的積分 外力階倒數 趕緊來 就是把它做積分 外力弓 這個是一個小微段發生偏轉 上面的力所做的弓 這是所有的微段偏轉做的弓 那麼結構勢能應該等於應變能加上外力勢能 外力勢能應該是這些力 在返回的時候做的虛空是吧 應該是負的 把這應變能和這個帶進去 把A方提出來 它是A方的函數 然後再連接到這邊 我們可以求出來 就連接力 連接力 就是8.27S3的發動力應變 這個和這個是也差了 剛纔我算的是8.30 這是8.27 這個8.30和8.27 就是剛纔這個算法和剛纔的算法 它倆的得的結果應該是一樣的 那麼之所以得的結果不一樣 就在計算過程當中 可能在取得小數點有效數位的時候可能不太一樣 造成了8.27和8.30的差別 雖然這思路不一樣 實際上得的結果應該相同 因爲你給的這個形狀是一樣的 所以得的結果應該是一樣的 誤差可能我這個沒太記住 應該是在5%左右 那麼如果你要想降低誤差 因爲你這個直到精確解 你其實在你算出來結果的時候你誤差是多少 那麼如果位置的問題 你沒有精確解 你也不知道你這個精確解差多少 就是說隨便一個問題 現在沒有精確解的 剛纔這都是有精確解的 沒有精確解的一個實際的工程問題 那你來解 你解出來的結果你說它 精確解肯定是有的 但是你沒解出來或者不會解 那麼它和那個差多少呢 你能知道嗎 你就不知道了 我們這裏只能說 這個能量法我取一項的時候 這個差距是很小的 你要想要是讓這個差距變得更小一點 變得小一點 實際上是可以從兩個方面來說的 一個就是你取的那個形狀 那個形狀和那真實的那個實本的形狀應該更接近 在前面我們上節課講立體的時候 我們是給了一個外力 一個外力 外力是往下移起來的那個曲線 作爲形狀函數的 因爲那個曲線有好處在哪呢 自然地就滿足了位移變遷條件 同時自然地也就滿足了那個力的變遷條件 是不是 有多滿足 力的變遷條件肯定滿足 你比如說兩段角是那個 如果你中間加一個力 你兩端是不是角 角的彎矩是不是零 彎矩是零 那麼它的那個二階導數在那邊的值也是零 就是力的變遷條件就自然就滿足了 而你隨便給這個呢 我們只是從這個 是不是滿足位移的變遷條件來看的 但是能不能滿足力的變遷條件就不一定了 這是一個 就是你選擇更好的那個形狀函數 再一個就是你可以多取幾下 前面我們舉的例題都是把無限自由度劃成單自由度了 把無限自由度劃成單自由度來算的 那麼你當然也可以給它劃成多自由度 那麼還是這個問題 如果我們給它劃成多自由度 這就是兩個自由度 兩個形狀函數 1-cos2f×s 這個函數是滿足位移變遷條件的 這剛纔我們都已經知道了 那麼這一個函數 1-cos2f×s3x這個函數 也是滿足位移變遷條件的 就是這個函數和這個函數都是形狀函數 兩個不同的函數 滿足位移變遷條件的不同的兩個函數 那麼a1 a2就是廣義座標 兩個座標當然就兩個自由度 兩個自由度 就是我們設Y形狀函數是這樣一個表達 就把無限自由度劃成了兩個自由度的 然後接着我們來 後邊的做法都一樣了 後邊的做法全都一樣了 只不過計算會更復雜一些 因爲能 中間過程我們就不寫了 它們對這個Y的求二階導數 然後代進去做定義分 得的結果 那麼這個移變能力也是a1 a2的函數 廣義座標的函數 Y的式能 也跟剛纔算法一樣 算法都一樣 就這個函數不一樣是吧 就函數不一樣 算法都一樣 所有的式子都一樣 就是由於函數不一樣 最終得的最終的表達式不一樣 就是最終算出來的外力勢能 外力勢能當然也是a1 a2的函數 它倆相加 移變能外力勢能相加 這塊好像少寫了一個符號 加在一起 結構勢能表達式 就比剛纔取單自由度的時候要複雜多了 而且你就在得這個結果的時候 做這個定義分的時候 得到這個結果也不是很容易的 對不對 因爲你這個 拉伯特是這樣一個表達式 Y是求解導數是吧 這個函數是兩項 還要平方 所以說積分也要積出來很長一段 才能得到這個結果 下面就是 取住值 相當於是多元函數求積值 是不是 相當於多元函數求積值 EP是a1 a2的函數 多元函數 那麼求積值 EP對a1的偏導數應該等於零 對a2的偏導數也等於零 兩個偏導數等於零 然後 這是關於a1 a2的一個其次的先行方程組 這跟前面都一樣了 幾個先行方程組 那麼a1 a2有非能解的條件 應該是去除寒萊色 a1 a2不能同時爲零 如果要同時爲零的話 那個y就是零了 所以這個係數寒萊式應該等於零 把這個係數寒萊式展開 它倆相乘 解決它倆相乘 那會得到關於q的一個一元二次方程 然後有兩個根 取最小的 展開以後 關於q的一個一元二次方程 然後兩個根取最小的 得到7.838 7.838 經濟解呢是7.837 經濟解是7.837 是7.838 誤差呢在0.01% 很明確了是吧 一會兒很明確了 但是從這可以看出來 但是我們願意尋一下 變個單自由度了 你這個要是多自由度的話 計算就太麻煩了是吧 非常麻煩 那麼關於能量法我們就講這麼多 下面我們就講下一節 就是簡歷對臨界力的影響 我們這一節實際上是爲下一節做準備的 這一節是爲下一節在理論上提供一個底譜 爲下一節做準備的 下一節講組合壓桿的穩定 組合壓桿的臨界力怎麼算 我們看兩段角枝的這樣一個軸心受壓的展現 那麼我們要求在偏離了一開始軸心受壓狀態下 狀態的偏離了以後的能平衡的時候那個力 臨界力是吧 臨界阻載 那偏離了以後這個杆尖裏面是有彎矩圖的 有彎矩的 裏面是有彎矩的 那麼這個杆尖這個截面裏面有沒有簡歷 轉過來以後這裏面肯定有彎矩 彎了嘛裏面肯定有彎矩對不對 有彎矩 那麼這個截面裏面有沒有簡歷 有沒有簡歷 有啊 沒有啊 有沒有 有嗎 有是吧 有同學有 那你說有的話 那有的那邊你可能就不好說了是吧 可能解釋有也可能解釋沒有 那你就說你要說有的話 哪塊的簡歷大哪塊的簡歷小 你能要回答這個問題你就知道它確實有簡歷的 哪個地方的簡歷大 上面的簡歷大下面的簡歷大還是中間的截面的簡歷大 應該是兩邊的大 中間小 中間是多少 中間是沒有 對 就是簡歷那兩邊大中間小 那簡歷怎麼來的呢 你給它切開以後 這個截面上會暴露出來一個內力 一個主矩就是彎矩了 是吧 還有主使 就主使要平衡的話 列數量同種方程 你這個截面上暴露出來那個豎向力 一定也是等於這個P的對不對 是不是 就是我給它切開了 切開來取出一部分作爲格列體 列數量同種方程 你這個截面上暴露出來的那個豎向力 它既不是簡歷也不是軸歷 對不對 就是豎向力 是不是和那個P一樣 那麼你這個截面轉那個角度 對不對 那麼你這個力呢 要給它分解成兩個 一個是沿着杆軸方向的 一個是沿着這個杆軸垂直方向的 一個軸力 一個簡歷 那麼你這個地方那個轉角大 對不對 所以那個簡歷就大 那你這個地方沒有轉角 軸力主要就是軸力了 軸力就是P了 簡歷就等於0了 有簡歷的 那我們在前面求這個臨界力的時候 我們並沒有考慮簡歷造成的 沒有考慮簡歷變形 有簡歷是不是應該有簡歷變形 但我們前面講課的時候 就是我們沒有記住這個簡歷變形 那麼下面我們看 就是記住簡歷變形的話 裏邊有簡歷有簡歷變形 要考慮簡歷變形的話 這個簡歷變形對這個臨界力有什麼樣的影響 影響是大 影響還是小 我們要解決這樣一個問題 簡歷對臨界力的影響 實際上應該說是 既簡歷變形對臨界力的影響 我們把既簡歷變形的臨界和載算出來 然後和不既簡歷變形的比較一下 你就知道了 影響大還是影響小了 下面我們就求考慮簡歷變形的時候 這個臨界力數格 我們說 彎曲和簡歷變形產生的錨度分別是y1和y2 y1 y2 這兩個錨度是兩項 其中左邊這個曲線是由於感應彎曲造成的 感應彎曲 而後面這條曲線 是考慮簡歷變形以後 考慮簡歷變形以後 各個點的位移有所增加 y2是簡歷變形產生的錨度 前項y1是彎曲造成的 y2是由於簡歷變形造成的 兩者共同產生的錨度 當然就出來增加了 y等於y1加y2 彎曲變形和簡歷變形合在一起造成的某個點的水平位移 應該是y1加y2 下面我要求林涅科宰 從我們前面講的立體 我們盡力發掘 從前面講的立體和盡力發掘的思路是這樣 我們要建立平衡條件 要利用平衡條件來求 也就是在惡劣力要達到臨近力的時候 它可以在變形這個位置上處於平衡狀態 要用平衡條件 在發生了這個位移了以後 平衡的時候這個力是多大 這是盡力發掘 那你立的平衡方程裏面是包含了內力的 對吧 平衡方程裏面都包含了內力 包含了內力還有外力 內力就是彎矩 前面講的就是彎矩 外力就是那個p的 平衡方程當然就是外力和內力的關係了 然後我們帶入物理方程 就是曲率 變形和內力的關係 我們又得到了用這個Y表式的一個平衡方程 它是規律方程 解的規律方程 然後有費能解的條件 我們可以得到上面的力是多大 是同樣的思路 我們先找物理條件 這是勞動Y 那麼曲率呢 求二階導數 Y對X求二階導數 那麼這一項就是由於彎曲造成的曲率 是軸線的曲率 那麼這一項應該是由於簡介變形造成的軸線的曲率 那麼這一項 我們前面已經早就有了 這一項說有了吧 彎曲造成的曲率和什麼有關係 這是Y的二階導數當然是曲率了 乙的二階導數是曲率了 這個曲率是不是裏邊的彎矩大麴率就大 彎矩小曲率就小 是和彎矩有關係的 而且是線性關係 彎矩引起的曲率 就是這個截面裏邊的彎矩 除上1I乘以Y1乘以乙的二階導數 然後下面我們要來算這一塊 簡介變形造成的曲率 我們拿出一段來 dX是一段 這是截面上的簡歷 這兩個面水平有一個相對促動 軸線會有一個轉角 軸線有一個轉角 轉角是γ 那麼這個γ應該等於 這個轉角γ應該等於dy2除以dX dy2除以dX就等於γ 而這個γ我們知道它是和簡歷有關係的 切面 那麼截面上的切面是不均勻的 截面上的切面是不均勻的 其實截面上各個點的切面是不均勻的 簡陰力分佈也不均勻 在截面上分佈不均勻 所以截面上成了一個係數 我們算着平均的簡陰面 其中的CUT是叫截面形狀係數 這個在上一期就接觸過 儘管我們平時沒用它 但上一期我們講課的時候也提到了 就像矩形截面的時候是1.2 圓圓截面的時候是1.1 上一期我們求位移 我們沒考慮對象 但是我們在寫式子的時候只給它寫上它了 有印象嗎 就是我們位移的計算公式 因爲它有力量 有印象 對吧 有一個這個 我這個是簡歷上一期我們用的這個,這期我符號變了,改成這個了,後來沒再做 按現在規定,簡歷應該寫的是fq,或者是fs 核載的話應該用fp,我這裏邊核載只能用p,簡歷能用q 彎句沒什麼關係,彎句都是用m,我這一期講的都是沒按的規定來 前做過的沒有改,因爲改了有時候說話不是太方便 你要說那核載,我說fp就出倆字,我說p就完事了,要簡單一點 一在書上就無所謂了,多硬一個字,少硬一個字都沒關係 但說話的時候呢,簡短一點更好 如果腳標太多的話,就更麻煩了 fp比rp21的不好說了,p21不夠好 這是截面形狀係數 那麼這個q呢,簡歷應該等於dm比ds 這個也是在前面上一期都說過的,或者材料類學已經給出來了 根據微段的平衡,利用微段的平衡得到的簡歷和彎句的微同關係 根據微段的平衡方程得到的簡歷和彎句的微同關係 彎句對x的耶導數等於簡歷 我們把它代進來 這是耶導數 耶導數就是軸線的偏轉角 軸線的轉角 易解導數由於簡介變形造成的軸線的轉角 那麼你這裏邊是二解導數取率 所以對它還要對x再求解導數 實際上就是清角的變化率 再求解導數 前面這是常數 那麼這邊就變成了彎句對x二解導數了 然後把這一項和這一項 這兩項彎句引起的取率 簡介變形引起的取率 都帶到這裏面去 得到一個內力和變形取率的關係 把這個它倆帶進去 走到下面這個 那麼這個實際上相當於物理方程 這裏邊是內力彎句m和變形y 二解導數和取率 變形和內力的關係 你用這個能求出零解力嗎 用這個能不能求出零解力 那不行啊 你求零解力用什麼呀 要平衡 用平衡方程纔行 你列平衡方程 所以我前面推這個東西 只是推出來這麼一個物理方程 前面再一個平衡方程 尤其的平衡 我這隔離體沒有化 我們從這個地方 距離作業院兩x處給它切開 切開以後取隔離體 然後對你這個截面 把截面做基心 截面的情形做基心 列力矩平衡方程 因爲得到裏邊的彎句 應該等於p乘y 那麼在取整體的時候 我們知道這個地方的水平反力 應該等於零的 隨便取矩 力通過矩心 所以這個水平反力是零的 水平反力是零 是不是 水平反力是零 但是你這個截面裏邊 那個簡歷不是零 這個水平反力 可不是這裏邊的簡歷 隨便取矩 這個水平反力是零 然後再取隔離體 把距離作業院的x處切開 取上面這個隔離體 列力矩方程 得到這個平衡方程 彎句和外力p的關係 平衡方程 爲了要用這個 用這個方程 要把裏邊的彎句m要消掉 要把m消掉 把內力消掉 那麼這裏邊是 二階導數 所以我們把它 這有m的二階導數 m對x的二階導數 這還有m 所以我們把這個 這個式子兩端 對x的球二階導數 把它對x的球二階導數 然後把它倆 帶到這邊來 消掉m和m的二階導數 得到一個式子 那這個方程是什麼 實際上就是 既體現了平衡 也體現了內力和變形的關係 兩個綜合的 實際上從 我們從球體的意義來說的話 它應該是平衡的 平衡的含義 帶進去 把這兩個式子帶進去 得到下面這個式子 我們整理一下 把這項 給它移到等號的左邊來 把它也移到等號的左邊來 然後我們在 後面是不是大家應該比較熟了 到這兒來說就比較熟了 我們把這個式子兩端 同時除以這個 把它的係數變成1 同時除以這個 除以這個以後 把y前面這個設成n方 等號兩端同時除以 這個括號類這一項 除完了以後 P除完EI再除以這一項 令它等於n方 那麼這個微分方程 就變成這樣一個 一般的形式了 這個形式和 中文學自由振動普及阻尼的一樣的 和前面講的都是一樣的 寫出它的解 通解 你要其次方程 其次方程 通解有兩個基本常數 a b 然後引入變遷條件 y等於0的時候 x等於0的時候 y是0 x等於l的時候呢 y也是0 兩端的水平位移是0 是0的條件 代進去 a等於0 這項就沒有了 那麼b乘sinx 當第二個變遷條件代進去 第一個條件是由於 第一個條件得的 x等於0代進去 sin這項是0 那麼a乘1等於0 所以a一定是0 第一個條件會得到 這項是沒有的 這項變成了a乘上cos0 cos0是1 那麼a乘1等於0 a自然就是0了 以第一個條件得到a等於0 第二個條件 這項就沒有了 是吧 那麼也就是b乘上sinl 應該等於0 那麼如果要是b也是0 a b都是0 y就是x等於0 所以b不應該等於0 所以 sinl應該等於0 那麼就可以得到 nl等於π 二π三π 一系列有無窮多個 無窮多個 我們取最小的那個 nl等於π這個 從而得到n等於l分之π 那麼剛纔我們設的 n方等於這一項 那麼這個n已經有了 我把n代進去 我求這裏面的p 把n求出來了 把這裏面代求這裏面的p 整理了一下 我們把它 把這個n等於l分之π 代進來了 這邊應該是 l方π方 應該等於這邊這一項 然後 得到這個 就把這一項乘一下 兩邊乘一下 再展開 這有p 再展開 把p求出來 就是臨界核轉 這樣一個回答式 那麼看這個表 看上面這一項 這個是不是還有印象 這個應該是什麼 l方π方EI 應該是 足跡簡介變形式的 歐拉臨界力 兩段角之的 杆長是l EI的時候 歐拉臨界力 這個 我們用pk表示 pk呢 l方分之π方EI 就是足跡簡介變形式的 歐拉臨界力 足跡簡介變形式 歐拉臨界力 這個分之一 就是α α就是這個 我們把它 叫做修正係數 也就是說 以跡簡介變形 只需在足跡簡介變形 得到的臨界力上 再乘一個修正係數而已 再乘一個修正係數 那麼這是修正係數的表答式 那麼這一項 還是pk 那麼pk除以a pk除以a 應力 歐拉臨界應力 可以寫成這樣一個 表答式 下面我們討論 這個 影響多大 影響到底大不大 有跡簡介變形 足跡簡介變形 到底差多少 對剛纔 如果比例極限是200mPa的話 那麼我們取 這樣一些數值 前面假如是巨型的 我們可以 算得α 約等於 1.003分之一 約等於 就很小了 我們得的結論也就是說 對於實體感見 實體感見 考慮簡介變形 和不計簡介變形 算的結果相差無幾 但你計算的時候可以 不計簡介變形 我們休息一會兒 我們再給個講解