小學五年級奧數《舉一反三》由淺入深，有助於培養孩子的數學思維能力 P6 - 第2周 等差數列3

好的,各位同學,那麼最後呢,我們一起來看一下王牌例題 說遊樂園的智慧梯最高一級寬60釐米,最低一級寬150釐米 所以說從高往低,它的寬度是不是從小變大呀 中間還有13級,那麼各級的寬度現在稱等差數列 求正中一級的寬,正中一級到底是第幾級 那麼這個等差數列我們現在知道什麼呢 很明顯知道第一個數60,最後一個數150,中間有13級 但是等差數列最關鍵的公差是不是題目沒有告訴我呀 那麼你能否來想一想,在第一級和最後一級之間 現在的差是90,這個90釐米應該是公差的幾倍 好,那麼我們還是回到通項通式當中 我們說第n項等於第一項加上n-1倍的 現在我知道第n項也就是最後那個數應該是150吧 150等於第一項60加上什麼呢 多少倍的公差,這裏應該是多少倍 我們來看總共有多少級智慧梯 除了最高一級,除了最低一級,中間還有13級 所以總共是13加1再加1,是不是15級 好,所以這個地方你就會發現 其實150就是數列當中的第15項 好,那麼第15項一定等於第一項加上幾倍公差 很好,14倍嘛,15-1吧 好嘛,那麼這個地方我們能否進行處理了呀 當然可以啊,你會發現我們可以用150-60 得到的這個差去除以這個14就能算出公差了 但是細心的同學已經發現了啊 這個差是90,90除以14好像怎麼樣啊 好像除不盡啊,這個地方我們怎麼辦呢 我們能不能在除不盡的情況之下也能夠算出這個中間的一級呢 那麼這個題啊,我們要給大家介紹一個特別好用的新的方法 好,我們假設來觀察一個數列 我說這個數列呢,三開始,然後是五,然後是七 這個數列只有三項啊,三五七啊 那麼你看一下正中是不是一個五啊 五和三和七有什麼關係啊 是不是三和七你會發現一個比五少二,一個比五多二 這個特別像我們上一週的內容,叫做一多不少啊 所以中間這項一定是三和七的平均數啊 好,我再來寫一個數列啊 我說一三五七九,來觀察一下規律 你看一下,這個五它一定也是這個數列五個數的平均數 爲什麼呢 因爲九比它多四,一比它少四 那麼根據一多不少,這個地方減去四之後變成了五 這裏加上四之後變成了五 同樣道理,七移過去二變成五變成五 整個數列每一項都是五 發現規律了嗎 就是在等差數列當中啊 正中間的那一項是不是一定是所有數的平均數啊 那麼什麼時候會出現正中間的那一項呢 等差數列的總項數可不可以是一百項 不行吧 一定要是多少項纔會有正中間那一項 哎,很好,一定要是奇數項啊 如果我是偶數項三五七九 那就沒有中間項了啊 只有中間的兩項了 好,那麼這個題我們能否用這個方式來處理 當然可以啊 你看一下 這個題說最高一級六十釐米 最低一級一百五十釐米 中間有十三項 再加上這一項和這一項 整個等差數列是不是15項啊 15項當然是奇數啊 奇數注意那就一定有一箇中間項 這個中間項怎麼求呢 雖然我不知道其他數沒關係啊 一百五十比它多的部分 一定就是六十比它少的部分 所以呢 中間項怎麼求啊 直接用一百五十加六十括號除以二 求出平均數就可以了啊 所以答案是 二百一十除以二等於一百零五 那麼單位是零 那麼這題到這我們就給它完成了 好,我們來總結一下這個問題的關鍵點 那就是奇數項等差數列的中間項 注意它等於首末兩項的平均數 或者你也可以說它等於所有項的平均數 好的各位同學 那麼這一週的最後呢 我們給大家簡單總結一下這一部分的關鍵點 那麼第一個呢 我們說的是通向公式的運用啊 通向公式也是我們等差數列當中啊 最關鍵的一個公式 它表示的是什麼呢 就是第n項它等於第一項不斷的加公差 加上幾倍的公差呀 n減一倍的公差 那麼有了這個公式之後啊 首先你可以求其中的某一項 你也可以反過來求第一項 也可以怎麼樣呢 來求這個數是數列當中的第幾項 或者總共有多少項 好那麼由它變化出來的幾個公式 我們都寫給大家 那麼第一個公式呢 求第n項 我們給它改成an等於第一項 加上n減一倍的公差 用字母來表示 第二個呢 反過來第一項a1等於第n項減去這個n減一倍的 好 那麼第三個呢 求項數n等於第n項減去第一項之後除以公差 千萬不要忘了 加1啊 好還有什麼可以求呢 在通項公式裏面 我發現還有一個公差可以求啊 其實公差也可以用通項公式來表示出來啊 它等於什麼呢 就等於第n項減去第一項之後 除以這個倍數 n減一這個倍數 但是注意有的時候題目裏給你的往往不是第一項和第n項啊 比如說我給你第三項和第五項 你能否求出公差啊 也可以的對吧 因爲我們前面講過啊 就是已知數列當中的兩項和它們的位置 我就可以先求什麼公差 然後呢 進而求出通項啊 求出任何一項 好 那麼最後一個關鍵點就是基數項等差數列的中間項 它等於首末兩項的什麼平均 好的各位同學 那麼這一講呢 我們就給大家介紹到這裏 謝謝大家 我們下一講再見