【清華大學】《機械原理》（國家級精品課）上 P34 - 36. 38-4-2第2節 凸輪廓線設計

那下面我們來看一下呢 禿輪擴線的設計 這個我們首先看看我們怎麼樣來設計啊 這個禿輪擴線 首先看這個禿輪 推動這個從動件做往復移動 我們來以這個這叫尖端從動件排行禿輪機構 我們來看看 我們怎麼樣用圖解法 在已知運動規律的情況下 從動件運動規律來把禿輪擴線找出來 那我現在來用圖解法來做來找這個禿輪擴線 現在禿輪在不停的轉呢 我怎麼弄啊 禿輪是以奧米格加一個逆時針的 這樣一個角速度來旋轉 我現在呢 想繪製禿輪的擴線 繪製禿輪的擴線 禿輪這麼轉我就不好定 能不能讓禿輪不轉呢 用相對運動原理能不能啊 想辦法讓禿輪不轉 同樣還能表達這個機構的相對特徵 相對運動特徵 我現在啊 這不禿輪以奧米格加逆時針轉嗎 我現在以禿輪的轉動中心 使整個系統 沿順時針 也就反着奧米格方向 以負奧米格方向 轉動整個都轉 就說我這個整個的座標全在轉了 以負奧米格方向來轉 那這個時候 是不是這個從動鍵轉起來了 對不對 從動鍵轉起來了 禿輪不轉了 就是我以這個負奧米格這樣的一個角速度 原來是奧米格 要是這個中心轉 我現在負奧米格來轉 那這個時候禿輪相對不轉 而這個從動鍵連移再轉 連移再轉 就是這樣的一個 我們看以負奧米格整個的以這個轉動中心來轉 那這樣的話 這個從動鍵 所走的這個軌跡就是這個禿輪輪廓 從動鍵尖端所走的軌跡禿輪輪廓 那這個方法呢 就叫反轉法 那我就是現在要把這個這個從動鍵的這個尖端部分把它走的軌跡找到不就完了嗎 用反轉法來做來做 那反轉後啊 這個從動鍵尖端的運動軌跡就是禿輪的闊線 那我們來做一道題來看一看 移動從動鍵盤形禿輪機構 首先看的尖端從動鍵 這個已知條件 我們先看看已知條件 已知這個禿輪的半徑 機緣半徑啊 禿輪的機緣半徑 這個綠色的這個這個部分啊 機緣半徑RB這個半徑 你知道啊 你可以把它做出來 又知道呢 S5曲線 S5曲線呢 就是從動鍵的運動規律 位移和禿輪轉角之間的曲線 禿輪是勻角速度運動 那相當於 5呢 相當於跟時間是一個比例 知道這個S和5之間的關係 這條曲線 我按一定的比例尺可以把它畫出來 從動鍵偏置於禿輪軸心的右側 從動鍵偏置於軸心的右側 有個偏距爲E 偏距爲E 就是偏在軸心的右側 那偏距爲E 我這個偏距圓 我可以得到 可以得到 這個禿輪以等角速度 Omega旋轉逆時針 這樣逆時針旋轉 我現在用圖解法來把它做出來 做出來呢 那我這一塊就應該用負每一個方向來轉這個機架 來轉這個這個重動鍵 轉重動鍵 我就看重動鍵的尖端所走的軌跡是什麼樣子 那個軌跡就是禿輪擴線 我們來來看一看怎麼做 有這麼幾個步驟 首先呢 我們有了這個題目以後呢 這個位移曲線 你先S' S'曲線先把它繪製出來 當然要給一定的比例尺 把這個位移線圖做出來 也就做這個線圖 然後呢 用同樣的比例尺 來把這個機圓 這個是機圓 也就是禿輪上的那個最小相徑 機圓 把它做出來 然後再把這個偏距圓做出來 偏距圓 以E 有了偏距圓和機圓 選擇一個初始點 初始點對偏距圓做切線 這樣的話呢 你就得到了這個初始的位置和它的導路 從中間的初始位置和導路 這樣就知道有了初始位置了以後 有了這個初始位置 就把偏距圓給它等分點 第二點就是把偏距圓得到了 就中間這個小圓等分點 等分點什麼呢 跟它等分起來 就是這個跟這個S'曲線分成若干個份額等分 然後把偏距圓分成若干個等分 沿着什麼方向呢 沿着這個負偶每個方向來分等分 然後在這個等分點上做偏距圓的切射線 這個點都是跟着一致的 在切射線 那這個切射線就是反轉法 就負偶每個轉動 這個從動鍵所在的位置 在那個點所在的位置 而那個位置點就對應着我現在 因爲按照這個等分是等分這個偏距圓的 那那個時刻就相當於跟它的等分是一致的 那這個時候我就在過等分點 各分點做偏距圓切射線以後 然後我就量取這個線段長 比如說第一個 這個初始點就這樣 就在零點 然後第二個位置 這個位置跟這個對應 我量取這個線段長到這 因爲這倆比例尺是一樣的 那就得到尖端的位置 第二個 我量取它的長度 到這個算第三個切射線 第三個切射線 從這個基緣往外量 基緣最低點在基緣這個地方 從基緣往外量 量取這個長度 就得到尖端的這個位置 以此類推 我們就可以得到 我先量 跟這個對應起來 一直給它量過來 一個一個的對應過來 這樣我們把它平滑的連接起來 這個尖端 把它繪製這個平滑的一個曲線 就得到凸輪的輪廓 非常簡單 那這樣就可以實現 這個給定的運動規律 這個這裏邊呢 大家這個就是注意的 就是用反轉法來設計 就是你每個轉動 比如逆時針 我反轉啊 整個的系統沿着逆時針 這種反轉法來設計這個凸輪機構 這是我們介紹的尖端重動件 尖端重動件的設計 那如果是滾指重動件怎麼辦呢 滾指重動件 滾指重動件這裏邊 我們可以把這個滾指中心轉動中心視爲尖端 這個轉動中心作爲一個尖端 把它所走的軌跡 給先求出來 尖端重動件的軌跡 這個我們已經學過 把它先求出來 那我再進一步的 再求得這個滾指 有滾指的它的實際的一個闊線 那麼尖端重動件 也就是說我滾指的中心相當於尖端重動件的 這種所走的運動軌跡 那麼它得到的闊線 我們稱之爲叫理論闊線 也用反轉法可以得到 就是滾指中心 會得到描繪出一條與凸輪實際闊線 法相等距的那樣一個闊線 那這個闊線呢 叫理論闊線 也就是凸輪的理論闊線 它實際的不是這樣 就滾指中心 這個中心它會走一個軌跡 它這個軌跡 是與實際的凸輪闊線法相等距 這個距離是多少嗎 大家知道嗎 法相等距 距離就是RR 就是這個滾指半徑 對吧 就是滾指半徑 那這個時候 這個我們這裏的奇緣半徑 奇緣半徑指的是理論闊線的奇緣半徑 在這裏面特別給大家強調一下 很多同學這個在這一塊 總搞成有問題 就是奇緣半徑 我們對滾指從中間盤形圖輪機構 它的奇緣半徑指的是理論闊線上的奇緣半徑 所以這裏面給大家反覆強調一下 那這樣的話 我這個滾指從中間 我把這個滾指的轉動中心作爲尖端 那就按尖端從中間 很容易找到這個滾指中心所走的軌跡 用反轉法 也就得到了理論闊線 跟尖端從中間一樣的去做 用負我們一個方向轉動 然後在偏距圓上等分點做切射線 切射線上兩曲線段 這個線段的跟這個S5曲線對應起來 那最後呢 就把理論闊線得到了 那理論闊線得到了以後 我在理論闊線上做一系列的滾指圓 在理論闊線上 爲什麼要做滾指圓呢 因爲在運行過程當中就是這麼運行的 在理論闊線走的軌跡嘛 那麼它肯定是這個滾指圓所在的位置 就是它運行的一個軌跡 對不對 另外呢 我們剛纔談到就是這個理論闊線和實際闊線法相等距 距離就是滾指半徑 那我現在做一系列的滾指圓 做它的內包絡 就得到它的實際闊線 做它內包絡 我們做一下內包絡 它的外包絡 那你要做這個槽圖輪 槽圖輪 你做內包絡外包絡就把這槽得到了 那做內包絡就得到圖輪的實際闊線 同時做外包絡 那槽圖輪你就得到了 那我們來看一下 那這樣呢 我把它內包絡做出來 內包絡做出來 這個圖輪這個輪廓實際闊線就得到了 這樣的話 滾指從中間盤形圖輪機構我就設計出來了 這裏邊呢 我再強調一遍呢 對於滾指從中間盤形圖輪機構 它的理論闊線 是這個滾指中心所走的軌跡 在設計過程當中 滾指中心走軌跡 我們指的機緣半徑 對於滾指從中間的機緣半徑 是指理論闊線上的最小相徑 而不是說是實際闊線上的最小相徑 不是的 是理論闊線的最小相徑 好 今天我們的課呢 就上到這 我們前面呢 介紹了滾指從中間盤形圖輪機構 它的圖輪闊線的設計 我們利用反轉法來設計圖輪闊線 首先我們把這個滾指的轉動中心作爲假定 視爲尖端 先求出圖輪的理論闊線 在理論闊線上面 我們畫一系列的滾指圓 然後做滾指圓的包羅線 做它內包羅 就是外凸的 就是一個實際的圖輪 如果內包羅和外包羅都做的話 我們就可以做槽圖輪 把槽圖輪的圖輪闊線給做出來 那麼下面我們來看一下平理從中間 我們用圖解法怎麼來設計它的圖輪闊線 平理從中間在運行過程中間 我們給圖示的是移動從中間 往後移動的 我可不可以參照前面的滾指從中間圖輪闊線的圖解法設計 來設計平理從中間圖輪闊線 我們可以把 我們看從中間是往後移動的 我們考察B點 平理從中間 平底和導路這一點B 相交的這一點 這一點我把它視爲尖端從中間的尖端 先來求它的理論闊線 也就是我們把B0點 就是平理從中間 B0點作爲假想的尖端從中間的尖端 先把它理論闊線求出來 這個我們都會了 利用反轉法 從初始點開始 對機緣進行等分點 等分點以後 用沿着轉動的反方向 也就是反轉法 ω轉動方向 我沿着負ω的方向來分圖輪機緣上的點 把它等分點按照什麼分 按照我們給的運動規律 也就是S'曲線 就是位移圖輪轉交曲線上的等分 按照它推成 比如說我們分多少等分 回程分多少等分 在這上我們按照這個來分 分完了以後 截取相應的線段 這個線段就等於S'曲線的對應的分點的長度來等分 這樣的話我就可以把這些點光滑地連接起來 連接起來 我在這些點上 連接起來就是一個理論擴線 圖輪的理論擴線 我現在要求它的實際擴線 在實際擴線 不同的 因爲我按等分點做出切射線 這些切射線從機緣往外兩取相應的線段 得到這個尖端的位置 這個尖端的位置 我就在這個位置上做一系列的平比 把平比都做出來 把平比做出來以後 我就做它的包絡線 在裏邊做它的包絡 這樣就用圖解法把平比從中間盤形圖輪機構的實際擴線就給設計出來了 我們看 按照這個我們就可以把平比從中間圖輪擴線設計出來 實際的 這個過程跟滾子從中間盤形圖輪機構圖輪擴線設計過程是一樣的 在這裏邊我們要注意兩個問題 一個問題就是我們看採用了平比 要保證從中間和圖輪擴線始終接觸 這個平比始終跟圖輪擴線接觸 這個圖輪擴線必須是外凸的 必須外凸 你要是內凹的話 我就接觸不上 圖輪擴線中間有一個凹槽 那我這個平比怎麼跟它接觸 接觸不上 有一部分運動規律實現不了 另外 我們考察平比從中間 它運行過程中間 在圖輪軸的左側和右側需要一定的寬度 對不對 如果你這個平比過窄 你過窄這個平比 圖輪和它有可能就接觸不上 有一部分接觸不上 就是不能保證它的運動規律 所以它左右兩側的寬度應分別大於導入中心線至左右最遠切點的距離 因爲平比和圖輪之間接觸就是最遠切點的距離 所以要保證這兩條 它才能正常的工作 這是我們採用圖解法來設計平比從中間盤形圖輪機構的圖輪的擴線 那上面我們介紹的都是移動從中間 下面我們來看擺動從中間盤形圖輪 它的輪廓怎麼來設計 這個採用圖解法 這個設計的方法跟移動從中間類似 只不過這裏邊我們首先畫原來叫S-phi曲線 位移和圖輪轉角的曲線 這個時候再畫的運動規律曲線 我們是擺角和圖輪轉角的曲線 因爲你擺動從中間 我們看動畫 它是實現擺動的 它從中間的位移是一個角位移 所以我在這裏邊來畫位移曲線 它的縱座標採用的是角度 是它的擺角 擺到多少角 這裏邊我在畫曲線的時候應該是一毫米 等於多少角度 要有這麼樣一個換算關係 把這個曲線做出來 再利用反轉法來量測 我最後要把位移 在圖解法給它位移的時候要乘以一個係數 就把它轉換成角度來進行繪製圖 這裏邊我們還是用反轉法 我們反轉法的出發點爲什麼要用反轉法 因爲我們要繪圖 繪圖要繪製圖輪的擴線 要使圖輪固定於紙面不動 我們看圖輪它在ω這樣的一個角速度來轉動 擺杆在擺動 我用反轉法 就是圖輪ω轉動於ω這個角速度 我就用負ω方向來轉 這樣轉的話 擺杆的轉動中心 我們這個圖標的是A點 它就轉起來了 圖輪不轉了 就是負ω整體系統都要着圖輪軸來轉 這樣的話 轉動中心 從動鍵的轉軸就轉起來了 我就可以畫一個轉軸圓 轉軸圓把它畫起來 在轉軸圓上按照Psi和Phi這個曲線 也就是運動規律這個線圖來等分它的點 等分點以後 首先我們繪製圖輪擴線的時候 先要繪製機圓半徑 這個跟這個機圓 這個跟我們滾指從動鍵 尖端從動鍵移動的情況是一樣的 先按照圖輪的半徑把機圓找出來 然後把它的轉軸圓 就是從動鍵的轉軸 轉動中心 這個給它找出來 然後剛纔我們介紹的按照這個線圖等分點 然後找到轉軸的一個初始位置 比如說O是圖輪的轉動中心 O到A0這個距離是給定的 也就是說是圖輪的轉動中心和從動鍵的轉動中心 也就是轉軸這個距離一般是給定的 機圓半徑是給定的 我就可以把這個A點我先定一個 定出來 尖端從動鍵 我們討論的是尖端擺動從動鍵的它的盤形圖輪的設計 它的長度也就是轉軸到尖端之間的距離 比如說長度是L 我這個A0點定了以後 我用原規畫一下就可以找到它的初始位置 逆時針按照富爾米格方向依次的往下找 找到初始位置以後 然後我按照擺動的角度給它移一個位置 就把它原來的初始 比如說原來在機圓上我把它擺動一個角度 我也可以比如說初始的它和軸線OA0 它有個夾角 我給它定義爲菩薩零 下面我都可以這樣來做 比如說在A1點了 到A1點轉軸 A10我給它加上一個菩薩零 加上這個線圖當中的菩薩一 給它擺動一個角度 然後按照它的長度可以給出它的B1點的位置 B1點就是在A1點和B1點這個位置 也就是說它擺杆在這個時候它的位置 這樣依次我都把這個位置找出來 然後就可以把這個凸輪給設計出來 擴線設計出來 也就是把這些點依次的光滑的連接起來 就得到了擺動從中間彈性凸輪機構 它的凸輪擴線 在這裏邊還要強調一點 大家想一想爲什麼這裏邊採用一個尖端 尖端從中間我們說能夠實現任意的複雜的運動規律 如果不是做成這種尖端的話 可能某些位置的時候 杆的尖端和凸輪接觸不上 因爲它曲率半徑是不一樣的 所以從中間爲了保證接觸的話 常常從中間做成一個彎杆的形狀 來保證和凸輪的一個接觸 這是擺動從中間 這是我們介紹的凸結法來繪製凸輪擴線 凸結法的精度大家想一想肯定不是很高 我們現在來設計凸輪 一般都採用解析法 也就是建立凸輪擴線的方程 因爲現在我們加工凸輪 一般用速控機牀 把凸輪擴線求出來以後 就可以把它輸入到計算機 直接用速控把凸輪擴線給你加工出來 下面我們來看一看解析法來設計凸輪擴線 這個更實用 凸結法我們爲什麼要給大家介紹呢 因爲凸結法的物理概念比較清楚 怎麼一個過程 解析法也是採用反轉法 你得讓凸輪不動 建立一個座標系 然後把它的凸輪擴線的方程給描述出來 我們要寫凸輪擴線方程 我們先以它的凸輪擴線爲例來談一談 我們圖示是這個滾子從中間盤形凸輪機構 剛纔採用繪圖法的一個繪製過程 形成過程是這樣的 我們在這裏邊給大家介紹了 凸輪擴線分爲理論擴線和實際擴線 對於滾子從中間 我問大家一下 我們說它的機緣半徑 指的是實際輪擴線上的最小向徑 還是理論擴線的最小向徑 也就是說滾子中心走過的軌跡是理論擴線 它的最小向徑 這裏邊我就要建立 首先要建立一個理論擴線的方程 滾子中心走的這樣一個距離 還要建立實際擴線的方程 最後得到實際擴線 理論擴線它的方程實際上就是尖端從中間的 採用尖端從中間就是滾子中心走的軌跡 我們把滾子中心視爲尖端從中間的尖端 來得到圖解法來進行繪製圖的 因此我們在這裏邊分兩個過程來做 我們已知它的積圓半徑偏矩義 就是偏質 有一個偏矩義 它的轉動角速度是ω 知道S'曲線 也就是運動規律 我們知道 現在讓你設計圖龍擴線 採用解析法我們怎麼設計 大家應該非常熟悉 基本的數學問題 我們建立一個座標系 以禿輪的轉動中心爲原心 建立原點 做一個S軸Y軸 這樣一個座標系 我們考察禿輪轉過一個脈角 也就是任意一個角度 任意一個角度 從中間的位移是S 這個時候這個點 我們利用反轉法 它在B點 比如說我們現在考察它的理論擴線 就是轉子中心 它的位置 它原來初始位置是在這個位置 這個位置 然後轉動一個脈角 也就是說它沿着負ω方向轉動一個脈角 到B點 B點的座標 也就是禿輪上這任意一點 這個座標怎麼去表達 這個比較簡單 我們來看一下它的位置 這個B點 B點這個位置我們看看它有什麼特點 這個是一個偏置式的從中間 這個導路有個偏置 偏置的距離是E 和軸心的距離 這一點是跟偏距圓 是過這條直線這個導路 過B點 是相切的 切點是K 從K到B 就是它的切點到B點的距離 我們用它是一個S和S0 S0就是它的初始的時候這個切點 第一個初始位置和偏距的切點到它轉動中心 輪子轉動中心的距離 這是S0 S就是上升的距離 它轉過φ以後 從動鍵上升的一個距離 用S來表示 這一塊KB 也就是BK 這一塊是S0加上S 這樣一個距離 這個我們看 K我們這個點中間這個點叫比如說是O OK KH OK 這個距離 這是半徑 就是說這個半徑是偏距E 有了這個以後 我們就可以列寫它的方程 比如說S S座標 S這個座標等於KN B點的S座標 等於KN加上HK 也就是說KH這個線段 KN是什麼 KN就是三角形 BNK中間的一個直角邊 這裏邊我們來看一下 這裏邊的角度 角度這個角 這個角 這是一個φ角 對吧 怎麼看出來 這個是垂線 垂直於X軸 就是BN 對不對 這個BN平行於初始的導路 初始導路 中間有這條第二個導路 也就是說通過B點的從中間的導路 那麼這個角 我們轉過的φ角 φ角跟這個是它兩個平行線 中間一條斜線 那麼這個角度KBN就等於φ 那也就是說這個KN就等於BK BK就等於S0加S乘上sinφ 那下面這一段KH KH就等於它的半徑是E 那麼組成KHO這樣一個三角形 比如原點叫O 這個三角形 那HK是它的一個直角邊 這裏邊就是E乘上cosφ 因爲這個φ角是圖輪轉過的一個角度 我們很容易得到這個是Ecosφ 同理我們這個Y也可以得到它的表達式 那這樣我就可以把這個B點的方程非常簡單的列寫出來 這個對大家來講是非常容易的 這裏邊的S0 S0是多少呢 S0我們看這個紅線 帶有紅線的這個直角三角形 那這個紅線的這個線段長度它是基於R半徑 基於R半徑就RB 這個直角三角形裏邊 這個邊跟X軸重合的這個邊 這個長度是這個偏矩圓的偏矩 那這個S0也就是它的一個直角邊 那個直角三角形中間 那麼S0的長度就等於其他兩邊平方之差 就是斜邊減去另外一個直角邊平方之差 那這樣的話我們得到就是S0等於RB的平方減去E的平方的開根號 這樣我們就可以得到 那如果這個沒有偏矩 沒有這個偏矩 偏矩是零 那我們可以簡化這個方程 把這個方程可以簡化 那這樣理論擴線非常容易的就可以得到了 那下面我們來求它的實際擴線 實際擴線怎麼求 我們來看一下 那實際擴線和理論擴線之間我們得到一個結論 它有什麼關係呢 就是圖倫的滾子從中間實際擴線和理論擴線 它們之間有什麼關係 法項等距 對吧 法項等距 這個法項等距的距離是多少 距離是多少 滾子半徑 滾子半徑RR這樣一個半徑 那法項等距 那我就給它做一個法線 在這個理論擴線這個B點來做一個法線 法項等距 那麼從這個B點往裏 在法線上往裏等距一個多少呢 法項等距減去一個RR 就是滾子半徑這樣一個距離就可以得到 那這樣就很容易了 我就可以得到 比如說我這個B點做一個理論擴線上的法線NN做出來了 那沿着B點向裏沿着這個線移動一個RR這個距離 也就是滾子半徑這個距離就得到B'這個點 那B'這個點它的座標用X'Y'來表示 那如果這個法線它的和X軸的交角是β角 甲角是β角 那我就可以得到這個B'的它的這個座標 那往裏就是B在裏邊這個內包絡的這個線 那就是X原來的這個B點的這個座標減去RR往裏來 RR稱之爲cosβ 因爲這個甲角是β角 這個可以畫一個小的三角形 往裏頭移動這麼一個小距離 也就RR稱之爲cosβ 那Y的座標也是一樣 它按照這個圖示的這個往下減一個距離 這個減的距離就是RR稱之爲sinβ 因爲這個角度是β角 那這個關鍵的問題就是β怎麼求了 如果β角都知道了 那我這個座標就得到了 就是B'的實際闊線的座標就可以得到 這個β角我們從高等數學知道 這個一條曲線任意一點 它的這個法線的這個斜率 法線它的這個β角就是彈性的β 等於負的在這一點的X座標 對Y座標的微分 就是dX對dY的微分 對負值加一個負號 那這是從數學上很容易得到這個結論 那這樣的話我們就把它的實際闊線就可以表示出來 另外如果我想做外包絡 向外包絡 內包絡這個B'點 往外包絡比如說B''這個點 那就是採用這個式子的加號 很容易推導出來 這個我就不說了 那麼這個就是我們採用解析法來描述移動魂子從動件彈性圖輪機構它的闊線方程 這個非常簡單 那在加工的時候 在加工的時候還有一個刀具運動的方程 那它的建立這個方程的時候 就是刀具 比如說我用豎控來加工一個小的圓形刀具 相當於一個滾子 那你就把它當做一個滾子從動件 看看設計豎控機牀它的豎控程序的時候 這個滾子刀具它是怎麼走的 怎麼走的一個過程 它是圓的 對吧 那它也相當於就把它視爲一個滾子 你要設計一個怎麼走 你比如線切割 線切割雖然我這個絲很細 比如說毫米級 這麼樣很細一個 那它也是有尺寸的 所以你在設計這個刀具走的軌跡的時候 也要考慮它的這個尺寸大小 也就是直徑 那也要採用上面這種描述方法 可以把這個刀具中心所走的軌跡給出來 因爲你給豎控的時候 你就豎控的程序 那你要考慮它的刀具的這個直徑 這個是我們採用解析法來建立它的方程 這個比較簡單 前面我們就介紹了採用反轉法來設計凸輪擴線 一種採用的是圖解法 圖解法我們比較清楚它的概念 怎麼比較清晰 在工程上現在我們基本上用的是解析法 解析法就是來建立凸輪擴線的方程 這裏邊給大家留幾個思考題 大家看這個思考題再進一步的去體會一下凸輪擴線的設計方法