【Numberphile】神奇的自然對數 e (Euler's Number)

我們將來談談 E，這個大名鼎鼎的常數 E。 好的，它是一個著名的數學常數，也是最重要的常數之一。 它與圓周率相連，還有我不太清楚的黃金比例，以及根號2。 數學中有一些恆定的常數，它們是最重要的常數，而 E 就是其中一個。 因此，E 是一個無理數，其值約為 2.718281828……。 問題在於 E 並非由幾何定義。 現在，圓周率是一個由幾何學定義的數值，對吧？ 它是圓周長與直徑的比值，古希臘人早已了解這一點。 許多數學常數可追溯至古希臘時代，但 e 則不同。 E 不是基於形狀的。它不是基於幾何學的。 它是一個與增長和變化率相關的數學常數。 但為什麼這與成長及變化率有關呢？ 那麼，讓我們來看看最初使用 E 的問題。 因此，我們將回到17世紀，這位是雅各布·伯努利。 而且他對複利感興趣，也就是讓你的錢生錢。 想像一下，你銀行裡有1英鎊，而且你有一家非常慷慨的銀行， 而且他們會每年給你百分之百的利息。 哇，非常感謝你，銀行。 所以是百分之百的利息，意思是一年後你將擁有2英鎊。 因此，你賺到了1英鎊的利息，再加上你原來的1英鎊，現在你共有2英鎊。 如果我改為每六個月提供50%的利息呢？ 現在，這樣是更好還是更差？ 好吧，讓我們來想想看。 好的，你一開始有1英鎊，接下來我每六個月會給你50%的利息。 因此，六個月後，你現在有1.50英鎊。 然後你再等六個月，你將獲得總金額50%的利息， 這是另一個75便士。 然後你把它加到你原本的金額上，總共就是2.25英鎊。 更好了。更好了。 那如果我經常這麼做會怎麼樣？如果我每個月都這麼做呢？ 我每月提供你十二分之一的利息。 這樣比較好嗎？那我們來好好想想這件事。 因此，一個月後，它將會乘以這個數值。 1又12分之1 所以是十二分之一，那就是你的利息，然後你把這筆利息加到你原本擁有的英鎊上。 那就這樣做吧，那是你第一個月。 然後在第二個月，你將其再次乘以相同的數值。 然後在第三個月，你會再次將其乘以。 你一年 actually 那樣做 12 次。 因此，一年內，你會將其乘以12次方，結果得到2.61英鎊。 所以實際上更好。 事實上，你的興趣越頻繁，結果就越好。 讓我們從每週開始。 所以如果我們每個禮拜都這麼做，效果會好多少呢？ 我的意思是，你每週賺取 1/52 的利息。 然後在年底之後，你有52週，你將擁有2.69英鎊。 所以它變得越來越好了。 一般來說，你可能會發現這裡有一個模式正在出現。 一般來說，它會是這個樣子。 你將會乘以 1 加上 1 除以 n 的結果，再對其進行 n 次方運算。 希望你能看到那個模式正在發生。 因此，如果你每月進行一次，n 就等於 12。 每週都這麼做，52次。 如果你每天做一次，就是1英鎊乘以1除以1除以365的365次方。 這等於2.71英鎊。 因此，如果你每秒或每納秒執行一次，情況就會變得更好。 如果我能持續不斷地做到呢？ 每一刻，我都在賺取連續複利。 那看起來是什麼樣子？ 這意味著，如果我取這個公式：1 加上 1 除以 n 的 n 次方，當 n 趨近於無窮大時，我會得到…… 那將是連續複利。 現在那是什么？那個數值是什麼？ 這正是伯努利想要知道的。 他沒有算出來。他知道答案在2到3之間。 因此，50年後，歐拉算出了答案。 歐拉，他能把一切都算得清清楚楚。 還有更多高斯嗎？ 是歐拉還是高斯。 無論說歐拉還是高斯，你大概率都是對的。 而且這個數值是 2.718281828459，以此類推。 我們做這件事的時候非常接近了。 每天不都是這樣嗎？已經是2.71英鎊了。 你說得對，你說得對。我們越來越接近了，不是嗎？ 我們正越來越接近這個數值。 所以，我們已經非常接近了。 然而，如果你永遠這樣做，當然就會得到一個無理數。 現在，歐拉稱此為 E。 他並沒有以自己命名，儘管如今它被稱為歐拉常數。 那他為什麼稱之為 E 呢？ 只是一封信而已。 他可能已經用 A、B、C 和 D 做其他事情了，對吧？ 所以他用了下一个。 有點巧合。 這真是一個美妙的巧合。 我完全相信，他這裏並沒有自作主張地用自己的名字命名。 但這是一個美妙的巧合，正好是 E，代表歐拉數。 如果你發現了它，會稱它為 G 嗎？ 我不会稱它為 G。 不，我原本希望會有其他人稱它為 G，那樣我便會接受這個稱呼。 歐拉證明了這一點是無理數。 他找到了一個計算 E 的公式，那是一個新公式，不是這裡的這個。 另一個公式顯示，它是無理數。 我來快速給你看看。 他發現 E 等於 2 加上 1 除以 1 加上 1 除以 2 加上 1 除以 1 加上 1 除以 1 加上 1 除以 4 加上 1 除以 1 加上 1 除以 1 加上 1 除以 6。 這會永遠持續下去。 這是一個無限延續的分數，一個連分數。 但你可以看出它會無限延續下去，因為存在一個模式，而這個模式確實成立。 你有 2、1、1、4、1、1、6、1、1、8。 所以你可以看到這個模式會一直持續下去。 如果這個分數無限延續下去，就表示它是一個無理數。 如果它不會永遠持續下去，就會結束。 如果它終止，你可以將其寫成分數形式。 而且他也計算出了 E 的值。 他精確到了小數點後18位。 要做到那件事，他有一個不同的方法來實現。 我會讓你看看那一個。 這次，他推導出 E 等於 1 加上 1 除以 1 的階乘，再加上 1 除以 2 的階乘，再加上 1 除以 3 的階乘，再加上 1 除以 4 的階乘。 這是一件永無止境持續發生的事。 這是一個很棒的公式。 如果你對階乘感到滿意，那麼階乘的意思就是將該數值以內的所有數字相乘。 因此，如果是4的階乘，就是4乘以3乘以2乘以1。 好吧，為什麼E這麼重要？ 因為 E 是成長的自然語言。 我會讓你知道原因。 好的，我們來畫一個圖。 Y 等於 E 的 X 次方。 所以我們正在計算 E 的冪次。 因此在 0 處，這條線會經過 1。 因此，如果你在這張圖上取一個點， 該點的值為 E 的 X 次方。 這就是為什麼這件事如此重要。 該點的梯度， 該點曲線的斜率 是 e 的 x 次方。 曲線下的面積， 這意味著曲線下的面積 一直延伸到負無限大 是 e 的 x 次方。 而且這是有此性質的唯一函數。 因此它具有相同的值、梯度和面積。 線上每一點。 因此在 1 時，其值為 E，因為它是 E 的 1 次方。 數值為 2.718，梯度為 2.718。 曲線下的面積為 2.718。 這之所以重要的原因在於， 因為它具有這一特性，也具有獨特性。 它便成為微積分的自然語言。 微積分是研究變化率的數學。 以及增長，還有像數學這樣的領域。 如果你對這些事情感興趣的話， 如果你用 E 來表示的話 那麼數學就簡單多了。 因為如果你不用 E 來表達的話 你會得到許多討厭的常數， 數學計算非常混亂。 如果你試圖故意避免使用 E， 你正在給自己製造困難。 這是成長的自然語言。 當然，E 以其聚集眾人而聞名。 所有著名的數學常數 有了這個公式，歐拉公式， 這就是著名的歐拉公式：e^(iπ) + 1 = 0。 那麼，這裡就是所有的重大數學常數 一個公式中整合在一起。 我們有 E，我們有 i，負一的平方根， 當然，我們有π，還有1和0。 並將它們全部整合成一個公式。 這公式經常被公認為數學中最美的公式。 我見過太多次了，已經有點麻木了。 不要把那個放進影片裡。 有時候在數字愛好者頻道，我們可以製作更多影片 多虧了優秀的贊助商，我們才能做到原本無法實現的事。 今天，我們想感謝「偉大課程 Plus」， 這是一項極為出色的服務。 如果你喜歡 Numberphile 的影片，那你一定會更喜歡這個。 他們擁有令人難以置信的豐富課程， 類似來自全球專家的七千多個影片， 世界各地各個領域的頂尖教授 從攝影到古生物學，再到質數。 無論你喜歡什麼，你都能找到合適的東西。 我最近在網站上關注的是古生物學。 還有我最喜愛的科目之一——埃及學。 他們有一些關於這些的精彩影片。 現在，《偉大課程Plus》的方案每月僅需14.99美元起， 但現在有一項特別優惠，讓你可免費體驗整整一個月 免費無限觀看所有影片。 前往thegreatcoursesplus.com斜線numberphile 並享有免費一個月的使用權，可全面體驗所有功能。 如果你喜歡的話，也許你會願意繼續參與更多。 我想你有很大機會會這樣做。 螢幕上有一個連結，影片說明中也有一個連結。 何不點一下，去看看呢？ 這是一種表達對數字愛好者（Numberphile）支持的絕佳方式。 並向「偉大課程Plus」的觀眾展示你來自這裡。 再次感謝他們對本影片的支持。 好，我要選 E、E、E。