三年級提分好課《瘋狂數學》 寒暑假預複習思維訓練 P9 - 3-5 圖形個數

哈嘍各位同學 歡迎大家來到方老師的瘋狂數學課堂 今天的話呢我們來啊學一學啊圖形的個數 我們如何來數這個圖形的個數呢 小朋友們啊 你們想不想學這個數圖形的方法呢 如果說我們要記住兩個關鍵點 第一個是我們要不重複並且呢也不遺漏的 去數出比如說像線段啊像角像三角形 那這個時候呢我們就必須要怎麼樣呢 有次序的有條理的去數 並且呢從這個裏面的話呢去發現規律啊 而且的話呢 讓我們去得到這個正確的這樣的一個結果 啊正確結果 那這個的話呢就數圖形的一個問題了啊 那數圖形的方法的話呢 對吧我們的要求是不重複然後也不遺漏 那麼今天的話呢我們來學一下啊 有哪些方法來學這個數圖形呢 我們要想正確的去數出圖形的個數 關鍵是要從這個基本的圖形入手啊 要正確數出圖形的個數的話呢 關鍵要從基本的圖形去入手 首先要弄清楚 圖形當中他包含的基本圖形呢 是什麼啊基本圖形什麼然後呢有多少個 對吧所以說我們首先第一步啊 要抓住這個基本圖形 然後呢其次呢 我們再數出由基本圖形 他組合而成的新的圖形啊 由基本圖形組成的新的圖形 然後呢最後呢我們求出他們的和 那這道題的話呢 就是咱們今天 本節課一個主要的內容了 好不好先所以的話呢咱們第一個啊 第一個我們先啊 就說求出他的一個基本的圖形 對吧 啊是什麼 這是第一個啊 第二個的話呢 那這些基本的圖形的話呢 咱們能組合吧 是不是能組合啊 組合成 什麼呢組合成咱們說的啊 這個新的這個這個圖形啊 然後呢把它們全部相加 就會等於我們最後的這個圖形的總數了 啊所以說在咱們這個圖圖形啊 來我們看一下比如說啊 來我們看這個題 數一數呢下圖當中有幾條線段 啊這數線段的話呢 是不是很簡單呢 這個數線段很好數對吧 有幾條呢大家可以回答一下老師啊 咱們有幾條呢 我們發現這裏面的話呢應該幾條線段呢 應該是有這個六條線段對吧 六條線段怎麼數的呢 來注意了啊 首先我們先來確定一下 他的基本圖形是什麼 啊首先我們先來確定一下 他的這個基本的圖形 啊那基本圖形的話那是啥呢 這基本圖形的話呢我們說嗯 是這樣的啊就是一條小線段比如說 這個ab 中間沒有沒有點的啊 就小心這個基本圖形 那這個基本圖形的話呢 我們看有幾個呢 有一個兩個三個對吧 這是咱們第一種情況的一個基本圖形啊 基本圖形對吧 那通過這個基本圖形的話呢 咱們能不能進行組合呢 對吧組合成 啊不一樣圖形可以嗎 可以的啊我們來看怎麼去組合呢 第二個號我們來看一下就說 嗯組合成了這樣一個圖形 就說兩條基本線段組成的一個圖形 我們看有幾條 比如說這裏一個點 然後中間的話呢還有一個點 然後呢 c 對不對 這是我們說有兩條線段 組成的一個基本圖形 相較的話你看 比如說 ac 他是兩條線段組成的基本圖形 那 bd 也是兩條線段組成基本圖形 所以的話呢 相較的話呢咱們是有兩條的啊 基本圖形的話呢是有三條 對吧好 那第三個的話呢怎麼樣呢 第三個就是我們是啊由三條 這個基本線段組成圖形 啊 三個基本線段組成圖形就是你看 比如說是 a 這 d 然後呢這 b 然後呢 c 你看是不是隻有一條了呢 只有一條了 所以就是咱們啊 對這個題目的話呢是怎麼樣的嗯 先看他的基本圖形有幾條 基本圖形呢是有三條 然後呢你再看兩個基本圖形 這個第二種情況 其實是兩個基本圖形組成的一個圖形 對啊兩個基本圖形 對嗎兩個基本圖形啊 組成了一個圖形 那這個的話呢咱們就是啊 三個基本圖形了 對嗎啊 三個基本圖形組成了一個圖形了 對嗎所以你看啊是這樣的 來我們繼續來看第二個題 來看這題 他說數出下圖當中有多少條線段 我們要學會呢就總結規律啊 要學個總結規律 首先我們來看一下啊 他這的話呢基本圖形的話呢是什麼呢 是有幾條呢 我們來看基本圖形是什麼樣的呢 請注意他的基本圖形的話呢是怎麼樣的 對吧 他的基本圖形的話呢 是一條這樣的一個小線段啊 或者說他只有兩個端點的一個小線段 對吧這是基本圖形 這樣的線段有幾條呢 來數數看1 啊 ab 是一條 bc 是兩條 cd 是三條 第一的話呢是四條 所以像這樣的基本圖形呢 現在我們是有四條 啊是有四條 他是有四條 ok 基本圖形 好那麼第二個 咱們有兩個基本圖形組成的一個圖形 是吧我們寫一下啊 兩個基本圖形組成圖形 是怎麼樣的呢 比如說我們說 ab ac ac 是不是兩個基本圖形 來我們來數數看列舉法 ac 一條 bd 兩條 cd c1 三條 所以兩個基本圖形的話呢就是三條 對吧好那第三個 那三個基本圖形呢 三個基本圖形的話呢 是不是就三條小線段組成了一個長線段 來看一下 1 啊所以是兩條 好那麼我們來看第四種情況 第四種情況呢就是四個線段的話呢對吧 四個小線段基本線段組成那個圖形 那就是 ab ab b c c d d 就是這個嗎 整個這個長度就是一條 那這樣子的話呢把它相加就是 4加3 加2加1 4加3加2加1等於幾條呢 就等於十條 啊就等於十條 也就是咱們這道題的話呢有十條這個線段 哎那你發現規律了嗎 你看基本圖形我們是四條的情況下 我們是4加3加2加1 總圖形啊總總總的這個條數 基本圖形如果是三條的情況下我們就是 3加2加1 對不對 所以你發現規律了嗎 我們只需要看基本圖形有幾個 然後呢啊然後就加到1就可以了 比如說有五個 有五個基本圖形 我們就5加4加3加2加1 ok 我們來看這裏啊 那接下來我們剛剛講完了這個 啊數這個啊線段 那接下來的話呢我們來講講這個數角問題 也就是說數一數這個圖中呢 咱們呢有多少個 角有多少個角 那怎麼數呢 有幾個角我們來看一下啊 首先就看一下基本的圖形 有幾個 對吧 你就直接去看他的 啊基本圖形有多少個就可以了 有幾個呢來 1 2 3 所以他的基本圖形的話呢是有三個的啊 就三個這樣的一個角 對吧好 那這個第二步的話呢 我們是不是可以直接通過這個 找規律的方式 來做了呢對不對 咱們最後等於幾呢我們來猜測一下 如果基本圖形我們確定是三個的話 我們就3 加2加1等於啊 6個角 對吧 點6個角啊 爲什麼可以直接點6個角 比如說我們來用我們剛剛的思路啊 基本圖形三個 那如果說兩個基本圖形組成一個大的角呢 是吧啊 兩個基本圖形 組成一個大的角來看一下啊 1 啊對不對 那不就兩個嗎 第三個情況就是 三個基本圖形 對吧 三個基本圖形組成一個大的角 那不就幾個呢不就一個嗎 對吧那哪一個呢你看就這個對不對 那123三個基本圖形就一個大角 所以就一個那最後答案不就是 3加2再加1等於6個角嗎 對不對很簡單啊 好我們來看這個題 這題的話呢有幾個角很簡單吧 123 三個角 好來我們繼續來看到立題三啊立題三 立題三說呢 就是我們去數這個下圖當中啊 有多少個三角形 對吧那就是說這道題的話呢 我們去數這個三角形的這樣一個 一個個數了 那麼我們來看一下 這裏面的話呢他是有 幾個基本圖形 或者說幾個基本的三角形 所組成的呢 對不對所以第一步啊 我們來看一下 他的基本的圖形我們是知道的對吧 啊基本圖形的話呢 咱們能不能啊確定呢 我們其實可以確定啊 他基本圖形是怎麼樣的呢 他基本圖形就是比如說 咱們說的這個pab 對吧那pab不就是他的一個基本圖形嗎 對吧那pcd 那不就是他也不也就他一個基本圖形嗎 那包括中間的pbc 是吧所以呢這些都是他的這個啊 這個基本的圖形 那麼我們來看一下這個 題當中在基本圖形有幾個 1 2 3 他基本圖形有三個 所以按照咱們說的規律啊 按照咱們說的規律 基本圖形有三個的情況下各位寶貝想一想 咱們總的這個 有多少三角形 我們不用一個一個去組合了 當然我們我們過程的話呢 還是我給大家去講啊 但是我們現在的話呢不用一個一個去組合 我們來看 用咱們找出的這個規律來做一做 應該是怎麼做的呢 是不是啊基本圖形三個的情況下 咱們是不是就是 3 加2加1了呢 對不對就等於直接是六個三角形了呢 所以說基本圖形有這個 呃三個的情況下3加2加1 爲什麼可以直接直接這樣做呢 我們來看啊 第二個題就是兩個基本圖形 組合成了一個圖形 就說兩個三角形組合的一個圖形 那有幾個呢來 一個 兩個對不對 所以說兩個基本圖形組合成了一個三角形 那就是兩個 再看第三種情況 第三種情況就是 我們三個基本圖形組合成圖形對不對 就是三個基本圖形 對吧三個基本圖形組合一個圖形 那不就幾個呢 那不就一個嗎 就直接一個了啊 所以說你看最後的答案就是3加2加1 3加2加1明白了嗎 所以說咱們的找出規律了 就是你只要知道基本圖形多少個 就可以做了啊 來看這個題 看這個題 他說數數圖中共有多少個三角形 我們就先確定基本圖形的個數 來第一步 基本圖形有幾個 有幾個呢來看一下啊 什麼圖形叫基本圖形 比如說這個題當中 ABC他就是個基本圖形 AEF他也是個基本圖形 ACD也是一個 ADE也是一個 所以說像這樣的三角形 咱們把它叫基本圖形 那這裏的話呢 咱們發現它是有四個基本圖形 啊有四個基本圖形對吧 1234 四個三角形四個基本的三角形 ok 好 那既然我們確定有四個基本圖形三角形 那麼我們總的個數呢 總共有多少個三角形 是不是就直接出來了呢 總共的數量不就是4加3 加2加1了嗎 這是我們找數的規律啊 那直接會等於10個 對吧當然如果說你看 兩個基本圖形構成的 我們一個一個去數也可以啊 兩個三角形構成一個大三角形那就是 12 3對吧 你看依次遞減 如果是 三個 基本東西構成一個大三角形呢 你是你看 那不是一樣的嗎你看 12 對不對所以呢就兩個唄 那 那四個 啊四個三角形構成一個圖形 那就是什麼呢它就是 1234 那就一個唄 所以說給它上加就可以了啊 大家明白嗎 所以咱們這個題的方法就是這樣子的啊 先確定基本圖形 啊然後對吧一種是找規律的方法 然後另外一種是列舉法 這是我們其實找出來的規律啊 找出的規律對吧 如果說你知道基本圖形的個數的話 我們就可以啊 從這個數往後面一直加加到1 那這個的話呢是咱們的列舉的方式 每一舉法嘛對不對 一個一個去找啊 好我們就來看 來看這個題 剛剛我們如果說那個 三角形的話呢 咱們中間不加一條線段的話呢 我們是十個三角形 對不對中間不加一條線段的話 咱們是十個三角形 那中間加了一條線段的話呢 我們看一下這裏面 啊會變幾個三角形呢 對不對啊 其實你加了一條線段的話相當於怎麼樣 相當於就是咱們多增加了一層 多增加了一層你比如說我們 啊我給大家畫一畫啊 咱們原來是這樣的一個三角形 對嗎然後就是 a b f 對吧 a c a d a e 對吧 c d e 好你看原來是這樣的一個 一個三角形 那這樣一個三角形的話呢 咱們包含了幾個三角形 咱們是不是就十個三角形 我們剛剛其實已經求過了對吧 十個三角形 現在的話呢 問題是我現在給他加了一條線段 那加了一條線段之後把它分成了幾層呢 分成兩層上面一層和下面一層 下面一層的話呢是一個什麼呢 是不是一個三角形 只有上面這一層是一個三角形 所以上面這層的這個三角形的數量是幾個呢 其實上面這個圖形的話呢 跟下面圖形的基本圖形的話呢 是一模一樣的 你看是不是1234 所以上面的話呢他構成了兩層 上面那一層的話呢 他基本圖形的數量也是四個 也是四個 總共大的這個三角形的話呢 基本圖形也是四個 所以分成兩層來算 每一層 每一層都是幾個呢都是十個 至於他下面的就是說這一部分的話呢 他就不是三角形了 也就是說 中間加了一條線段 我們三角形的數量擴大幾倍呢 嗯中間加了一條線段之後 咱們三角形的數量擴大了兩倍 因爲對吧 咱們的話呢這道題就是這樣子的啊 因爲他上面這一層的話 他的基本圖形的三角形的個數呢 也是四個 也是四個所以其實很簡單怎麼做呢 就是4加3 加2加1會等於10個 10個三角形再乘2等於20個三角形 啊等於20個三角形 好我們繼續看啊 來往下來 嗯咱們算算看啊 這個圖中有多少個三角形長方形 數長方形的個數的話呢其實呢 啊會稍微的比較的這個難一點啊 咱們一起來看一下 有多少個長方形 對不對來我們數數看啊 首先從基本圖形入手啊 第一個我們看一下 就是基本圖形的話是怎麼樣的呢 基本圖形有幾個呢 對吧 啊那基本圖形的話就是 123456 那基本圖形的話呢不就6個嗎 就6個長方形嗎對不對 基本圖形不就6個長方形嗎 嗯就是就123456 就這6個長方形是基本圖形啊 好這是第一個 那如果呢 我兩個基本圖形構成了一個大的長方形呢 對不對兩個這樣的一個基本圖形啊 構成了一個這個大的長方形 那有幾個呢 我們可以來畫一畫啊 來首先是橫着來畫 然後呢豎着畫比如橫着畫的話呢 這裏有一個對吧 兩個長方形構成了一個大長方形有一個 兩個 三個 四個 對吧四個你看 是不是四個呢對吧 好 然後呢還有沒有呢還有的啊 咱們豎着來對吧豎着來啊 那 一個 兩個 三個 對不對哎 咱們橫着看的話有四個 豎着來呢有三個 所以呢就是 相當於是4加3嘛 那4加3不就是7個嗎 對不對7個嘛 好就是我們說 兩個基本圖形構成長方形的時候 那第三個 我們來看三個基本圖形 對吧三個基本圖形啊 構成了長方形的時候是是怎麼樣的呢 來我們看看啊 好應該是你看 一個 對嗎然後呢兩個 對不對兩個哈 所以三個基本圖形 就三個長方形構成大長方形的時候 咱們有幾個呢有兩個 然後呢看一下四個啊 四個長方形構成的話呢是幾個呢 啊 就四個基本的這個長方形構成了 這個長方形的話呢 咱們有幾個來看一下啊 他應該是什麼樣的一個形狀呢 啊我把這個形狀給他畫一下啊 這形狀應該是這樣子的 因爲他不能橫着橫着不夠 所以只能是上下左右啊 然後看一下有幾個啊一個 對吧 兩個 對不對所以說 那如果說是四個長方形構成一個 大長方形的時候 他幾個呢他是兩個 對吧然後呢我們再看一下啊 這五個長方形 五個長方形構成的 這個大長方形的話有幾個呢我看一下啊 五個 對吧那麼看一下啊 那你看那咱們看有沒有呢 就是你看不可能啊 這三個 然後呢四五對吧 那你看他不是一個長方形 所以五個的話呢咱們是沒有的啊 五個長方形構成一個大長方形 那時候是沒有的 對吧應該是沒有的啊 好應該是幾個呢我們說是六個啊 對吧那六個長方形構成一個大長方形 你看就可以了你看 對吧 啊你看是這樣的嗎對不對六個 所以六個的話呢就 一個了嗎對不對一個了嗎 好接下來我們把所有的給他相加就可以了 把所有的話呢給他相加就行了啊 那怎麼加呢就是 6加上7 啊然後呢加上2 再加上2 然後再加上1 對對把所有的這些 長方形的數量的給他全部相加就行了啊 那相加起來之後等於幾呢 啊相加起來之後等於6加起來13 13加2的話呢等於 15加2等於17 17加1等於18 所以的話呢最後呢是有18個 那這樣子的方式呢 咱們就是按照有次序的 有條理的啊 按照基本圖形的這個方式呢 咱們啊一個一個的給他做下了 大家明白了嗎啊就這樣做的啊 好來我們就來看 來看這個題 這個題的話呢也是一樣啊 數數下圖當中有多少個長方形 我們首先第一個來看有多少個這個 基礎的圖形 或者說叫基本圖形對吧 對有多少基本圖形嗯 來我們看一下啊 有多少基本圖形呢 對吧那你數數看 那1234 對5678對吧 90 1112 所以說基本圖形的話幾個呢就12個唄 對吧啊12個對嗎 嗯所以說咱們這個基本圖形的話呢 就12個 12個基本的這個啊這個長方形了啊 就12個好那第二個 我們來看啊這裏面的話呢 其他的因爲他的比較大啊 所以說他的這個組合的情況呢也比較多 如果是兩個基本圖形組合的呢 那麼就有兩種第一種是橫着 我們來看幾個啊 橫着來看幾個 1 對吧 2 3所以說 那就說一行的話呢 咱們就是有三個這樣的一個 對吧三個這樣的一個長方形啊三個 那123有三行一行三個 所以3乘3等於9 那這樣的一個這個就是9個啊 3乘3等於9 那麼我們來看一下就是說豎着呢 對吧看看這種這種的話呢 看有幾個呢對吧 好吧那我們就看一看一豎啊 那一個 啊兩個對吧 所以的話呢那豎着的話呢有兩個呢 兩個兩個兩個兩個那四個兩個就八個唄 所以這樣的話呢咱們有八個啊 9個8個那9加8等於17 所以說所以說了他就17個 好吧這兩個 啊長方形構成一個大長方形 我們再來看三個的情況啊 再來看三個的情況 那三個基本圖形的話呢 咱們怎麼樣去啊那個呢你看 三個基本長方形你看 一個 啊兩個對吧 兩個哈所以說你看一行是兩個 一行是兩個 那三行一二三二三得六唄 對吧所以說三個長方形的話呢 咱們是這個橫着我們開始有這個六個 對吧那豎着看呢 1 2 3 4 對不對啊4啊 所以豎着的話有4個橫着有幾個呢 橫着的話呢我們發現他其實是有6個的啊 是不是6個 1啊對不對啊 啊所以6加4等於10 啊三個的話呢有10個 然後我們再看4個啊 4個基本圖形的話呢 來加一加會有幾個呢 有可能是這種啊 你看這是不是四個基本長方形 四個基本長方形那一二三 構成了三個 對吧 好那就三個 再加 比如說你看這樣的 對不對一個 兩個 三個 啊然後4個 5個 6個 是不是6個啊所以3加6等於9個 等於9個啊 然後我們再看5個5個的話肯定不行 那5個長方形構成了肯定不行啊 5個長方形不行對吧 那麼我們就看看6個行不行 對吧啊 66個的情況 啊6個的情況 那6個的情況有可能什麼情況呢你看 啊咱們有可能是橫的有可能豎的啊 橫着的話看幾個 一個 兩個 三個 4個對吧 這是橫着4個啊 橫着有4個然後看豎着 豎着就是一個 兩個 三個對吧 豎着有三個啊 所以的話你就是 啊4加3 等於7個 啊這是6個的情況有7個啊 有7個 然後我們再看一下這個7個情況 7個情況不可能對吧 啊7個的情況都不可能的啊 所以我們來看一下7個情況不可能 我們看一下有8個的話可不可以 8個來看一下啊 那就是 一個 對吧 然後呢兩個啊 所以那8的話是兩個啊 那9個的話呢可不可以 9個的話肯定可以 9個的話呢相當於是九宮格嗎 9個 9個基本圖形的話呢他就是九宮格了啊 九宮格的話你看看啊九宮格 那麼就是一個 兩個 所以9個九宮格就兩個啊 是吧 然後呢那10個的話呢10個肯定不行 10個不行11個也不行那就12個唄 12個的時候啊 12個的時候是對吧 咱們的話就一個了啊一個 好那現在換把它全部相加啊 羅列好了列舉好了之後全部相加 全部相加就是12 加17 加10 加9 對吧然後加上7 加上2 對不對然後呢再加上2 再加上1啊再加上1 然後我們看6個的情況他是不是7個啊 6個的話那是不是7個呢 啊來看一下啊就是 一個 對吧 兩個 三四 五六七對是7個啊 好那這個時候的話呢 咱們就給他啊全部相加啊 全部相加 看看會變成什麼情況 好吧會變成什麼情況啊 然後那麼加起來就看一下 12 加上這個17 等於29 加10 39加39加9等於48 對不對啊48 好 2939 然後呢4848加7 等於55 55的話呢再加上這個 啊5的話呢就等於多少等於60了啊 等於60所以這道題當中的話咱們 就是有這個60個啊有60個 大家能明白嗎啊 有60個 好不好就這樣去做就可以了啊 這樣去做就行了 好那麼我們就啊繼續往下看啊繼續往下看 來所以的話呢 這樣子去數的話呢 其實還是比較複雜的啊 來有5個同學每兩個人握手一次 一共要握手多少次呢 其實是a b c d 1對吧 啊握手幾次很簡單吧 來 一次兩次三次四次 a的話呢握了四次啊 再看b b此時他不能去跟a握 因爲a和b呢已經握手一次了 所以他不能反過去跟a握哈 他只能往後面去握 比如說bc bd和b1 是吧那就是123 就是三次啊 然後呢再看c啊 c的話呢到這個 c也不能往前去握 c也不能往前握只能往後面握 cd c1就是握了兩次 對吧 然後d d的話呢也不能往前握 只能往後面握哈 d加上1 啊就是這裏啊 所以相加起來的話呢等於幾呢 就等於十次 啊相加起來的話呢就等於十次 大家能明白嗎啊 相加起來就等於十次 好我們繼續來看啊 好還有一道題來看這個題 有九個班 其實你看我們上面的話呢這道題啊 咱們呢如果是有五個同學的話呢 我們是從四開始去 這個加 有五個同學我們從四開始加 那如果說是有九個班呢 有九個班的話你要注意了 我們比如說第一個班 第一個班的話他握了幾次呢 他不可能握九次爲啥呢 因爲他不能自己跟自己握 他只能跟剩下的這八個班握 所以第一個班的話他應該是握了八次 握了八次之後的話呢 我們再直接相加就可以了從大加到小 8加7 加6加5 加4 加3加2 加1就可以了 然後呢給他相加你看 等於幾呢8加1等於9 7加2等於9 6加3等於95加4等於9 那幾個9呢 一個9兩個9三個9四個9 所以的話這裏的話有四個9那4 9呢3 6 所以呢就拔河了三六次 就可以了啊 因爲這是咱們發現的規律 對吧你這裏從五個同學從四開始加 而且是4加3加2加1 那這個題的話有九個班 九個班從8開始加就是 8加7加6加5加4加3加2加1 那就是咱們的一個總次數啊 一共拔河三六次 好那今天這一課的話呢 咱們就先講到這裏了啊同學們啊 那我們今天學的是什麼呢數圖形 啊先從基本圖形開始數 然後呢去組合 啊形成一個新的圖形 然後呢一個一個列舉呢 給他方式給他先加 然後呢還學了握手原理啊 那學了握手原理的話咱們要注意的就是 有幾個同學咱們要啊 就說比如說有五個同學吧 我們從四開始加 有九個班從八開始加啊 這是咱們找出的規律 那今天這一課的話呢 主要內容呢我們就先講到這裏 同學們咱們下節課呢大家見啊