小學數學寒假提分必看的《數學思維拓展訓練》，適用四年級學生，全120集 P4 - 四年級春季04-加乘原理進階（下）

好,來,大家看過來 我們來看一下第二個模塊 染色問題 那我們前面講了排隊,對吧 我們講了最簡單的全排隊 全排列 全排列是最happy的 有n個人就從n乘到1 對不對 比如說4個人就4、3、2、1 然後有一些特殊的位置 或者是特殊的元素 那麼你就是先考慮 優先考慮 比如說這個人不能站兩邊 你就先給他安排一下 好吧 那既然染色 染色是什麼意思 說明給你好幾種顏色的染料 你要去給一些區域來染色 OK 那說到染色的話 我們在數學上有一個很特別的問題 叫做四色定理 四色的問題也叫做四色猜想 四色定理 大家有興趣回去可以搜索一下 是世界近代三大數學難題之一 最早是一個叫古德里的 古德里的英國大學生提出來的 他的內容來看 任何一張地圖 只用四種顏色 就能使得具有共同邊界的國家上 找上不同的顏色 對不對 你四種顏色夠不夠 對吧 有興趣可以去看一下 有興趣看一下 當然我們肯定不是讓你去證明 這個什麼四色定理 或者四色問題 這都沒必要 我們是要去染色 染色 染色的話其實就是 一般是分佈 乘法原理 你要先染這個國家 再染那個國家 對不對 那有的時候還需要分類 再分佈 複雜一點的 那到底按照什麼順序來染色呢 這個是比較有意思的 對吧 到底用什麼 從什麼順序呢 那我們來看看 我們來看看 好吧 我們通過立體式來說明一下 大家就知道了 來 說有一張地圖上 有五個國家 A B C D E 大家看一下 A B C D E 現在我們用四種不同的顏色 來區分不同的國家 那怎麼區分呢 只要是相鄰的國家 你就不能用同一種顏色 不然我就分不清了 對吧 我就不知道它到底是算一個國家 還是算兩個國家了 但是不同的國家 你是可以用同一種顏色的 那這幅圖到底有多少種不同的着色方法 大家想一個問題 你覺得這裏面 要先考慮邊界多的 還是先考慮邊界少的 因爲國家的邊界不一樣 來 大家告訴我 A這個國家 它跟幾個國家交界 A相鄰的是有兩個國家 B呢 B 1 2 3 B跟A有相鄰 跟C也有相鄰 跟D也有相鄰 所以它有三個 C呢 哇 你看C不得了 C跟A B D E都有相鄰 所以C有四個 D呢 D也有三個 對吧 E呢 E就兩個 OK 那現在我們其實就要涉及到一個順序的問題 順序的問題 我們是要先攬這個相鄰多的 然後再攬少的 還是先攬少的 然後再多的呢 來 你們想一想 哪一種啊 你們覺得哪一種是比較合適的 非常好 先多再少 爲什麼 因爲多的一定的話 它邊上就好定 你少的的話 你定完之後 你有可能你看 比如說你E完之後跟B離得遠 對吧 你E還得考慮跟B是同一種顏色還是不同顏色 所以我們從多到少 那從多到少 C肯定是放第一位的 對不對 C的最多 那麼B和D 它們都有三個相鄰的 那是先考慮B還是先考慮D呢 你們覺得要選哪裏 這時候有一個很重要的原則 看心情 你想選哪個就哪個 那一般我的建議是按照字母排列順序 所以我們先B再D 那既然A和E呢 都有兩個相鄰兩個 所以A和E隨意呢 對不對 好 所以第一步先確定順序 第一步先確定順序 那麼這一步你已經完成了 整個題目百分之七十也就完成了 定順序 叫定序 那定序之後呢 第二步就是相乘了 爲什麼 因爲你其實每個國家的染色都是一個步驟 它很顯然是一個乘法原理 分步完成的 分步驟完成的 對不對 好 那大家看一下 來 我們把這個按順序來 首先我們先染C 你現在一共有四種顏色 那C的話是不是四選一 OK 所以C有四種顏色可以選啊 現在是C 好 那C已經考慮完了 就給它打個勾 C考慮完之後 現在是不是就到B了 那我們從四種顏色裏面選了一種染了C 那B是不是就剩三種顏色了 對吧 好 三種顏色可選 我們選一種染了B 給B塗上這個顏色 對吧 那到D的時候你看 這時候我們開始要染B D這時候邊上已經有兩個國家 已經有顏色了 比如說它邊上已經有兩種顏色了 所以它這時候就剩兩種顏色可選了 對不對 所以C是四種的時候 B就是三種 D就是兩種 好 那這時候到A這時候就要小心了 你看着這個圖 打勾的是已經染完顏色的 那A的邊上已經染了兩種了 所以A是兩種選 你說老師那D也用了一種顏色了 D跟A有關係嗎 沒啥關係 無所謂那D染啥顏色跟我A有啥關係 我們倆又不矮的 是不 所以A只要跟B C不同就可以了 就從B C那兩種顏色排除掉 剩下兩種顏色隨便選一種 所以它也有兩種 好 E呢 E應該是幾 大家告訴我 E E的話它邊上是不是C和D A和B對它一點也沒影響 它只看CD 所以它只要跟CD不一樣就行 所以它也是兩種顏色選 能懂嗎 所以最後我們根據分佈原理 步步相乘把它乘下來 等於 96種 就出來了 能不能理解 好 所以就是先定序 然後再寫數字相乘 就做出來了 OK 那大家馬上就用一下 你馬上就用一下 來 我現在不給你4種顏色 我給你6種顏色 可以選 那這時候你按C D B E A試一下 對吧 因爲有同學可能還對這個有疑惑 你按這個順序試一下 你如果說你還是4種顏色 然後換這個順序的話 還是4 3 2 2 2 對不對 那現在如果是CDBEA呢 來看一眼 我們試試 那還是先C C幾種 6種 對吧 好 那然後呢 接下來到這個誰呢 到D呢 6種是不是剩5種了 對吧 然後再4種 然後呢 這時候小心 他們3我拿完之後呢 A是6種扣2種 4種 對吧 然後E呢 4種 然後後面就是計算 後面就是計算 會了嗎 這就是我們的藍色問題裏面的簡單版本 但看似好像不簡單 那一般來說你掌握到這一步就夠了 掌握到這一步就夠了 好吧 不用掌握太多步啊 到這一步就可以了 就可以了 到這個難度 OK我們再來一道題目 鞏固一下來 剛剛那個是直接用 你看直接用乘法原理就搞定了 是吧 我們看這題 直接用乘法原理能不能搞定 說有4個區域啊 用4種顏色藍色相鄰還是不同色 每個區域藍一種顏色 就ABCD四個區域嘛 中間這個圈圈不算哈 那有多少種藍色方法 那你看看A和C算相鄰嗎 不算了 是吧 這四種顏色 比如說我們是紅的 綠的 藍的 白的 我們隨便說四個 OK 那現在有個問題 你說老師這個順序我 給我整不會呢 是不是 A邊上有兩個相鄰的 B邊上有兩個相鄰的 C邊上兩個相鄰的 D邊上兩個相鄰的 是吧 那那那什麼順序好像都行啊 ABCD BCDA CDAB DABCA 或者ADCB A打D打D 是吧 那我們先想想 比如說A A的話我從四種顏色裏面選一種給他藍色 給他塗 塗一下是不是有四種選擇 那到了B的時候是不是三種選擇 那到了C的時候呢 這時候就不是兩種選擇了呀 是不是他只要跟B 這時候只要跟B不一樣 剩下三種顏色裏面選是吧 但是D就有問題了 爲什麼 你這個C選的這三種裏面 到底是跟一樣 跟A一樣 還是跟A不一樣呢 如果跟A一樣的話 D邊上這時候就只有一種顏色 如果跟A不一樣的話 D邊上這時候AC是不一樣 就有兩種顏色 所以立體五這種就不能直接什麼 不能直接乘法原理 那怎麼辦 那我們這時候就要先分類點 這種叫做對稱類的藍色 對吧 對稱類的 那一定是要分類的 對稱你就要分類 所以我們就分類 分成 哪兩種類別 分成AC同色和AC不同色 兩種類別 對不對 好 那第一種類別如果是AC同色 我們講一下AC同色 那同色之後呢 同色之後呢 那同色之後的話 我們這時候再來選順序 那就乾脆把AC 作爲一個 你想是不是AC反正是同色 把AC作爲一個 然後他藍完之後再藍B 再藍D 對不對 那如果AC不同色呢 那也一樣 先A再C 然後他們倆藍完之後再B和D 對吧 所以你分兩種類別 每種類別先分別把它們順序寫出來 先定序 藍色問題的定序 是最重要的 好吧 你把順序一定 基本上這個就妥了 基本就妥了 好不好 OK 好 那來 來來來 我們先來寫一下 如果AC同一樣種顏色 那來 四種顏色先選一種給AC 對吧 到B的時候是三種 乘三 好到D的時候幾種 幾種 幾 AC是一種顏色吧 好 所以B只要跟他們倆不一樣 三種選擇 那D呢 還是三種 你要具體問題看 D邊上是AC 這時候AC是同一種顏色 所以D有三種可以選 它跟B一不一樣 無所謂 這種情況下是49 36種 好 那如果AC不同色呢 那它四種 它就三種 是不是 它四種它就三種 把A和C塗完之後 我們相當於是已經選了兩種顏色了 已經選了兩種顏色 一個給A一個給C呢 對不對 那麼他們倆塗完之後 這時候B邊上兩種顏色 D邊上也兩種顏色 能看懂嗎 這樣有48種 所以一共就是36加48 等於84種 一共就84 那你就可以做答案了 就可以做答案了 好 所以你可以把立體五和立體四放一起來考慮 立體四就是最典型最普通的 對吧 那立體五就是需要分類的 那分類的就是這種對稱的 對稱的話一定是要分類來搞定的 好吧 那當然有同學可能說 老師你這還是難度有點低呀 那你要是有興趣你可以再想 你可以再想想什麼 你覺得分成四個不夠 那你就可以怎麼分成什麼 八個 我還是四種顏色 對吧 中間這還是一個 還是一個圈圈 它不算什麼 不算相鄰 對面不算相鄰 對不對 那這時候怎麼辦 這時候怎麼辦 這時候好像就一直打下去對吧 四三二 四三三三三三這樣三下就好 對吧 那這時候最後只要看A和G呢 只要看A和G呢 那A和G要看的話又要倒退 這樣就比較難了 所以這個的話留給大家思考 你們回去想想 好 我們用四種顏色 給他們染色 好吧 那肯定還是一樣相鄰的不同色 對不對 然後你可以去倒退 你可以用一下遞退的方法來試一下 用遞退的方法來試一下 OK 四種顏色裏面去挑 看最後的染法有幾種 這時候你可能要去分類 又得去分類了 把分的某一類裏面再繼續分類 就有點這個意思 OK 好 比如說你可以先分AC桶色的 在AC桶色裏面再去分什麼 ACE桶色的 哇 那這個有搞頭 所以大家可以考慮一下遞退 列表遞退試一下 OK 那如果沒有學過遞退 那你就老老實實去分類試一下 有點難度 好 那接下來我們來看這個 那剛剛染色的話 掌握到立體五那個難度 就差不多了 就夠了 對吧 那麼我們的這個排隊 排隊的話 我們再稍微給它變一下 看一下 這道題目兩分鐘 大家思考一下 就是 你們算出來了嗎 有一個籃球隊 籃球隊 五名隊員A B C D E 那因爲某種原因 C不能做中鋒 D不能做控球后衛 其餘三個人可以分配到 五個位置裏面的 任何一個上面 那麼有多少種不同的戰法 有多少種不同的安排 想一想 咋辦 那籃球我們知道 五個隊員是要有五個位置的 對吧 中鋒控球后衛大前鋒小前鋒 對吧 還有什麼七七八八的玩意兒 得分後衛或者咋的 對不對 那這時候怎麼辦 C不能做中鋒 可能他的個兒不夠高了 D不能做控球后衛 可能他這個控球不行嗎 是吧 那我們來想想 我們是從人入手 還是從位置入手 可能還是要偏人 還是要偏人 對不對 比如說我們說C C不能做中鋒 那C去做什麼 做控球后衛 所以這時候你要先分類 爲什麼 因爲C不能做中鋒 那他有四個位置可以選 這四個位置裏面 有個控球后衛比較特別 所以我們把它是控球后衛 跟他不是控球后衛 區分開來 好 所以先分類 怎麼分類呢 C是控球后衛 而C不是控球后衛 我們分這兩種情況來考慮 第一種情況 C控球后衛 那C完之後我們考慮D D完之後再考慮什麼 A B E 對不對 按照這個順序來吧 這順序還是比較合理的 那C已經去當控球后衛了 那C不就一種了 能理解吧 C是控球后衛了 D呢 D他只要不做控球后衛就行 所以有四個位置讓他選 對不對 好 剩下三個人了 剩下三個人的話 每一支支 隨便三個位置隨便來 三乘二乘一 對吧 二是四種 好 第二種情況大家告訴我 有幾種 C他不是控球后衛的 好 特殊的人優先考慮 好吧 那這時候C不是控球后衛 那他有幾種選擇 他不是控球后衛 他有三個位置可以選 對吧 一二三四五 一個是中鋒 一個是控球后衛 那C首先他不能做中鋒 結果他又不做控球后衛 那他就三個位置選了 對吧 他比如說這邊隨便選一個 那D呢 這時候D呢 來大家看看這個圖告訴我 這時候D有幾個位置 也是三個位置 對吧 D反正現在不做控球后衛了 對吧 然後呢 除了中鋒之外 有一個位置已經被C佔了 他就在剩下三個位置裏面選 比如說 這兒 他就在這三個位置裏面選 D這時候就在這三個位置裏面選 所以一定要小心 一定要小心 對吧 好 那他們倆選完之後 剩下三個人又抽籤 你隨意了 對吧 54種 所以最後一共多少 24加54等於78種 你看到嗎 所以這種先分類 再分佈的要小心 一般考試就是這種先分類 再分佈了 先分類再分佈了 好 大家在考慮的時候可以像我一樣 你在考慮一個順序的時候 你用一個箭頭給他串起來 對吧 那先分類再分佈的話 還有一個比較典型的就是 去選那種 書籍的 我也要寫一個簡單一點的版本 提醒一下大家 好吧 那你們試一下哈 我就寫在這兒 你看我寫在多麼小的一個地兒 比如說三本不同的語文 四本不同的英語 五本不同的數學 要選兩本不同學科的書 有幾種選法 大家思考一下 這也是先分類再分佈 就是先加再乘 但實際算的時候是先乘再加 我不知道大家有沒有做過 有可能有的朋友有做過 對吧 好 那怎麼算呢 什麼叫兩本不同學科的書啊 這時候你在做這種題目的時候 你要去想什麼叫兩本不同學科的書 就是一本語文一本英語 這算不算 算 一本語文一本數學算不算 算 一本英語一本數學算不算 也算 兩本數學算不算 就不算了 對不對 所以你要首先分三種類別 語文和英語的 語文和數學的 數學和英語的 OK 那首先語文和英語的 語文和英語各一本的話是乘法原理 三乘四 對吧 語文書三選一 英語書四選一 語文和數學呢 三乘五 然後呢 五乘四 好 然後最後加起來 那得多少 十二加十五加二十 四十七 總 四十七總 好 那時候老師這題跟這題也不一樣啊 不是說他非得要一樣 我只是在給大家提示 加乘原理的綜合是什麼樣子的 你要先分類 然後再什麼 再去分佈 先分類再分佈 好 然後你算完之後加起來 OK 那藍色問題的話我們 呃 其實還有 可能大家在做幾何的時候 以前又做過藍色問題 但這個藍色跟這個藍色就不一樣了 對吧 然後有興趣的可以去看一下那個 四色定理 但是用不了研究 因爲你也用不上 也用不上 對吧 好 那我隨便給大家出一道來 我先把這七十八 先把這七十八先寫在這 七十八種答案是七十八種啊 那我們先隨便來一道 你試一下 A B C D 五種顏色的 來 你們來一下開始 好 按順序快速 應該是先 D B A C 或者是BDAC都行啊 好 然後呢 先定順序 再來 五 乘 四 乘 三 乘 三 會了嗎 四五二十三三到九 一百八十種 這種難度的會不會 OK 來比跟我比個OK 好 那這種難度會的話 我相信你在考試裏面一般就 不怕了 就問題不大 好吧 太棒了 OK 好 那我們來總結一下 我們來總結一下 首先是排隊問題 那排隊問題的話 我們先看全排列的 那全排列的我們總結一下 幾個人 就 幾乘到一 對不對 然後你可以舉個例子 四個人 那就是 四乘三乘二乘一 二十四種 OK 這是最最最最最最最最簡單的 你要快速反應 對不對 然後有的時候可能不是排隊 而是另外一種變形也是 就比如說三個東西放在架子上 對吧 好 第二個就是特殊要求的 那特殊要求的話 比如說 他必須站左邊 必須站右邊 或者必須站哪裏的 那麼你就優先考慮 對不對 OK 然後呢 像這種相鄰的 我們就用什麼辦法 相鄰的的話 我們一般的來說 就是先把他們倆 捆綁 綁起來 對不對 然後最後記得要什麼 兩個人就要乘二 三個人就要乘六 什麼意思 就兩個人綁一起 那最後他們倆是可以掙扎的 換個位置 所以你就結果得乘二 對吧 你先把兩個人看成一個人 然後跟其他人排好了 然後最後乘二 三個人也是一樣 三個人看成一個人 跟剩下排好 然後再乘六 那不相鄰的 我們說了兩種做法 大家也要記住 對吧 一個是擦控 一個是什麼 總數減相鄰的 我希望大家兩種做法都學一學 都學一學 好 那第二個是染色問題 染色問題的話 其實就是兩步驟 看是不是 對不對 第一步是定序 我們發現你順序定好了 你做起來就很方便 然後第二步的話 在寫數字相乘 在寫數字的時候 一定要小心看着圖來做 看着圖 對吧 完成一個 你就打個勾 他已經染上顏色 就給他打個勾 先定序 再相乘 兩步驟 對不對 好 那一般的類別 一般的類別 就是普通的 普通難度的 我們用我們的兩步驟都能搞定 對吧 然後對稱的 如果是像這種對稱的這種染色問題的話 那麼你就要什麼 分類 那一般對稱的都是怎麼出的 一般都是那種圓形的 圓形的大部分題目都是對稱的 對吧 大家做圓形的時候 一般見到都是對稱的 那像這種題目比較難 你就一步一步寫 因爲你寫幾步也有分了 好吧 這種染色問題 那在幾何裏面我們也有染色問題 跟這個是不一樣的 然後大家下來之後的話 自己去看一下我們那個染色問題 四色定理 OK 那我剛纔教大家一個什麼 地推來解這種對稱的 那這個地推的話會比較難 我們等到講到地推的時候 我們再考慮給大家說一下怎麼樣用地推 或者是用傳球法 來解一種染色問題 那個就有點意思了 對吧 傳球法 有興趣的可以去看一下 用傳球法 OK 那在幾何裏面我們有染色 把它表面染色 然後切開變成小正方體 要看它有多少個的 跟這個是不一樣的 好 那我們這個加成原理就先說這麼多 還不整太複雜 好 然後後面我們如果見到再複雜一點再說 OK 那我們今天這個就說到這 大家拜拜