【漫士】AI怎麼讓NS方程爆炸的？流體力學不存在了？

這一天終於還是來了 AI解決了人類最難的一批數學問題 千禧年大獎難題裏的 納維爾斯托克斯方程問題 美國時間2026年9月8日 OpenAI發佈了一篇文章 聲稱他們最新的內部模型 調用了上萬個agent 運行了88個小時 消耗了1300億輸出的token 上千萬美元之後 最終找到了流體力學經典的 納維爾斯托克斯方程 在有外力條件下 有限時間內的爆破解 你現在可能還聽不懂 但沒有關係 聽完這期視頻 你就會明白 它爲什麼重要 到底有多難 AI這次解決NS方程的分量 到底有多大 以及AI大概是怎麼構造出 這個問題的反例的 視頻比較長 但真的很乾貨 希望你能看到最後支持一下 點贊收藏 數學啓動 我們每天都會泡在流體裏 空氣和水都是流體 血液也是流體 因爲會流動 所以它們的演化 紛繁複雜 變幻莫測 攪一杯咖啡 牛奶會拉出一條條捲曲的絲 把一根香菸 立在沒有風的房間裏 煙柱先是筆直向上 升到某個高度 會突然散成一團亂麻 風出過電線 電線會嗚嗚的唱歌 海島下風出的雲 會排成一串左右交替的漩渦 綿延幾百公里 就像研究形狀不變的小球和滑塊一樣 我們也可以研究這些流動的流體 這門學科就是無數工科生 大二都會學到的流體力學 不必被名字嚇到 流體力學是19世紀的物理 那時候的物理相對來說還挺簡單的 接下來我們講完 你就會發現 本質上就是簡單的牛頓運動定律 流體力學有一個非常基礎的假設 那就是它是一個連續的場 這裏沒有分子 只有無限精度的流體 在任何一個時刻t 任何一個位置x 都會有一個速度u,x,t 它是一個關於位置和時間的函數 你可以想象 在流動的水面上 撒一把細碎的粉末 任何一個t的瞬間定格 我們可以觀察每個位置的粉末 往哪個方向 以多快的速度飄 這就是那個位置的速度 每個位置都有自己各自不同的速度 所有的速度拼在一起 就形成了一個速度場 Velocity Field 只不過 這些速度不能隨便亂設置 那樣會違反基本的物理定律 那我們接下來介紹的 這個納維爾斯托克斯方程裏 就有一個重要的前提 隨便選一個很小的區域 比如說這個小正方形 那麼任何時刻流進去的流體總量 需要總是等於流出來的總量 這是因爲流體是不可壓縮的 這個小格子裏 必須總是有相同總量的流體 你流出去多少 就必須進來多少 數學上 這有一個專業且簡潔的寫法 叫做u的散度是0 散度這個東西 學過多元微積分的同學比較瞭解 那給不懂的觀衆解釋一下 在一個場裏 我們可以關注這樣一個小方格 液體會從四面八方進入和出去 如果左邊的水平流速慢 右邊稍快 那麼在水平方向上 這個格子就會入不敷出 方格內部的流體總量減少 那豎直方向同理 如果上方往上的流速較慢 而下方往上較快 那麼豎直方向就會進入流體 我們要求任何小格子 總是收支平衡的 也就是流入總是等於流出 或者說總流出總是等於0 這個總流出的速度 我們剛纔計算時已經說過了 水平方向流出的速度 等於右邊的水平速度 減去左邊的水平速度 爲什麼只看水平速度呢 因爲在一定時間內 流入這個方格的水流 它是一個平行四邊形 它的流入量正比於面積 而這個面積 它的高 僅僅跟左邊的水平速度有關 那同理 豎直方向上 則是上面的豎直速度 減去下面的豎直速度 在尺寸無限趨近於0時 就分別變成這個流速 長u的速度x分量對x求導 和y分量對y求導相加 這就是散度的表達式 我們要求它等於0 雖然我們分析的是一個很小的正方形 在尺寸趨於0的極限 但最終的結果是針對一個點的 所以只要每個點都滿足 散度等於0的條件 那麼任意形狀的小區域 把它們拼到一塊 公共的邊界就會相互抵消 最後就是整個區域的邊界出入平衡了 流體不生不滅 只是在不同的位置被搬運 這個假設大體上來說沒什麼問題 但也不是完美的 因爲絕對的不可壓縮 意味着一點突然的振幅 就可以瞬間沿着整個流體傳遞 換言之 在這種流體裏 聲速是幾乎無限大 這顯然是不合理的 流體還是有一定的壓縮性 這也是激波等現象出現的重要機理 只不過在相對比較溫和 緩慢的短時間流體運動來說 這個約束還是非常合理的 接下來我們來扮演上帝 模擬整個世界的運行 如果我們知道某一個時刻的流速場u 很短時間delta t之後 它會按什麼規律來變化呢 這個問題看起來很複雜 因爲平面上每一個點都有自己的流速 而不同的流速之間 還會有非常複雜的力學相互作用 但其實這就是一個簡單的 牛頓力學的受力分析 取一團很小的流體局部 它的體積是dv 那麼這一小塊的質量m 就是它的密度乘以體積ρdv 當它受到一個核外力F時會有加速度 因此就有F等於mA 這就是牛頓第二定律 其實NS方程底層 就是這麼一個牛頓定律的意思 只不過它對這個空間的每一個點都成立 空間的每一個點有各自的外力F 因此也有着各自不相同的加速度A 我們先來看這一小團流體速度瞬間的變化量 t時刻它在原來x的位置 所以速度是uxt 到了t加dt的時刻 它的位置變化了dx變成x加dx 根據速度場的定義 此時這一小團水的速度就是ux加dxt加dt 這個過程中 速度變化量是ux加dxt加dt-uxt 把它再除以dt時間就得到加速度A 好了 問題來了 dx到底是多少 我們又該如何計算這個差呢 我們可以在中間搭一個橋樑 那就是x這個位置在t加dt時刻的速度 uxt加dt 先減掉再加上它 整個差一共變成兩項 先看後面這項 它是x不變 做差比較的是很短的時間dt之後 同樣的位置區域x裏流體速度的變化 這個在dt很小的時候 寫成偏u除以偏t 它和求導的d差不多 但是因爲u是一個依賴多個變量的函數 位置和時間 這裏只對時間求導 在幾何意義上理解 就相當於在這個多元函數的區面上 固定某個座標是定值 用得到一個平面與區面相結 得到一條函數區限 再在這根區線上求導 這被稱作偏導數 所以這類方程也被稱作偏微分方程 還有一項 這一項時間相同都是t加dt 也就是過了一小段時間的同一個瞬間 只不過現在我們考察的是 在那個時刻 這一小團水所在的x加dx位置的速度 比這時的出發點x的速度差了多少 我們先來解決一個小問題 dx是多少呢 因爲dt這段時間很短 所以我們可以認爲 在這一小段時間內 小流體是勻速前行的 速度正是一開始的速度uxt 所以dx也就等於uxt乘以dt 代入一下 這個分子就變成了 ux加u乘dt t加dt 減去uxt加dt 這麼個複雜的東西該怎麼算呢 注意 在同一個時刻的整片流程裏 如果你放大進入局部 就會發現其實速度上的變化很平緩 這跟放大進入函數的局部 什麼函數都跟直線一樣 是同樣的道理 所以當我們沿着任何一條直線段移動時 就會發現速度會穩定線性的變化 不斷勻速加上某個方向的向量 那麼我們只需要把dx分解成 橫縱座標的位移 再看看沿着這兩個座標軸 速度會分別怎麼勻速變化 加到一塊就行了 線性代數比較好的觀衆就會注意到 這其實就是速度乘u求雅可比矩陣du之後 再乘以輸入向量dx等於uxdt的結果 把分佈上的dt約掉 整體在符號上就計爲 先對u求t度再沿着u的方向內積 好 費了這麼大的功夫 我們終於搞清楚了 NS方程左邊的兩項 其實就是想說任何一小團流體的加速度 這個也叫做物質加速度 右邊的這三項自然就是這個流體所受到的力了 它一共有三項 第一項是壓強的t度力 如果這團流體一邊壓強大一邊壓強小 那麼它就會受到一小股推力 這就是導致流體流動的重要原因 我們在這裏又看到了這個倒三角符號 它讀作nub了 含義是求t度 你可以把不同的位置壓強想象成海拔 那麼整個場就變成了高低起伏的地形 在每一個位置都會有一個方向 沿着它移動相同的距離高度上升最快 這就是這個壓強地形圖的t度向量 局部越陡峭 這個t度向量就越大 將t度取反 就可以得到推着這個點流體移動的力 如果流體完全不受外力 又光滑沒有粘性 那麼現在的方程就足以描述流體的運動了 這個方程也有響噹噹的名字 那就是歐拉方程 Euler equation 有了它 我們就可以一幀幀的模擬整個世界 某一個時刻t 整個空間內的速度場是u 我們可以根據壓強波松方程算出壓強場 接着算出每個點所受到的力 經過一個極小的時間間隔 讓每個局部的流體 沿着當前的速度移動一小段 同時速度會因爲受力發生微小的改變 這就會得到一個新的速度場 不斷重複 我們就能用數學計算的方式 模擬出自然界流體的演化了 只不過如果只是這樣的方程 還是會有不現實的地方 比如說一個簡單的漩渦 它將永遠這樣旋轉起來 不會停下 這正是因爲我們假設這個流體是沒有粘性的 所以能量不會有任何的耗散 實際的流體會在運行中受到摩擦 漸漸停下來 想象一下有兩層水流 一層速度快一層速度慢 那麼它們就會發生相對摩擦 對於經典的牛頓流體 摩擦力正比於兩者的速度之差 這就是流體的粘性 不同的流體會有不同的粘性強度 用一個係數nu表示 比如說蜂蜜的粘性係數就要比水大得多 在局部 一小團流體和周圍所有流體的相對速度 就可以寫成一個正三角形 它叫做拉普拉斯算幅 衡量的是某一個點的速度 相較於它周圍一圈相鄰速度的平均差了多少 除了壓強梯度帶來的壓力 和流動的粘質阻力 有時我們還會考慮環境的外力 比如說重力或者人爲的角動 把這些一起寫入到一般的外力函數f中 現在的方程就把流體裏所有的要素都考慮了進去 沒錯 這就是大名鼎鼎的納維爾斯托克斯方程了 有了這個方程 我們就可以模擬整個世界 每次根據當前的流速和方程 計算一下很短之後的下一個時刻流速的長 再在下一個時刻根據流速長模擬它的演化 如此不斷迭代 就運行起了整個流體力學的仿真模擬 這樣說完 你就會發現NS方程其實本質上很簡單 就是一個局部微圓的牛頓力學 但作爲比電燈泡還古老的學科 流體力學卻是今天物理學搞不定的領域之一 據說費曼就曾經說過 湍流是經典物理學裏最後一個還沒有解決的問題 爲什麼會這麼難呢 因爲這個看似簡單的偏微分方程 真的在電腦裏運行迭代起來 其中蘊含了無窮無盡的複雜變化 各種不穩定現象和混沌層出不窮 比如說當水平的層流吹過一個圓形 引入了粘質係數之後 就會在尾部出現來回搖擺的現象 擺出正正反反整齊的漩渦 這種漩渦在真實世界裏比比皆是 這就是卡門窩階 再比如說讓一團流體突然穿過一個圓孔 會自動捲成一個菸圈 兩個菸圈追逐還會互相穿越 把入口的速度調高一點 流動會從整齊的層流突然崩潰成爲湍流 就像煙柱在半孔當中散掉亂掉一樣 事實上 飛機射擊 天氣預報 血管裏的血流 工程師們天天解的都是這個流體力學方程 現在我們瞭解了NS方程到底是什麼 知道它爲什麼複雜 又可以模擬各種流體力學的現象 那接下來就進入正題 那就是千禧年大講難題 NS方程的光滑節 啥叫光滑節呢 大白話說 就是這個流體的演化過程 是不是可以一直用這個方程良好的描述 會不會到某一個瞬間 這個方程突然自己壞掉 在某一點搞出了無窮大的速度 精確一點來說 光滑節就是一個處處有定義 處處可以求導 想求多少階道都可以的速度場 物理上講 就是速度處處有限 變化頻緩 沒有任何一點的速度是無窮大 爆破 blow up 就是光滑節在某個有限的時刻崩潰了 某個地方的速度或者速度的變化率 在那一刻衝向了無窮 有一個最簡單的例子 可以幫我們理解什麼是光滑節 什麼是爆破節 我們知道 如果一個函數求導等於自己 那麼它就是k乘以e的x次方的形式 那如果我們把導數等於自己 改成等於自己的平方 再設置初始值爲1 這是什麼函數呢 你可能會覺得 哎呀不就是增長的速度快了一點嗎 原來函數值爲2的時候 斜率是2 現在改成48了 但是這個函數就是一個經典的爆破節 如果你模擬它的過程就會發現 它會在自變量接近於1的時候 猛然爆炸到無窮大 然後在x等於1這個位置 變成沒有定義的起點 singularity 用一些簡單的微分方程的方法 可以理解發生了什麼 把dy和y平方合到一起 dx放到一邊 兩邊各自積分 你會發現一邊是-y分之一 一邊是x減去一個常數c 所以我們就得到了函數形式 是1除以c-x 代入x等於0 y等於1 你就會知道c等於1 所以這個函數其實就是1-x分之1 在x等於1這個位置爆破了 英文術語叫blow up 炸了 很形象對吧 一旦爆破 就意味着數字達到了無窮大 原來的方程失效了 無法繼續向下延伸 而不爆破就稱作光滑解 顧名思義 就是沒有突然的尖刺 爆炸到無窮 數學家們關心ns方程 會不會也存在爆破的情況 還是說我們可以證明ns方程 會是光滑的 從這個小例子 我們就可以看到 當增長的速度正比於y的平方 而不是y本身時 系統就會在有限的時間裏 耗盡全部的未來 而ns方程恰好有這個結構 裏面的非線性項是速度乘以速度 也是平方形的 速度越大 速度變大的速度也就越大 抵抗爆破的粘性項則是線性的 它抹平的能力和速度成正比 一邊是平方形的自我放大 一邊是線性的耗散 到底誰會贏呢 上世紀數學家有了一些進展 他們成功的證明了二維空間裏 初始光滑解的流體 會在演化中一直光滑 不會爆破 但是三維空間當中的情況 則一直沒有解決 2000年 飛福曼替克雷研究所 寫下了正式的題面 一共給了四個選項 證明其中任何一個 都算解決ns光滑解問題 A 在整個三維空間裏 任給一個光滑 衰減的足夠快的初始速度 不施加任何歪理 存在一個永遠光滑 能量有限的解 B 同樣的陳述 但是把流體放到了一個 週期性的盒子裏 就像貪吃蛇那樣 到了最右邊 就傳送到最左邊 穿過下面就回到上面 也就是在一個三維環面上 一直是光滑解 C 在整個三維空間裏 存在某個光滑的初速度 和某個光滑的歪理 其中還要滿足一些衰減條件 使得不存在永遠光滑 能量有限的解 D和C差不多 同樣是把位置 換成了週期性的盒子 你可以理解這四個情況 有兩個維度 其中AC和BD是空間維度 也就是傳統的歐式空間 或者是貪吃蛇的甜甜圈空間 而AB和CD是外力維度 AB完全沒有外力 而CD允許使用一些 光滑有限衰減的外力 來攪動流體 之所以要求光滑 是因爲如果去掉這個要求的話 我們就可以隨便手動 構造一個會爆破的過程 然後對着鍵畫靶子 反過來把整個過程中 需要的動力定義爲外力 那這個問題就變成頻繁的了 只不過 代價是這個外力可能非常病態 高度不連續 而且它自己本身就會爆破 NS方程的CD選項就是在問 能不能只用有限且光滑的外力 卻能讓流體爆炸出起點 初看下來 似乎有些很簡單的理由說明 NS方程能一直保持光滑而不爆破 想象一下 一堆小球在一塊亂碰 而且彼此之間還有摩擦力 那麼 它們不應該理所當然的越來越慢 最終整體趨於平靜嗎 這個思路用數學一點的說法就是 整個系統的能量是有限的 同時 流體的粘滯性又在不斷的耗散 這個系統的能量 那麼應該會一直光滑 但是面對連續的流體 情況會變得很複雜 流體的經典表現 就是各種大大小小的複雜漩渦 和伴隨而生的複雜湍流 不斷放大進入 你會看到一個大漩渦帶着流體轉 轉動的差異 會在它身上搓出小漩渦 小漩渦又搓出更小的漩渦 三維空間裏的NS方程 有一個很特別的性質 你看 如果一個流速場U的演化 滿足這個方程 那麼把空間縮小λ倍 時間縮小λ平方倍 速度放大λ倍 得到的λU,λX,λT 也是一個完美滿足流體演化的解 算一下新的解的總動能 是原來的λ分之一 也就是說 一個完全相同的運動模式 比如說一種漩渦 它在越來越小的尺度上重複 你只需要把它縮小 同時速度加快 你需要的能量反而是越少的 而我們一開始就說過 流體從一開始就假設了 連續且無限的精度 所以流體經常會出現一些 自相似分形的情況 在越來越小的尺度上 不斷出現類似的漩渦結構 不同尺度的漩渦 還會形成一種密率的分佈 這意味着 起點可能出現在一個 非常非常小的局部裏 不需要太多能量就會產生 2014年 陶哲軒把NS方程的非線現象 做了一點平均化 保留了能量守恆之類所有的軟性質 然後證明這個平均化的方程 依然會在有限時間內爆破 這等於告訴所有人 任何只依靠能量守恆 這類通用手段的證明線路 都是死路 想要證明這個解一直光滑 必須要用到NS非線現象的 某種精細的結構 而反過來 想要證明它爆破 也不容易 你得親手造出一個 在有限時間內飛向無窮的解 而且要在粘性拼命抹平的情況下 創造出來 NS方程底層一個 極爲複雜的另一個原因 就是三維空間本身的幾何特性 二維的流體和三維的流體 有着非常本質的不同 我們說過 數學家早在上個世紀就證明了 NS方程在二維空間中 一直會保持光滑 但三維的情況下 原來的分析完全失效 因爲三維裏的渦管可以被拉長 想象有一個轉着的水柱 兩頭被拉伸它會變細 而根據角動量守恆 它轉得會更快 跟花樣滑冰運動員收回手臂 會加速旋轉是一個道理 轉得更快 它就會在周圍挫出更強的剪切力 把別的渦管也拉得更長 這個叫做渦拉伸 只存在於三維及以上的空間 前面播放的煙柱崩塌形成湍流 靠的也正是這種機制 在三維湍流裏 能量不斷從大渦傳給更小的渦 最後在最小的尺度上被粘性吃掉 這個集聯是離不開渦拉伸這個機制的 二維的流體雖然也能變得很混亂 但因爲沒有渦拉伸 能量反而傾向於往大尺度的渦裏匯聚 表現是完全不同的 那麼接下來終於輪到故事的主角 OpenAI用了一個尚未發佈的內部新模型 官方說它明顯強於目前的GPT-6 Astra 8月28日纔開始訓練 公佈結果時訓練還在繼續 就是這樣一個模型 力大磚飛 居然真的找到了NS方程會爆破的反例 也就是說 在克雷研究所所給出的四種解決答案中 他們最終完成了C這個選項 又因爲整個構造都被限制在一塊有限的區域裏 把它原樣放進週期的盒子 就順帶解決了D的情況 也就是說 存在這樣一個神奇的流體過程 在一開始完全靜止 推動它的外力有限而且光滑 只在一塊有限的區域 一段有限的時間內起作用 這個外力連同它的各節導數 甚至都會趨近於0 可就是在這樣一個溫和的外力的推動下 流體的速度卻被一步步催到了無窮大 產生了起點 我們無法在一期簡短的科普視頻裏 講清楚所有的技術細節和定理 只能爲大家講述構造的大致思路 其實這篇論文一共有160多頁 截至目前可能還沒有人類完全真正理解 這個反力深層的構造和全部的奧祕 所以我們也只能講個大概 首先 想要構造反力 我們可以把解方程的問題 變成一個設計的問題 正常情況下 我們是用牛頓定律來給定力計算運動 但是在這裏我們要反過來 給定運動 反推需要什麼力 我們需要設計一個速度場U 帶進方程 左邊減右邊剩下的那個X 直接就把它定義爲外力F 這個方程就會自動成立 因爲F就是這麼定義的 所以造一個帶外力的爆破機 反過來變成一個設計問題 設計一種在有限時間內 會飛向無窮快的運動過程 但是使得它所需要的外力F 從頭到尾都是有限而且光滑的 這是相當困難的 也是整個反力構造的核心所在 AI在論文中選擇了一個 用tau等於1-t表示距離爆破還剩多少時間 這根水柱的半徑大概按根號tau收縮 高度也在收縮 但稍慢一點 所以它會越來越細長 OpenAI的博客說 它像一個意大利麪 柱子裏的流體 一邊向着軸心螺旋向內旋轉 一邊沿着軸向上下兩個方向流出去 中間有一個分界層 這種結構我們前面說過 就是渦管 裏面高速旋轉的核心叫做渦合 在渦閤中央 流體一邊旋轉一邊向軸靠近 同時沿軸上下排出 這種結構就有加速到無窮的潛力 就像花樣滑冰運動員那樣 半徑縮小 根據角動量守恆 旋轉速度就會越來越快 當然 粘性會不斷地把角動量往外擴散 真實的加速度是向內疏運和粘性損耗中的一種平衡 因爲我們說過 流體是不可壓縮的 不可能不斷向軸的附近堆積 鏡像流入的同時 必須配合其他方向的流出 這就形成了向內旋入 向上向下排出的結構 論文第二節的圖一畫的正是這個過程 正常來說 流體是不會自己向中心匯聚 速度越來越快的 所以需要外力來搓出這麼一個核心 但通常情況下 要讓流體中心出現這種黑洞一樣的旋轉起點 外力一般也會很病態 這會導致除了這個中央高速旋轉的核心之外 外圍的流體速度怎麼安排也很複雜 不能只畫好中央的渦合 然後隨意的讓它在外圍變成零 因爲對於越來越細的結構 拼接中間區域當中的導數會越來越大 最終導致外力發散而不光滑 我們可以用一個簡單的例子來看一看 假設速度在空間裏分佈成一個高絲形狀的鼓包 鼓包的面積不變 但寬度按根號tau收縮 也就是方差等於剩餘的時間tau 鼓包的峯值速度就會按根號tau分之一增長 離爆破越近 這個鼓包越小 其中的速度越快 衝向無窮大 那速度無窮大能量會不會爆炸呢 其實不會 在三維空間中計算一下 你就會發現體積是半徑平方乘以高度 差不多是tau的二分之三次方 而速度的平方則是tau分之一 乘起來是根號tau 隨着tau區域零 還是區域零的 所以有趣的事情發生了 這個結構雖然速度會趨向於無窮大 但能量卻是區域零的 這其實就是前面所說的 那個縮放對稱性所給出的自相似形狀 唯一的問題是 把它帶入方程反推外力 你會發現這個外力F 依然是發散爆炸的 不滿足要求 這也不奇怪 上世紀90年代數學家就已經證明 這種嚴格自相似的爆破 在沒有外力的NS方程裏 根本不可能出現 爲了解決這個問題 AI引入了一個很小的指數h 在論文裏取它大於0小於1% 讓渦荷在兩個方向上以不同的速度收縮 半徑按tau的1 2次方收縮 高度按tau的1 2-h次方收縮 旋轉和軸向的速度 都按tau的-1 2-h次方增長 半徑比高度縮的快 所以渦荷就會越來越細長 這正是意大利麪的來歷 這個小小的h帶來了兩個好處 第一 豎直方向的粘性擴散相對於水平方向 變成了一個越來越小 兩者之比是tau的2h次方 所以可以把它當成一個小的修正 一階一階往回補 第二 旋轉速度比內向流的速度增長的更快 所以渦荷邊緣的剪切會越來越強 這個剪切後面會成爲一個放大器 能量也不會爆炸 渦荷的總動能按tau的1 2-3h次方變化 依然是趨於0的 不過只有這些還不夠 只要是這樣一個單獨的渦 無論h怎麼選外力F都會發散 AI仔細分析之後發現 外面緩慢旋轉的區域 可以取成一個完全不需要外力的精確解 這樣就可以讓發散的外力 全部集中在兩者之間的接縫上 也就是渦荷包圍的外面那一圈環形區域裏 到這裏 AI不平凡的構造終於開始發力 既然接縫處缺一個力 而這個力會發散 那就不要讓它是外力 而是讓流體用自己的運動把這個力生出來 AI的構造利用了一個關鍵的物理事實 來回正當的流體平均速度是0 卻可以持續的把動量往一個方向運 海浪斜着拍向岸邊時 海水會順着浪的方向斜着來回的晃 往岸上湧的時候會順帶往右邊 退回到海底的時候則會往左邊 一湧一退 每一份水都會回到原處 平均速度是0 而動量從一處被帶到另一處叫做動量輸運 在流體裏最直接的方式就是水帶着自己的動量過去 在水裏畫一條和海岸平行的線 看看線和岸之間的這片水往右的動量怎麼變 你會發現當浪湧上來的時候 有一份水帶着往右的速度從這條線進入岸的這一側 所以在岸這一側的水往右的動量就會增加 接着浪退回去 這份水又帶着往左的速度跨過這條線離開 岸這一側的水失去了一份往左的動量 而失去往左的動量相當於往右的動量增加 根據牛頓第三定律 因爲自己推了它一下 所以自己反作用力往右走了 所以兩次越過這條線 岸這一側的往右的動量都會增加 寫成式子可以這樣想 u是水垂直於海岸的速度 朝向岸邊是正 v是水沿着海岸的速度 往右爲正 ρ是水的密度 那麼ρ乘以u 就表示每秒鐘越過這條線的水有多少 是往哪邊越的 而每一份水又帶着沿岸的速度v 所以每秒鐘超過這條線 進入岸這一側水的往右動量就是ρuv 我們在一整個完整的週期上去積一個分 當湧上來的時候u和v都是正的 所以乘起來是正的 退下去的時候u和v都是負的 乘起來也是正的 兩者總是相同變號 所以我們就知道 如果你在海邊這樣去游泳的時候 就會感受到一種沿岸流 也就是你自己也沒有怎麼動 但浪推着拉着 你就發現自己沿着岸邊一路飄移 這種由振盪所產生的平均動量流 單位和壓強相同 在海洋水裏叫做輻射硬力 在流體力學裏統稱爲雷諾硬力 OpenAI的構造用的是同一個機制 只不過被送運的這個量 從動量換成了角動量 一分流體的角動量 是它的質量乘以旋轉速度 再乘以到軸的距離 就像前面的花樣滑冰運動員 流體在不受力矩的時候 往裏或者往外移動 它的旋轉速度就會變化 但角動量是不變的 所以在旋轉的流體裏 最重要看的是角動量的數據 我們把海邊的這一根線 換成繞軸的一個圈 那麼朝岸的速度u 換成沿着半徑往外的速度 而沿岸的速度v 此時就對應於 周圍轉出來多的 或者欠缺的旋轉速度 那麼往外走的流體 轉的比周圍快 往裏走的流體 轉的比周圍慢 所以進入外圈的是 轉的偏快的流體 而離開外圈的是 轉的偏慢的流體 進出的流體是一樣多的 但進來的角動量 卻比出去的多 所以角動量 就這樣持續的向外流 兩個速度同時返號 成績始終是正 和剛纔海邊的uv 就是一樣的事 AI具體的構造是 在接縫那個環形區域裏 放上一圈一圈 在空間上震盪的脈衝 每個脈衝在 鏡像軸像和時間上 都是局部的 但沿着整個環 環繞一圈 它們的速度 沿圓環平均爲0 運送的角動量 和軸向動量 卻不爲0 那脈衝放在那裏 有多強 就會決定這個角動量 它是怎麼流動 輸送 是有多大力的 AI把脈衝安排的 讓這些力 恰好補上了 這些脈衝本身 也幾乎不需要 用外力去推 第N層的脈衝 剛出生時 弧值只有峯值的 大約1的-cn平方磁方 這樣衰減的模式 剝下它那一點點 可以小到忽略的外力 剩餘的就交給 流體自己的背景流動 渦河邊緣的強減切 就像一種不穩定性 一團轉得比周圍快的流體 會被甩向外圈 而如果外圈的轉速 降得足夠快 它帶着自己的角動量 跑到了外圈 會比它的心靈驅 轉得更快 於是就會被甩得更遠 脈衝就這樣從背景流裏 汲取能量長大 這種放大順帶 創造出了需要的配合 往外跑的 恰好是轉得偏快的流體 與此同時 剪切也在把脈衝的波紋 越擰越斜 越擰越密 波長變短之後 粘性耗散越來越強 最終壓過了這個放大 脈衝就自己衰減下去 先漲後消 包絡接近於一條高斯曲線 也就是論文圖裏那條 先升後降的曲線 越接近於起點 這些脈衝就被安排在 越細的空間尺度 和越短的時間尺度上 帶來的速度起伏會越來越大 但始終比渦合本身的 增長速度更慢 加上一輪又一輪的修正 把最後剩下的誤差 一層層消掉 以上種種設計拼到一起 外力就可以做到 直到起點都保持有界 而且光滑到有任意階導數 可在它的驅動下 流速卻爆炸到無窮大 產生了起點 算了 說這麼多估計你也沒聽懂 那我們直接來看粒子模擬的動畫 體會一下這個世紀反力吧 你可能會問 這NS方程都出爆破解了 是不是流體力學不存在了 物理學家和工程師是不是會慌呢 其實也不至於 因爲這只是一個數學上的反力 物理上的意義很小 方程之所以能推出無窮大的速度 是因爲它假設流體是連續的 可以無限吸分 但真實的水是由分子組成的 尺度小到分子間距的量級 連續介質的假設就失效了 方程本身不再適用 得改用分子動力學去算 而這個爆破解的核心 正是要收縮到無窮小 才能飛到無窮快 所以不能理解爲NS方程本身有問題 而是它恰恰說明 NS方程對流體的建模 在某些極端情況下是不完備的 更多簡單的經典力學分析下的流體力學 會丟失重要的前提假設 流體不能再被視爲無限精度的流場 流體作爲海量粒子的本質 必須要被建模考慮 現實世界有一大堆方程裏 沒有寫的正則性 也會影響出這個爆破解 在現實當中不怎麼會存在 首先不可壓縮意味着聲速無窮大 一處受壓另一處瞬間響應 這在真實流體中是做不到的 粘性同時還正比於速度梯度 這是牛頓流體 它也只是一個近似 剪切率在無窮大的時候未必成立 還有相對論會決定一個速度的上限等等 在實際應用裏 大家就更沒有那麼關心NS方程是否會爆破 更不會發現天塌了 因爲飛機天氣血流的模擬早就已經成熟了 它們靠的是對湍流做經驗性的建模 無論是證明這個解永遠光滑 還是找到一個病態的爆破反例 都不會從根本上改變我們 做天氣預報模擬氣候變化的方式 飛機也不會因此飛得更快 NS方程的價值在於90年來 人們爲了攻克它所發明的理論 比如說勒雷弱節 各種函數不等勢 正則性爆破的判據等等 所以這個結果的衝擊在數學層面上 遠遠大於物理和應用上 近些年數學家行內的預期 已經越來越傾向於NS方程會爆破 比如說陶之軒在9月7日的博客裏就寫道 現在普遍預期可以構造出 光滑初值加光滑外力的爆破解 甚至不需要外力也可以 那對於數學家來說 大家滿意於這個反例嗎 首先震撼之間肯定還是有的 畢竟AI的確給出了經過形式化驗證的反例 完成了克雷研究所NS方程的C和D選項 9月11日 克雷研究所專門發表聲明說 也就是說看起來已經得到了解決 但後續成果評估和貢獻認定 仍然會按照既定規則審慎進行 OpenAI也表示不會去升領這100萬美元的獎金 畢竟自己都花了1000多萬 只不過大家還是覺得稍微差了一口氣 因爲大家真正關心的最難的 還是沒有外力的情況下 一個初始光滑的流體 會不會在完全自發內部的演化中 產生一個速度無限大的起點 從目前的結果到這個無外力的問題 其難度的跨越可能一點都不比找到這個反例小 說到底 允許施加外力的自由度還是太高了 AI找到的這個反例表明 儘管加上了光滑有界的要求 三維空間的任意外力場能幹的事還是太多了 芝加哥大學的數學家Louis Silvestre評價說 克雷的題目算是解決了 但NS方程真正的核心問題還沒有 對於沒有粘性的歐拉方程 OpenAI同時放出了另一篇論文 聲稱從一個光滑的 只在有限區域裏流動的初始狀態出發 不施加任何外力也能爆破 這個結果如果成立 本身就是流體力學當中的一件大事 目前還在接受同行的檢驗 但對於有粘性的NS方程 完全沒有外力的情況下 流體會不會依靠自己演化出爆破 至今仍是未解的難題 當然我們也不知道它還能活多久 此外還有一個重要的事實是 AI找到的這個反力 依然不是完全平地起高樓 這條路線有清楚的人類譜系 2022年 Albertron、Brew和Colombo 用一個外力構造出了兩個不同的勒雷解 但它們的外力在初始時刻是奇異的 從2023年起 西班牙數學家Cordova和Martinez de Roa 發表了一系列論文 發展出一套逐級放大的構造思路 也就是我們說的 反覆往一個帶外力的解上 疊加越來越小、越來越高頻的修正 用大尺度的拉伸去放大更小尺度的窩 有點像前面所說的大窩鎖出小窩 讓解越來越奇異 同時讓外力保持良好的性質 2024年 他們用這個思路在一個更簡單的流體模型 也就是不可壓縮的多孔介質方程上 從光滑的初始狀態造出了起點 2016年9月7日 紐約大學的Buckmaster和Anthropic的員工 Alpaga也宣佈 他們把這條路推移到了光滑外力 做出了三維歐拉方程等三個流體模型的爆破 他們大量藉助了Anthropic和OpenAI的多個大模型 這個結果在8月中旬就已經得到 一週後再另例完成了形式化 他們原本打算整理一下這個AI寫的這種鬼話 寫出人類能夠讀懂的論文再公佈 但是呢 在這個過程當中 OpenAI聽到了這個傳聞 說有兩個千億年問題已經被解決了 於是他們也讓模型同時去攻克所有的千億年問題 外加一批簡單一點的問題 其中大約100個智能體花了50個小時左右 出乎意料的先做出了無外力歐拉方程的爆破 也就是前面提到的那篇 OpenAI這才把資源集中到NS方程上 並把歐拉方程的結果餵給這些智能體 9月5日 距離第一批智能體啓動大約88個小時 NS的證明就出爐了 OpenAI說 他們後來才意識到那條傳聞指的是Buckmaster和Alpaga 並且承認了兩人在帶外力歐拉方程上 是更優先發現這件事情的 但與此同時 Buckmaster則認爲 OpenAI走的正是他和Alpaga在做的那條路線 並且他們的研究大量用到了OpenAI的codecs 他懷疑OpenAI是否接觸過這些對話數據 或者拿它們訓練過模型 OpenAI表示 他們並沒有查看過任何用戶數據 只不過也不能排除去標識化的使用數據幫助改進了模型 9月10日 OpenAI又更新說 經過調查確認 Buckmaster此前兩個月的codecs對話 不可能對這次結果產生任何影響 並強調兩邊的證明差別很大 目前 雙方私下關於署名的談判也鬧得很僵 有沒有彼此借鑑功勞該怎麼分 到現在雙方都各執一詞 咱作爲圈外人也只能吃瓜 好了 不知道這期視頻有沒有讓你對流體力學多理解了一點 視頻製作非常不易 還希望各位能一鍵三連支持一下 傳聞 AI已經又要解決 後期猜想和BST猜想這兩個千禧年大講難題 阿寶表示做不過來 真的做不過來 我是從來沒有想過有一天 我講解這種人類未解數學難題的速度 會跟不上AI解決的速度 大家點個關注 就能第一時間看到專業直觀的分析科普了 我是陳思璐 希望你們不辛苦 我們下期再會