【漫士】解讀王虹工作：三維掛谷猜想，它難在哪？

2026年7月23日 中國數學界發生了一件大事 在美國費城召開的國際數學家大會上 宣佈了四名菲爾茲獎的獲得者 而王宏、鄧裕兩名數學家光榮在列 實現了中國本土出身和基礎教育培養的 菲爾茲獎得主零的突破 而且一下就是兩位 你一定會好奇 他們到底做了什麼了不起的成就 得到了這個號稱數學界的諾貝爾獎的重大獎項呢 那麼作為一名清華搖班畢業的博士生 我將會用兩期40分鐘的視頻 為大家一一拆解 那這期視頻講的就是王宏和他最知名的研究成果 三維跨谷問題 這個猜想究竟在問什麼 為什麼一個簡單的讓針掉頭的問題 會同時牽動分析幾何 弗利耶分析 調和分析等一系列深刻的領域和知識呢 這期視頻我們將會從零開始 盡量準確地看懂它的骨架 難度會逐漸提升 聽不懂也沒有關係 畢竟這是一個100年的沒有解決的難題 那我會盡量讓大家都有聽懂和有收穫的地方 那實在聽不下去 你也可以跳到最後 聽聽看中國獲得福爾斯獎有什麼意義和感觸 點贊收藏 數學啟動 整個故事從一個看起來像小學幾何的問題開始 假設有一根長度為1 沒有寬度的一根針 我們希望讓它在有限的空間裡掉頭 也就是讓它經歷平面當中的每一個方向 那問題來了 這個空間最小是多少呢? 你也可以想象 這個針在運動的過程當中 被掃過的地方會被染色 我們問在掉頭的過程當中 被染色的區域面積最小是多少呢? 最直接的辦法就是把這個針的終點固定 然後讓它在一個直徑為1的圓裡旋轉 那麼此時就會轉出一個半徑為1的圓 面積是四分之π 約等於0.785 還有更省的辦法 如果我們允許這個針一邊旋轉一邊平移 那麼一個高為1的等邊三角形裡 就足以容納每一個方向的單位線段 此時它的面積就是根號三分之1 約等於0.577 事實上 Howe在1927年證明 如果強制這個房間必須是凸的 那麼這個等邊三角形就是最優的答案 所謂的凸 就是房間裡的任意兩點用直線連接之後 整條線段都必須留在房間裡 所以圓三角形矩形都是凸的 而月牙形或者這種凹槽的凸形則不是 掛骨最初猜想 如果去掉凸這個限制 最優的凸形可能是這樣一個漂亮的形狀 學名三尖內擺線 當一個小圓在半徑是它三倍的大圓內部滾動時 小圓邊緣的一個點會畫出這樣一條三尖曲線 適當縮放之後 針就可以在它的內部連續的轉動 而它的面積是有八分之π 約等於0.393 看起來已經壓縮得很小了 更多尖峯的面積它只會更大 這就是最終的答案了嗎? 1919年 貝希科維奇解決了這個問題 並給出了一個不可思議的答案 那就是這個房間的面積可以要多小有多小 任意接近於零 能做到這一點的關鍵在於 這根針沒有寬度 如果針只沿著自己的方向滑動 那麼它掃過的仍然只是一條直線 而直線的面積是零 所以我們可以像作弊一樣 幾乎不掃過任何面積的隨意平移一根針 這是怎麼回事呢? 你想想看 假設我們要把針從當前位置平移到旁邊的一條平行線上 我們可以先沿針的方向把它滑到非常遠的地方 然後只轉動一個極小的角度 再沿新的方向滑回來 最後再轉一個極小的角度 把它的方向恢復成原來的朝向 從起點看 這個針已經被平行的搬移到了另外一個位置 而真正產生面積的只有兩次極小的轉動 那滑得越遠 我們需要轉動的角度就越小 掃過的這個扇形的面積也越小 嚴格來說 這種操作叫做Pale Drone 它並不是一個真正的瞬移 但是在掃過的面積下 它可以用任意小的代價完成平移 所以你可以把它看成一個幾乎是免費的傳送 所以這個技巧就告訴我們 真正產生掃過面積的操作不是平移 而是旋轉 也正是因為平移幾乎不花代價 到後來 現代的掛骨問題通常不再強調一根針是連續運動的 而是直接研究一個靜態的集合 要求對於每一個方向 這個集合中都包含一條這個方向的單位長線段 這就是掛骨集 學名Kakeyasai 當一根針在裡面轉起來的時候 就是這個樣子 現在 假設我們想讓針轉過60度 有一個最簡單的方法 就是用一個三角形容納這段角度範圍之內的所有線段 但我們可以把60度拆成兩段 先轉30度 然後把針近似瞬移到另一個位置 再接著轉剩下來的30度 然後我們可以把前後的兩個三角形盡量的疊在一起 產生一個最大的重疊面積 這樣你會發現 在整個旋轉過程當中 60度以內的方向我們都轉過了 但總面積卻變小了 因為有重疊 那既然60度可以拆成兩份 那每個30度的三角形是不是還能繼續拆呢 我們還可以把它拆成四份 再讓它們平移一下 每次轉到一個端點就瞬移 那這樣重疊的面積就會更大 我們還可以把它拆成四段 八段和十六段 每次都是把它分叉之後 再平移互相重疊 拆分之後 我們總是保留了原來那一小段角度裡的全部方向 但我們卻把這些小三角形壓得越來越緊密 面積越來越小 不斷重復之後 就得到了這樣一個充滿毛刺的抽象結構 它叫做parentree配龍樹 它是一棵由無數極細極細的三角形組成的樹 在尾部把所有三角形的面積都盡可能的重疊在一起 從而極大的降低了整個圖形所佔用的面積 這類構造可以讓總面積小於任意一個預先給定的正數 小於0.01也行 萬分之一也行 那麼通過極限過程 你就可以得到一個面積幾乎為零 卻包含每一個方向單位線段的集合 平面問題給了我們很多啟示 首先如何在最小的空間掉頭這個問題 最終的這個掛骨集合 它的面積居然可以完全接近於零 這是完全超出人類普通的幾何直覺的 所以我們千萬不能想當然 第二個啟示是 這個問題最後的答案不是一個簡單的圓或者多邊形的圖形 而會是一個無限分岔近似於分形的毛刺結構 第三個最重要的啟示是 每一次小轉弄掃過的面積都是逃不掉的 這個遊戲最重要的問題 在於怎麼讓這些面積盡可能多的重複覆蓋同一片區域 壓縮重疊的越厲害 總面積就會越小 這個問題隨後被推廣到三維 現在我們希望一個集合裡 能夠找到朝向三維空間每一個方向的單位線段 到了三維 體積已經不再是一個重要的值得問的問題 因為平面的方法很容易告訴我們 三維的掛骨集合也可以沒有任何體積 比如說我們可以從一個平面上的零面積掛骨積k出發 然後我們考慮把這個k整體抬升一個1的高度 形成了一個柱狀體 那這個柱狀體沿著任何一個三維方向 都可以把它分解成一個水平方向的分量 二維的掛骨集可以提供任意一個水平方向的 而區間0到1這個數值的高度 可以提供你所需要的數值分量 把這兩者合起來 就可以得到三維方向上任何方向的單位線段了 它的體積等於原來底面積k再乘以1 而我們說過二維掛骨集k的面積是零 所以整個集合的體積也是零 所以數學家真正關心的問題變成了另外一個 雖然它沒有體積接近於零 那它的維度是不是依然必須等於3呢? 維度這個詞聽上去很抽象對吧 中學時你可能學過用基底向量的個數來定義維度 比如說一維是線 二維是面 三維是體 不過在分析裡面對更加複雜的對象 我們需要用一種更加一般的抽象的方式去定義維度 那就是覆蓋 什麼意思呢? 拿一個邊長為delta的小方格 去覆蓋一條長度為1的線段 你會發現大概需要delta分之1個 而如果覆蓋一個邊長為1的正方形 你會發現大概需要1除以delta平方個 用delta邊長的小立方體覆蓋一個單位立方體 則需要1除以delta的三次方個 所以每當我們把刻度delta縮小兩倍 去覆蓋線段、正方形和立方體時 你會發現所需要的同維度的小的這個單元的個數 會分別變成兩倍、四倍和八倍 它們分別是2的一次方、二次方和三次方 維度1、2、3就在這裡現身了 一般的 如果覆蓋一個集合所需要的小方格或者小立方體的數量 大致滿足是delta的d次方分之1 其中delta是你覆蓋的小盒子的邊長 那麼我們就把這個指數d看作是它的維數 也可以寫成這種分式形式 那剛才這些圖像都是很簡單乾淨的例子 有些圖形具有無限分叉、毛刺和字相似的分形結構 此時就會出現一種神祕的不是整數的維度 比如說看看這個科赫曲線 每次迭代之後 它都會由四個縮小到自己原來三分之一的字集組成 那麼用剛才我們的方法去分析一下 假設它的維數是d 那我們把這個delta縮小三分之一 用這個盒子去覆蓋的時候 我們剛好是蓋住了更小層級的一個字相似的分支 所以需要的盒子數量會剛好變成4倍 所以根據維度公式 也就是4等於三分之一分之一的d次方 這就會得到d等於log3分之log4等於log34是1.262 你看居然還有分數維度 它看起來是一根線 但它的維度大於1 它存在於二維的平面裡 但它的維度又小於2 非常的有意思 同樣的道理 我們還可以看另一個分形 它叫謝爾賓斯基地毯 它從開始是一個正方形 每次我們扣掉中間三分之一乘三分之一的區域 構成一個八個一圈的過程 然後再對八個一圈的小正方形 以扣掉它們中間的三分之一 並不斷的重複下去 因此每一個大的地毯分形 是由八個尺寸為三分之一的字體組成的 因此它的維數就是log3分之log8等於log38等於1.893 它是一個看起來二維的圖形 但因為不斷的扣掉它 所以導致它損失了一些維度 等於1.893 我們還可以推廣到三維 每次扣掉三個方向的洞 那麼再對每一個小的立方體重複這個過程 這就會構成一個海綿 它叫做門格海綿 一個大的門格海綿 由二十個尺寸是原來三分之一的小海綿構成 所以由二十個可以拼成一個大三倍的 這個維度就是log3分之log20 約等於2.727 不過大部分的集合並沒有這麼完美的自相似結構 所以這個時候我們只能老老實實的考慮 當我們用越來越小的邊長為delta的盒子去覆蓋的時候 我們需要的盒子數量到底是delta的多少次方 這個delta一般會變成一個delta的-d次方所需要覆蓋的數量 這個指數d就是它的Minkowski為數 也叫做盒為數 等價呢 我們也可以把集合整體加粗delta 如果集合位於一個n維的空間裡 它自己的維度是d 那麼加粗之後的總體積 會在delta縮小到0的時候 以delta的n-d次方衰減 可能有點抽象 我們來想一點具體的例子 比如說在二維平面裡 一條長度固定的曲線把它加粗delta 就會變成一個窄窄的這種長方形 它的面積大約是長度乘以delta 也就是delta的1次方 這個指數上的1 就意味著它的維度比環境的維度要低一次 環境的維數是2 所以這個集合的維度就是2-1等於1 那在三維空間裡 我們看這條線段 用delta的三維盒子覆蓋 就會加粗成一個半徑為delta的細管 所以它的體積大約是長度乘以delta平方 所以意思是它的維度比環境的維度要低兩維 那算一算 環境3-2還是等於1 確實沒毛病 如果是一塊三維當中的平面板子 用delta的小盒子覆蓋之後 這些盒子的體積就等於這個板的面積乘以delta 你看 指數上是1次 說明它的維度比環境的維度低一次 如果是一個三維實心的物體 那麼當我們把這個盒子縮得越來越小時 這個覆蓋的體積在delta越來越小時的極限 不會趨近於0 而是接近於這個物體在三維當中的直接的體積 是一個常數 而常數就是0次方 這意味著它的維度是3-0等於3 這個物體已經充實了整個空間的所有維度 是三維的 所以在這種更一般也更嚴格的維度定義下 我們想要知道一個圖形的維度比環境的維度低多少 就是要計算 用越來越小的盒子去覆蓋住這個集合時 所有尺寸為delta的盒子一共蓋住的體積 在極限的意義下 是不是能夠以delta的某個正數次方衰減到0 如果能 那麼那個次方數就是維度的差異 嚴格來說其實還有豪斯多夫維度等等 它比合維度更靈活也更複雜 我們這裡不展開 那接下來我們終於可以說一說 三維掛骨猜想到底在問什麼 剛才我們說過 三維空間當中的光滑曲面為數是2 門格海綿的為數大約是2.727 而一個實心的立方體或者球 維度是3 那麼一個體積為0 卻包含所有方向單位線段的掛骨集 到底屬於哪一類呢 它到底和曲面一樣 本質上是一個紙片人 是很多近似的二維薄片經過極端複雜的拼接 還是說它類似於一個分形 為數在2到3之間 比如說2.7或者2.99 還是說它其實幾乎是實心的 維度等於3呢 這就是三維掛骨問題 對應的三維掛骨猜想說 任何三維的掛骨集合 它的維度都必須等於3 也就是說它可以沒有體積接近於0 但它卻不能失去任何固定數量的維度 哪怕是2.999都不行 這就是三維掛骨猜想的嚴格表述 它懸置了一百多年 直到2025年被王宏和扎爾證明 原始證明長達127頁 王宏後來在北京大學用三天來講了這套證明 所以我們今天不可能展開完整的技術細節 只能給大家展示一下 二維裡如何證明這個維度一定等於2 以及這種方法為什麼在三維失效 王宏等人又是如何解決這個失效問題的呢 那要分析這個問題 我們首先要把看的顆粒度搞粗一點 剛才說過 分析維度需要用一個很小的Delta的盒子去蓋住它 所以我們可以選擇一個很小的Delta 那當方向的夾角小於Delta時 在這個精度下可以被暫時視為同一個方向 在二維當中 所有的方向圍成一個圓 所以大概有π除以Delta的間隔為Delta的方向 那當我們用Delta的寬度去覆蓋每條單位長度的線段之後 每個線段就會被加粗成一個寬度為Delta 長度為1的管子 我們把它叫做Delta管 每根管的面積大約是1乘以Delta 也就是Delta 而一共有大約π除以Delta根 所以所有管子的面積之和約等於 這是一個跟Delta無關的常數 所以原來的掛骨問題 被翻譯成了一個擺放管子的遊戲 有好多根管子 面積加在一起等於一個常數 現在我想讓這些管子盡可能多的重疊 問它們的並集面積最大能壓縮到多小呢? 只要證明這個面積趨近於0的速度 不會快過任何一個密函數Delta的y次方 那我們也就證明瞭 它和二維空間之間的維度差異 小於任意小的正數y 我們就證明瞭 二維的掛骨集的維度必須是2 該怎麼證明呢? 我們可以給空間中的每個點x標記一個整數mx 它表示這個點同時被多少根管子覆蓋 叫做這個點的重數 比如說這個位置只有一根管子覆蓋就是1 那這個位置比較受寵有四根管子 所以它的重數是4 每一個點都有一個這樣的函數 這個函數有兩個很神奇的性質 第一 所有位置的重數加起來 準確來說是積分 一定等於所有管子的面積之和 為什麼呢? 假設某塊區域的重數是3 就意味著它疊加了三層 被三根管子都分別計算了一次 所以我們可以把這部分面積一分為三 把三層分別給覆蓋的每根管子分配上 你就會發現 其實所有重數的求和 就跟在計算所有管子各自不重和的面積求和是一樣的 第二個特性是 我們如果把每個點的重數平方加在一起 學名是積分 就會得到所有管子之間兩兩交集的面積的求和 這是因為 對每一個點的重數平方之後 相當於在這個點考慮了覆蓋它的所有管子的兩兩組合 比如說重數等於3被T1 T2 T3覆蓋 那麼平方之後的9 就代表這個地方計數了T1到T3 所有9種兩兩相交的可能 那接著我們就可以來分析了 設E為整個管子並集的面積 那麼我們可以根據科西布等式得到這樣一個表達式 在E的區域裡以E的權重積分 就能得到這個集合的面積 一項整理一下 你就可以得到這個式子 它是證明的關鍵 叫做Cordova Type L平方Argument 給看不懂公式的人大概解釋一下 左邊是整個圖形所有管子並集的面積 也就是我們要證明衰減很慢的東西 右邊的分子是所有管子的面積之和 我們說過它是一個常數 因為它基本上就是分了一個圓形的面積 而右邊的分母 表示我們統計所有管子兩兩相交的面積 全部加在一起 注意這裡不排除兩根管子是相同管子的情況 直觀上來說 這個式子告訴我們 只需要證明這些管子的重疊程度沒有那麼高 那麼兩兩相交的面積求和也就不會太大 也就是右邊的分母不大 此時整個式子就不會太小 也即所有管子的並集面積不會太低了 這個邏輯說白了 就是管子的總面積一定 如果重疊的程度不大 那麼大家一起覆蓋的總面積也一定不會太小 困難在於 該怎麼深刻的分析這個二維平面的集合結構 證明這個分母 也就是兩兩重合的求和不會太大呢 該怎麼證明呢 我們可以先固定一根二維管子ti 考慮其他管子和它相交的面積之和 另一根管子和它的夾角如果是θ 而它們都是寬度為Δ的長條 能夠重疊的面積是多大呢 這是一個簡單的初中幾何題 它的高是Δ 而這個平行四邊形的底邊是Δ除以sinθ 在θ很小的時候 sinθ就約等於θ 所以這個面積就可以近似寫成 ΔxΔ除以θ等於θ分之Δ的平方 那這個方向以Δ為間隔排列 我們可以把夾角寫成θ約等於kxΔ 其中k從1 2一直到Δ分之1 嚴格來說應該是Δ分之π 但我們只關心量級 所以寫到1就行了 那最後呢 第k個方向的角度管子和它這根ti重疊的面積 就約為kΔ分之Δ平方 也就是k分之Δ 所以固定ti 我們把所有其他方向的管子 與它的相交面積加在一起 就會得到 其實是本質上是Δ乘以k分之1的球合 這是一個非常經典的這個球合 它大概有Δ乘以logΔ分之1 這樣的一個面積 我們說過二維當中一共有約Δ分之1根管子 那麼把剛才的這個球合再乘以Δ分之1 就可以得到全部的管子兩兩配對之後 這個交疊總量 那麼它大概就是logΔ分之1這個量級 最後 代入到我們一開始的那個柯西不等式 就會得到這個式子 這已經足夠證明結論了 當Δ趨向於0時 這個式子logΔ分之1分之1 雖然也趨近於0 但它卻下降得極其緩慢 對於任意固定的ε大於0 它下降的速度都不會比Δε次方更快 它的下降慢於任何一個冪函數 而我們說過 你如果想要說明它的維度嚴格小於2 那麼你必須要證明 這個隨著Δ減小的過程 你的並極的面積縮小的速度 必須達到Δ的某個ε次方 但現在面積卻比任何一個正的冪次下降的都慢 所以根本沒有留下任何固定的維數缺口 平面掛古級的Minkowski維數只可能是2 證明完畢 以上就是Davis在1971年完成的證明 是不是還挺神奇的 一個平面的集合 面積趨近於0 但它的維度卻依然是2 它沒有二維的面積 卻保留了完整的二維尺度的複雜性 但是在三維中 這個方法就失效 如果用同樣的方法分析 只能得到三維掛古級的維度至少是2 為什麼二維的方法失效了呢 我們考慮一個極端的例子 讓所有不同方向的管都經過圓點 所以在圓點附近一個半徑為Δ的小球 就會同時被約Δ平方分之一根管子覆蓋 那裡的重數平方非常的大 立刻能夠達到Δ的四次方分之一的量級 而這個小球的體積是Δ三次方的量級 因此單單這個小球 就能貢獻Δ的三次方乘以Δ的負四次方 約等於Δ的負一次方的重疊體積 所以分母一下子就變得很大 整個式子出現了一次方的衰減 也就因此損失了1的維度 但這其實只是我們用科西不等式放縮不合理的問題 我們把重疊程度估計的太大 這些點離開圓點之後 立刻會朝各個方向散開 它們整體重疊的程度其實遠遠沒有那麼高 並極是非常發散的 體積一點都不小 是一個常數 科西不等式的L平方推理 把在一個極小的區域當中短暫的交叉 當成了非常嚴重的壞的重疊 所以這個估計非常非常的鬆 它無法區分 一根管子只是偶然的在某一個局部密集的重疊 整體是發散的海膽 還是說它們有著非常多非常複雜的交叉 在各種尺度裡都有著複雜的交疊 重疊的面積很大 1990年 Wolff發現 如果管子兩兩重疊的總量很大 那麼平均下來一定存在某一根管子 與其他大量的管子發生了明顯的相交 那麼固定這根管 他把它叫做抓柄 而所有與它相交的管子就是刷毛 這種結構叫做Hairbrush 起名毛刷也非常的形象 在二維裡 一根刷毛和刷柄的夾角 就會基本決定它的方向 但是在三維當中 除了這個夾角之外 刷毛還可以繞著刷柄額外的旋轉 這個額外的繞軸的方位角 正是三維方向技術所多出來的那一維 也是剛才樸素的L平方方法失效的幾何根本 如果刷毛向很多平面展開 就會產生三維的體積 而如果刷毛只集中在少量的平板當中 又會接近違反一個叫做非聚集性條件的性質 平衡這兩個方面 Wolff把三維掛鉤級的維數下節推進到了2分之5 這是一個里程碑 但距離三仍然有整整0.5個維度 在Wolff把下節推進到2.5之後 2000年 Borgan邁出了關鍵的一步 他發現掛鉤問題可以歸約成一個加法的組合問題 把它和算術組合學連在了一起 順著這條路 同年的卡茲、瓦巴和陶哲軒三人 證明瞭三維掛鉤級的Minkowski維數 至少是2分之5加上一個c 其中c是某一個固定但是很小的正的常數 經常有互聯網上的科普說什麼 陶哲軒把這個維度提高了0.0000001 算是怪唬人的 但其實原論文根本沒有給出具體的量級 根本沒說這是10的負9次方 這裡我要在這屁個搖 此外 他們還發現 維數接近於2分之5的掛鉤級 必須滿足幾個很強的結構性質 分別叫做平面性、顆粒性和粘性 而最後的這個粘性sticky 正是十幾年之後 王虹和札爾攻堅的對象 隨後 Guth的多項式方法 以及Katz和Zell的進一步工作 又推動了豪斯多幅維數的下界 但能不能達到3 依然是一個未解之謎 那麼王虹和札爾到底做了些什麼呢 總的來說 他們先分析了一類特殊情況 就是剛才所說的sticky 直接翻譯來說就是粘的 它到底粘在哪呢 一句話大概就能說清楚 那就是方向相近的管子 在空間當中的位置也必須相近 這句話可不是理所當然的 一個一般的掛骨機 完全可能讓兩根 方向非常非常接近的管子 卻一根在東邊一根在西邊 方向很近 但位置卻差得很大 而sticky禁止這種情形 它要求方向近的管子 一定在位置上是接近的 所以呢 這個整體就會出現一個 像分形一樣的結構 一個粗的管子裡 包含了大概這個方向的所有的細的線條 而如果你把這個方向的約束縮得更小 你就會看到在這其中 包含著一根更細的管子 這樣不斷向內 這就是sticky的涵義 定量來說 就是你如果先用rho半徑的管子 覆蓋了一些方向的線段 再觀察其中距離更相近的 差別為delta的管子 那麼這些管子的數量 在rho當中應該是有 delta分之rho平方這個量級 這就是sticky的涵義 它表示在粗的方向裡 進一步看有更細的小的分岔方向 層層疊疊像樹一樣 如果有一堆管子 它們整體是sticky的 那麼三維的掛物猜想就一定成立 這叫做Sticky Kakeya Theorem 接著第二部分的收官論文 是在去年2025年完成的 如果有一堆管子形成了一個很壞的反例 那麼經過一系列多尺度的整理之後 它必須越來越接近於這種sticky的結構 於是整個邏輯鏈條就變成了 如果有一個很壞的反例 那麼它必須是sticky的 但他們已經證明瞭sticky不可能是反例 所以反例是不存在的 就完成了證明 JK條件下的掛骨基定理本身依然非常深奧 王宏使用了很多調和分析當中的手段來解決它 偏符合難度所限 我們這裡不做展開 要知道 掛骨問題和調和分析的淵源非常深厚 Charles Fiffman 1971年 就用貝奇科維奇的那個集合 否定了一個叫做球形成子在LP上有界的這個猜想 而王宏自己在解決三維掛骨猜想之前 也已經在調和分析幾何測度論 以及相關的Kakaya問題上取得了多項重要的成果 是調和分析領域備受矚目的青年數學家 要知道調和分析有四個重要的猜想 分別是限制性猜想 三維掛骨猜想 Boschner-Rist猜想 以及局部光滑性猜想 而王宏在這四個問題上的研究成果 都是最前沿做得最好的數學家 那說回到王宏等人的證明 這個定理的證明歸約到最後 矛盾的根源部分來自於一個基本的數學事實 就是一個數字集合 不能同時在加法和乘法下都比較封閉 什麼意思呢 比如說你考慮一個等差數列 從這個集合裡任意取兩個數字求和 只有大約2n個元素 非常非常的小 但如果你把它們取一個乘積的集合 就會增長得很大 一共有接近平方個不同的數字 但是如果你反過來考慮一個等比數列 那麼它的乘積集合依然只有大約2n個元素 因為對於等比數列來說 乘法就是在指數上做加法嘛 但如果你把它們兩兩求和 這個求和出來的數字 就會有接近平方個不同的結果 比如說這裡在實境之下 四位數裡有兩個是1 其他都是0的所有數字都是可能被加出來的 所以你就會發現 一個集合裡的數字兩兩相加所得到的結果 和它們兩兩相乘的結果 不可能都很少 一定有一個集合是比較大的 這個叫做sum product現象 也就是和極與積極不能同時很小 Borgan的論文最早提出了這個機制 王洪·扎爾之後的論文 同樣利用這個重要的組合數學事實 證明瞭不會有各種尺度的細管 都擠在不足三維的空間裡 因為這將導致重疊數爆炸 和的集合和乘積的集合 都必須很小 而這是不可能的 重度的細節原諒我無法在這期視頻裡展開了 所以三維掛骨猜想最終告訴我們 一個集合可以沒有任何三維的體積 卻必須擁有完整的三維的維度 它在體積意義上可以小到幾乎什麼都沒有 但是無論把觀察的尺度縮到多小 它的複雜程度都不能真正的降到二維 不是一系列薄薄的紙片 對於中國人來說 王洪和鄧宇站上費爾斯獎的領獎臺 是一件足以令人自豪的事 它更重要的意義是讓我們看見 從中國的課堂上成長起來的年輕人 也可以走到人類知識的最前沿 在世界共同的知識地圖上填補上一塊空白 我覺得這也給了我們一種踏實的信心 我們的學生也可以提出世界級的問題 我們的基礎教育也可以培養出世界級的學者 我們也有能力為整個人類創造前所未有的新知識 我希望這種信心 最終變成對於教育的尊重 對於人才的珍惜 以及對於基礎研究更長久的耐心 一個懸置了一百年的問題 不可能依靠一次短期的計劃衝刺去解決 它的背後是幾代數學家的接力 是允許失敗的研究環境 也是一個社會願不願意為那些暫時看不到回報的探索 留下足夠的時間和空間 讓學者自由的思索 接觸世界最前沿和重要的問題 說到這裡我知道很多人可能會問 這是普通人經常會有疑惑的地方 因為剛才的這些知識 看不出來在我們的生活裡能有什麼影響 但問題在於 我們常常把有用理解得過於狹隘 好像一項知識只有立刻變成產品 提高產量或者賺到錢 才被擁有意義 解決一個百年難題 就像攀登一座人類智力的高峯 登頂不能解決溫飽 但從此以後 我們知道這座山可以被登上 也知道通向山頂的道路是什麼 這種對於未知的好奇 對於真理的追問 以及挑戰人類思維極限的願望 本身就是科學誕生的原因 也是文明之所以不只滿足於生存 而要不斷理解世界的原因 此外 在這種登山的途中所發現的風景 獨特的山體結構 為了登山而發明的工具 都是挑戰困難的數學問題重要的副產物 很多時候 這些副產品的價值 會比原本的這個問題更大 比如說 為了研究一元五次方程為什麼沒有根式解 Galois提出了群論 在當時甚至沒有人能看懂 而這套理論 最終成為了無數現代數學 甚至是理論物理和凝聚態物理 至關重要的基礎概念和工具 為瞭解決哥德巴赫猜想 所提出的分元法 也成為瞭解析數論極其重要的技術 滋潤和啟發了無數其他領域的研究 那就算我們再說回到實用意義 像數學這樣的基礎研究 不一定會在將來帶來一項改變世界的技術 但反過來 無數重要的技術 在當初做基礎研究時 也沒有人預料到將來 它會有這樣的價值 黎曼在十九世紀研究彎曲空間的時候 不可能預先知道 幾十年後 愛因斯坦會藉助 由此發展出來的幾何語言 來描述彎曲的時空 並發現廣義相對論 更不可能知道 再往後 人類每天都使用的衛星導航系統 必須要使用相對論 對衛星時鐘的時間進行校正 還有布爾 他原本研究的是思維規律 看起來像是一種極為抽象的邏輯遊戲 但將近一個世紀之後 香農發現 布爾代數恰好可以用來分析 繼電器和開關電路 今天計算機當中 由真和假、一和零組成的數字邏輯 就沿著這條道路發展而來 直到形成了我們今天複雜的計算機和人工智能 1917年 數學家拉東研究了一個 看起來極其無聊和抽象的問題 如果我們只知道一個物體 從許多不同方向投影下來的影子的深淺 能不能反過來恢復它內部的結構呢 幾十年後 這類當初看來無聊的投影繁衍的數學問題 竟然成為了計算機斷層成像 也就是CT重建的重要理論基礎 幫助醫生在不開刀的情況下 就能看見病人體內的病竈 挽救了無數的生命 如果我們要求每一個問題在立象之前 都必須準確地寫出幾年之後它的產品用途 那麼黎曼幾何、布爾代數和拉東變換 很可能在最初就根本得不到支持 今天也就不會有CT、計算機 也不知道宇宙有如此深邃的時空結構 極其功利和不允許犯錯的研究 只會造就亦步亦趨的平庸 空洞的吹牛和精英權力關係的利益鏈條 偉大的發現往往來自於純粹的好奇和求知慾 我也相信 只要公平地給有才能的青年才俊分配空間和資源 給足探索的自由、閒暇和高水平的引導 中國的基礎教育和人才基數 完全有機會獲得更多費爾茲獎這樣的成果 以上就是這期視頻的全部內容 這期視頻製作實在不易 如果你覺得有趣和有收穫 希望你能夠點贊支持一下 如果你周圍還有很多想要了解 這次費爾茲獎內容的人 也可以轉發給他 如果你想看到更多這樣精彩的內容 一定記得點贊關注夢一路 下一期我們就會來講鄧裕他的工作 我是曼仕 一名畢業於清華搖班的人工智能博士生 曼仕陳思路 學海洋不辛苦 我們下期再會