這個倒三角 ∇，為甚麼總在數學和物理公式里出現？

微積分裏有個神祕的萬金油符號 麥克斯韋方程組有它 流體力學方程組裏有它 熱傳導波動方程 薛定諤方程 甚至大模型的梯度下降也有它 這個無處不在的倒三角符號 大名Nabla算子 小名Dell 也有人叫它哈米爾頓算子 不過大家更熟悉的可能是它的各種變體 直接作用在函數上就是梯度 和它點乘就成了散度 和它插乘就是懸度 它跟自己平方就是拉普拉斯算子 一個符號貫穿了大半個物理世界 大家好 歡迎來到《亮子維》 今天我們就來聊一聊 爲啥這個倒三角如此重要 Nabla乍一看 有點像倒着放的希臘字母Delta 其實它倆沒有半點關係 希臘語中Nabla是豎琴的意思 19世紀物理學家泰特 看到這個倒三角長得像豎琴 就給它起了這個名字 他的好朋友物理學家麥克斯韋看到後 專門寫了一首長詩獻給他 名字就叫做《致首席豎琴演奏家》 說明一下泰特不會彈豎琴 調侃歸調侃 在自己的學術著作裏 麥克斯韋不願意用Nabla這個詞 比如在1873年發行的《電子通論》中 麥克斯韋堅持把這個符號 稱作諧律Slope 沒錯 Nabla做的事情非常簡單 就是求諧律 對於一元函數來說 你只能沿着X軸走 每個點的諧律只有一個 但在二元函數里 你可以往任何方向走 每個方向的諧律都不一樣 原先的一維諧律已經不夠用了 你需要一種新工具 來描述曲面上任意方向的變化率 這個問題其實很好解決 想象一下 你在曲面上朝東北方向走了一步 這個方向上的位移可以拆成兩個分量 往東走一點加往北走一點 同樣的道理 任意方向上的變化率 其實也是X方向和Y方向變化率的組合 這兩個方向上的變化率怎麼求呢 一次只看一個方向就行了 固定Y只看X方向上函數的變化 就記作Z對X的偏導數 或者固定X觀察Y方向的變化 就記作Z對Y的偏導數 這就是求偏導 如果是更多變量的函數 那就得寫一長串的偏導 太不優雅了 爲了省事 數學家哈米爾頓選擇一鍵打包 所有方向上的偏導操作 幾年後泰特給它取了個新名字 納布拉 這也是爲什麼 麥克斯韋命名的斜率算子 沒能流傳下來 不過到這裏 納布拉也只是一個平平無奇的導數算子 翻開1873年的那本電磁通論 你會發現 麥克斯韋雖然引入了納布拉符號 但作用不大 實際計算還得展開成20個分量方程 直到幾年之後 現代向量分析的祖師爺吉布斯 才真正的爲這個倒三角注入了靈魂 憑着一種空間直覺 他發現納布拉的代數形式 實在太像一個向量了 他嘗試讓納布拉作爲向量參與代數運算 結果仍然成立 不管了 他乾脆就把納布拉視爲一個向量 只不過普通向量的分量是數值 而納布拉的分量是微分操作 好了 重新認識一下 站在你面前的是雙料選手 向量微分算子納布拉 因爲繼承了向量的特性 它能感知方向 又因爲保留了微分的能力 它能洞察變化 兩者合一 納布拉算子歸根結底 就是爲了回答一個問題而生的 場在空間中如何變化 但我們知道自然界中的變化紛繁複雜 納布拉爲啥能這麼萬能 同時解釋熱光電甚至air中的變化呢 答案是納布拉將五花八門的變化 分解成了三種最基本的形式 梯度 散度 懸度 讓我們從最直觀的梯度開始講起 你 海拉魯旅行家 今天搭咖海拉魯最高峯海布拉山脈 你想盡快爬到山頂 往哪個方向走最快 你別急 我們先隨便選個方向 試着走一步看看 你從點P走到了點Q 走過的距離爲S 爲了方便觀察 我們加個座標C 那麼點Q的座標就是它了 好了 有了兩個點的座標 我們就知道這個方向上的坡度了 如果你的每一步走的足夠小 趨近於0 就得到了這個函數的順時變化率 這個赤字就是方向導數 它測量的是任意方向的坡度 回到最初的那個問題 往哪個方向走最快 說白了就是找最陡的坡度 也就是求方向導數的最大值 我們把它展開並簡化 它就成了這樣 它可以寫成點擊的形式 關鍵的來了 表面上看這一部分 像是在求函數fxy的偏導數 但前面我們說過 nabla是一個向量微分算子 它分別測量了X方向和Y方向的坡度 然後合成了一個新的向量 這個向量就是大名鼎鼎的T度 而任意方向上的坡度 其實就是T度與方向向量的點擊 好了 現在只要有初衷知識 你就能順利找到最快的上坡路徑了 根據向量點擊的幾何定義 方向導數也能寫成這個形式 因爲優勢單位向量摩長是1 可以直接省略 這個時候我們就發現 當cosα等於1時 方向導數最大 此時兩個向量的夾角是0 也就是說 順着T度的方向走 爬升最快 反過來 如果你想用盾迅速滑下雪山 最快的路線 還是沿着與T度相反的方向走 這就是T度下降 我們現在常聽到的機器學習裏的T度下降 本質上是一回事 只不過林克腳下的雪山 變成了損失函數 它刻畫的是模型預測與真實答案之間的誤差 模型的訓練過程 其實就是沿着T度反方向下坡 不斷的更新參數 直到逼近損失函數的最小值 那就是模型學到的最優狀態 物理世界的運行 也遵循同樣的底層規律 所有像山坡一樣有高低起伏的場 比如重力場 電場 彈簧勢能場 它們各有各的勢能函數 但都符合這個數學關係 力F等於勢能U的負T度 它意味着力總是指向勢能降低最快的方向 總之T度讓我們看到了勢的變化 然而自然界的變化不只有高低起伏 還包括流動 旋轉 這個時候納布拉還能做些什麼呢 在大氣中空氣流動形成巨大的渦旋 僅憑外觀我們是判斷不出來 它是散開的還是浮合的 我們不妨把鏡頭拉近一點 在渦旋上我們隨即圈出一個立方體的小窗口 先看這個方向的氣流 空氣分子左邊進右邊出 大家可以想象一下 如果進出的速度一致 那小窗口裏的空氣密度就不會發生變化 但如果從左到右空氣的流動速度越來越慢 就會有更多的空氣分子被堵在窗口裏 反之窗口裏的分子就會越來越稀少 換句話說 我們只要知道了速度在空間中的變化 就能判斷空氣密度的變化趨勢 在數學上這其實就是求空氣分子所在的速度場F 在X方向上的偏導數 這個小窗口還有上下前後四扇門 把它們的偏導數都加起來 就是小窗口內空氣整體的淨變化量了 讓我們換個寫法 把Nabla放進去 哎 又是熟悉的模樣 但現在它有了一個新名字 散度 它的含義非常直觀 就是用來判斷流體是在膨脹還是在收縮 散度小於零時 空氣在向中心匯聚 小窗口我們叫它匯 散度大於零時 空氣在向四周擴散 這個小窗口我們叫它圓 散度告訴我們的第一個信息就是 你是在匯還是在圓 回過頭來看Maxwell方程 我們就發現很好理解了 高斯磁定律 這不就是說磁場的散度永遠是零嗎 換句話說 磁場是個無源場 沒有單獨的磁極存在 生活大爆炸裏 謝爾多一度以爲自己證明了磁單極子的存在 不過後來發現一切都是個烏龍 電場就不一樣了 散度不等於零 指的就是電場線的圓域匯 正電荷處電場線向外發散 也就是散度大於零 負電荷處電場線向內收斂 也就是散度小於零 當電荷越多 電場線就越發散 也就是說 電場線的發散程度跟該點的電荷密度成正比 於是Maxwell得到了高斯定律 除此之外 散度還有一個隱藏的信息 散度衡量的是某一處流動的靜止 但我們知道沒有任何一種物質 能量 憑空出現 憑空消失 它們只是流入流出再平衡 對於量守恆來說 某處的密度變化率 加上從這裏的淨流出率 也就是散度等於零 換成數學公式 也就是這樣寫 這就是連續性方程 所有符合守恆定律的自然現象 也都符合這個方程 只不過不同場景下 向量F代表的流動不一樣 這也是爲什麼流體力學 電磁學 熱傳導方程都有納布拉 在三維空間中 向量的基本運算無非就是點程和差程 納布拉和矢量長的點程 給了我們散度 那麼差程會得到什麼呢 答案就藏在你的右手裏 伸出右手 食指指向一個方向 中指指向另一個方向 大拇指所指的方向 就是差程產生的新向量 這個新向量垂直於 向量A和向量B所在的平面 舉個具體的例子 向量A是從門軸到你推門位置的矢量 向量B是推門的力 兩者差程形成的新向量就是力矩 它決定了門的轉動 而納布拉和向量長的差程本質上一樣 都遵循右手定則 唯一不同的是 它揭示的是整個向量場中 某一點在空間中的打旋的方向與強度 所以納布拉差程向量場就叫旋度 現在我們知道了旋度的物理意義 大概就能猜到它會用在哪了 只要場出現了打轉 旋度就會出現在方程裏 在電磁感應定律裏 它表示電場的旋度 安培定律裏 它表示磁場的旋度 在流體力學裏 它測量的是渦量 還有氣象裏的颱風 龍捲風等各種氣旋 都是旋度不爲零的典型例子 總之萬變不離其宗 現在我們回過頭來看梯度 當計算勢能場上某一點出的梯度 我們得到的唯一信息是 往這個方向走最陡 但是僅靠這個方向 我們無法判斷這裏的勢能面 到底是凹的還是凸的 比如說這兩個完全不同的勢能場 在對應位置處的梯度 看起來就差不多 那麼我們怎麼判斷 它整體是凹的還是凸的呢 我們需要繼續觀察梯度場的變化 我們把梯度作爲一個整體 求其散度 調整一下格式 梯度的散度聽起來有點拗口 法國數學家拉普拉斯 在研究引力事實 曾大量的使用它 後人爲了紀念它 就乾脆把這個符號命名爲拉普拉斯算子 拉普拉斯算子的大魚鱗就是局部凹陷 小魚鱗就是局部凸起 爲啥要知道是凹的還是凸的呢 在自然界裏 一切能量都喜歡往低處走 熱從高溫流向低溫 電勢從高電位流向低電位 水從山頂流向山谷 凹的地方能量自然會匯聚 凸的地方能量會流出 系統會不斷的擴散均勻 這也是爲什麼 描述擴散的熱傳導方程 描述振動的波動方程 描述電場的波松方程 裏頭都有拉普拉斯算子 它們都在回答一個事情 能量是如何流動的 又是如何區域平衡的 到這兒 開頭的問題其實已經有了答案 納布拉是一個描述變化的工具 梯度描述的是變化的強度 散度描述的是變化的匯聚 懸度描述的是變化的旋轉 拉普拉斯算子描述的是變化的變化 而自然界所有的變化 都遵循着一致的客觀規律 連續可微並受守恆支配 而納布拉只是這種客觀規律的數學語言 如果沒有它 大家想想看吧 今天我們的物理課程上的 Maxwell方程組就得足足有20個了 好了 以下就是本期視頻的全部內容了 如果你有所收穫的話 請給我們評論 點贊 轉發 我們下期再見 拜拜