【電子科技大學】《電路分析基礎》—國家級精品課程 P24 - 29. 9-6.二階電路的時域分析

大家好,當電路中含有多個動態元件時,常用長係數的微分方程來描述。 當微分方程爲二階微分方程時,這樣的電路被稱爲二階電路。 以下介紹最基本的二階電路,RLC串聯電路。 該電路由一個電阻,一個電感和一個電容所組成。 注意到電路中沒有激勵信號,但是儲能元件、電容和電感具有初始的狀態UC0和IA20。 我們來分析在這種情況下,該二階電路的零輸入響應情況。 對於該電路,其電路方程如下。 這是一個以UC爲變量的其次二階微分方程。 由電路中電容和電感的初始儲能所決定。 接着對該微分方程進行求解。 首先寫出特徵根方程,得到特徵根的表達式。 注意到特徵根又被稱爲電路的固有頻率,僅由電路本身的元件參數所決定。 並且特徵根的形式決定了方程的解,即電路中的響應。 爲了方便比較,我們定義以下的參數。 衰減係數α等於R比上2L,斜整角頻率ω0等於√L1。 注意到衰減係數和斜整角頻率之間的大小比較,會決定特徵根的形式是實數還是輔數。 所以會有以下四種不同的情況。 當衰減係數大於斜整角頻率時,可以對應求出R大於2√α2, S1和S2爲不等實數,方程通解形式如下。 這是主要體現衰減過程的過阻力情況。 當衰減係數等於斜整角頻率時,R等於2√α2, S1和S2爲相等實數,方程通解形式如下。 這是一個臨界的情況。 因爲過了這個界限,衰減係數將小於斜整角頻率變成第三種情況。 此時R小於2√α2,S1和S2爲共額輔數,方程通解形式如下。 體現了相應在衰減的同時存在整當,且衰減斜整角頻率ωD等於ω0的平方減去α的平方再開根號。 這是欠阻力的情況。 當衰減係數等於0時,該情況可以認爲是欠阻力中的特殊情況, 即R2等於0,電路中沒有任何的衰解,僅存在整當的過程。 可見對於二階電路而言,會因電路中元件參數的不同,有以下四種情況。 分別是當電阻過大時的過阻力情況,電阻剛好時的臨界阻力情況, 電阻過小時的欠阻力情況,以及電阻爲0時的臨阻力情況。 以下對這四種情況分別做出電感電流和電容電壓的波形來進行比較。 爲了方便分析,電路中的電感爲1亨,輸出電流爲1安,電容爲1法拉,輸出電壓爲1伏, 僅通過改變電阻實現四種相應情況。 當電阻較大時,比如等於3歐姆,做出電路中的相應結果如圖所示, 藍色線爲電容電壓,紅色線爲電感電流。 可見當電感和電容上的儲能分別達到最大值以後,所有的儲能將全部供給電阻消耗。 減小電阻值到2歐姆,這是臨界阻力情況,是過阻力和欠阻力的分界。 繼續減小電阻到1歐姆,此時爲欠阻力的情況。 此時電路中的能量分爲兩個部分,一部分在電感和電容之間持續地存在能量交換, 另一部分持續地消耗在電阻上,可見IAR和UC的波序爲衰減整檔。 當電阻減小到0時,爲零阻力情況。 電路中沒有了能夠消耗能量的元件,能量僅僅在電感和電容之間交換、 儲存和釋放,形成等幅整檔,其整檔角頻率即協整角頻率,ω0。 以上介紹12節電路中最基本的IRC串聯電路中,僅由動態元件的初始儲能造成的零數響應情況。 而根據元件的參數值不同又分爲4種不同的情況。 希望各位同學不要把精力過多地放在如何去求解二階甚至於高階的微分方程中, 而是應該把目光着重到以上4種情況的比較之中。 比如,哪一種情況只有衰減呢? 哪一種情況是既有衰減也有整檔呢? 而哪一種情況只有整檔呢?