F55 – Probabilità non classiche & non quantistiche

sappiamo che esistono delle geometrie non euclidee che non obbediscono ai famosi assiomi di Euclide in particolar modo al quinto postulato di Euclide similmente possiamo chiederci se esistono delle probabilità non col mogorovich non obbediscono gli assiomi enunciati negli anni 30 da kolmogorov tramite i quali si definisce una teoria delle probabilità da intendere in senso classico possiamo anche chiederci di più possiamo chiederci se esistono delle non ilber tiane cioè che non obbediscono alla regola di Born della fisica quantistica e al corrispondente postulato della proiezione bene è di tutto questo che andremo a parlare in questo video Allora Solitamente quando si parla di probabilità non è che si pensa a diversi modelli realistici si pensa che ci sia solo un unico modello di probabilità delle probabilità uno spazio delle probabilità che è quello che negli anni 30 del secolo scorso fu definito da kolmogorov tramite un certo numero di assiomi e quelle sono le probabilità la teoria delle probabilità che impariamo a scuola e poi in seguito all'università queste queste probabilità però sono oggi diventate potremmo diciamo hanno acquisito una sorta di denominazione e che è quella di essere probità classiche classiche In che senso perché quando ovviamente furono enunciate nessuno parlava delle probabilità come probabilità classiche bisogna dire che kolmogorov quando le enunciò verso diciamo nei primi anni 30 Beh quello era anche il periodo in cui fu assiomatici quindi la comprensione di che cosa sono delle probabilità e la comprensione di Che cos'è un sistema quantistico avvenne diciamo più o meno negli stessi anni e forse a caso forse non a caso non è questo adesso il punto di questo video ma la parte interessante è che nella teoria quantistica erano diciamo anche la teoria quantistica metteva in campo delle probabilità e Questa teoria quantistica aveva un suo modello matematico che è lo spazio di hilbert con un certo numero di teoremi di regole e quindi questa descrizione quantistica dava vita a un modello probabil che sembrava essere differente dal modello probabilistico degli assiomi di kolmogorov e tanto che nel tempo poi negli anni successivi ci furono tantissimi tentativi di ricondurre le probabilità quantistiche a delle probabilità di tipo classico tramite le cosiddette teorie variabili nascoste Ma tutti questi tentativi in qualche modo fallirono e e ci furono dei dei teoremi di impossibilità come il teorema di Bell che mostra che per l'appunto che è un sistema che viola le diseguaglianze di Bell Ebbene per quel sistema il modello probabilistico che quel sistema contiene non può essere un modello compatibile con gli assiomi di kolmogorov che descrivono appunto delle probabilità intese in senso classico quindi le probabilità quantistiche non sono probabilità classiche nel senso definito da kolmogorov molto bene allora oggi cosa vogliamo fare oggi Vogliamo fare qualcosina in di più Vogliamo addirittura mostrare che esistono delle probabil dei modelli probabilistici che non sono né classici né quantistici che sono addirittura a metà strada sono come dire dei modelli intermediari poi naturalmente la domanda di sapere se la fuori nel reale le probabilità sono intermediarie oppure puramente quantistiche o in certi settori puramente classiche Beh Queste sono domande molto interessanti che lasceremo a ulteriori discussioni quindi come facciamo a parlare di tutto questo Beh il programma è abbastanza denso quindi questo video avrà contenuto come dire bello sostanzioso comincerò con una metafora così almeno una parte degli ascoltatori che non seguirà Comunque la parte più matematica di questo video però potrà Comunque almeno lasciarsi diciamo intuire un pochettino cosa sto cercando di fare no E userò per l'appunto una metafora di tipo geometrico e che ci aiuterà un pochettino a capire perché in che modo si possono definire dei modelli probabilistici differenti un po' come storicamente abbiamo scoperto l'esistenza di geometrie differenti Allora immaginate avere a che fare con tre Individui e questi tre individui sono degli esseri piatti bidimensionali però vivono senza saperlo sulla superficie di una sfera quindi c'è una sfera abbiamo questi tre indiriz indui che vivono nelle loro casette su questa sfera questi individui si interessano di matematica di scienza e in particolare di geometria iniziano a cercare di scoprire i teoremi della matematica della geometria e in particolare studiano dei triangoli Quindi loro studiano dei piccoli triangoli all'interno delle loro case si divertono a calcolare Ad esempio la somma degli degli angoli interni di un triangolo e vedono che la somma di questi angoli all'interno di un triangolo dà sempre 180° e entrambi concordano con questi risultati e questi sono dei risultati locali cioè Ognuno di questi individui eh piatti chiamiamoli così eh scoprono quella che poi oggi chiameremo la geometria piana una geometria piana euclidea e si confortano di ottenere gli stessi risultati ma sostanzialmente fanno tutti degli esperimenti dei singoli esperimenti in qualche modo poi però questi individui che si conoscono bene vanno anche ogni tanto a si recano a farsi vicendevole visita e quindi spesso camminano No per andare a trovarsi e andare appunto a mangiare da uno dall'altro eccetera Sono molto conviviali e lo fanno talmente spesso che ovviamente in tutti questi viaggi che fanno vogliono dipendere il LA Minore quantità possibile di energia e quindi individuano dei cammini che sono dei cammini di minimo spreco di energia quindi cammini più corti per arrivare da da una casa a un'altra casa e quindi col tempo definiscono una sorta di triangolo dove questi sono dei cammini appunto minimali in termini di distanza e poiché definiscono alla fine con una certa precisione questo grande triangolo avendo studiato sempre dei piccoli triangoli all'interno delle loro case mettendo insieme in certo qual modo Le Tre Case quindi collaborano con una sorta di osservazione congiunta e a questo punto possono ognuno misurare un angolo alfa Beta e Delta in questo triangolo condiviso e congiunto e facendo Questo esercizio Scoprono che Alfa + beta + Delta E beh non è più uguale a Pi greco ma a pi più una una certa correzione pi * 1 + F dove F è qualcosa inizialmente pensano di fare degli errori ma poi iniziano come dire con sempre maggiore precisione a calcolare queste distanze minimali tra le loro case questi lati di questo triangolo e quindi con sempre più precisione calcolano questi angoli Alfa beta e Delta e quindi si convincono che effettivamente quel risultato che avevano determinato che la somma degli angoli è 180° cioè pi Gre non era vero che c'era un F che in realtà questo F è un rapporto ed è il rapporto tra la area di questo triangolo e l'area di un'ipotetica sfera sulla quale a un certo punto ipotizzano di vivere e quindi Scoprono che diciamo il loro spazio non è di tipo euclideo ma è di tipo Ellittico cioè sferico in questo caso e poi scoprono anche quindi che il quinto postulato di Euclide perché anche loro hanno poi assiomatici quando si traccia una una retta e un punto esterno alla retta eh attraverso quel punto passa una sola retta parallela alla retta data Questo è il postulato di Euclide ma Scoprono che non è più valido che in realtà a un punto esterno a una retta non passa nessuna parallela a quella retta perché Perché su una sfera Naturalmente la nozione dietta viene rimpiazzata dalla nozione di geodetica e le geodetiche su una sfera Che cosa sono sono i cerchi massimi cioè quei cerchi che hanno come centro il centro della sfera e due cerchi massimi differenti necessariamente andranno ad intersecarsi e quindi non possono essere eh corrispondere a dei cammini paralleli quindi il quinto postulato non è valido viene modificato Quindi c'è qualcosa che viene modificato ma vedete che questi tre individui per riuscire a mettere in evidenza tutto questo sono obbligati a mettere insieme in qualche modo le loro osservazioni finché Fac le loro osservazioni a casa questo F per un piccolo triangolo essendo il rapporto tra l'area del triangolo e la l'area della superficie della sfera questo F era talmente piccolo che non potevano mettere in evidenza questa deviazione E potremmo dire che in qualche modo mutatis mutandis con la fisica quantistica ad esempio siamo riusciti a mettere in evidenza qualche cosa che gli esperimenti precedenti non ci permettevano di mettere in evidenza e abbiamo visto un una deviazione rispetto alle modello probabilistico classico cioè scoprendo il modello probabilistico quantistico Ma questa deviazione abbiamo siamo stati in grado di mettere in evidenza unicamente con degli esperimenti che facevano intervenire più di una singola misura cioè bisognava realizzare delle misure congiunte o delle misure sequenziali Allora le probabilità associate a queste misure sequenziali congiunte queste probabilità Effettivamente erano abbiamo scoperto che sono delle probabilità che non è possibile descrivere utilizzando un unico spazio di probabilità che fa intervenire un unico spazio campionario Ecco che quindi insomma siamo diciamo così come nell'esempio della geometria scopriamo una diversa geometria che governa ad esempio questi triangoli Sulla sfera quando esploriamo certi settori del reale scopriamo che è necessario impiegare un modello probabilistico differente C'è da dire che usando un po' L'analogia con la geometria ci sono stati degli scienziati che hanno cercato di ragionare un po' allo stesso modo e dire se parto dagli assiomi di kolmogorov Quali di questi assiomi devo modificare cambiare eliminare sostituire per trovare una rappresentazione di un modello prob istico tale che poi permetta di descrivere anche ad esempio le probabilità quantistiche e questi tentativi però non non sono stati particolarmente fruttuosi soprattutto perché queste modifiche agli assiomi di cmog era difficile dare a tutte queste modifiche un senso fisico più chiaro Comunque non è di questo che voglio parlare in questo video quello di cui adesso vi voglio parlare è semplicemente offrirvi un un esempio di un modello probabilistico che ha questa caratteristica di non di non non essere compatibile con gli assiomi di kolmogorov ma nemmeno di essere compatibile con la con il modello probabilistico quantistico quindi è veramente a metà strada né classico né quantistico ma intermediario Come facciamo a fare questo allora faremo così inizieremo con il descrivere qualche una diciamo un sistema che è stato proposto negli anni 90 del secolo scorso da diedri artz che si chiama modello Y questo modello Y descrive dei sistemi i cui le cui osservazioni hanno sempre due esiti quindi un po' l'equivalente di un sistema a due stati di un sistema a due livelli di energia di un sistema come uno spin 1 mezzo i cui risultati possono essere up e down nelle diverse direzioni in cui si fa la misura un sistema di questo tipo Questa modello Y però è più generale di un modello quantistico e andremo a vedere che per l'appunto le probabilità che genera quando si analizzano eh le le osservazioni i processi di misura all'interno di questo modello Y Ebbene le probabilità che questo modello genera violano delle diseguaglianze che devono essere invece obbedite da una teoria probabilistica classica o che devono essere obbedite da un modello probabilistico pure amente quantistico Quindi prima cosa cancello e Descrivo il modello Y è abbastanza semplice da descrivere non abbiamo bisogno di studiarlo nel dettaglio Ma di capire un po' solo come funziona una volta che abbiamo fatto questo derivò assieme a voi una diseguaglianza che necessariamente è vera per una teoria delle probabilità classiche e poi andremo a vedere che il modello Y per una scelta particolare di esperimenti vi Viola quella diseguaglianza e ultima tappa di questo video utilizzeremo sempre questi esperimenti per mostrare che violano anche delle proprietà di natura quantistica e quindi avremo dimostrato l'esistenza di un modello genuinamente intermediario non classico e non quantistico Adesso cancello e Cominciamo con la descrizione del modello Y Allora il modello y u sempre una sfera Questa è la cosiddetta sfera di Block che è una sfera eh di raggio di raggio uguale a 1 eh E su questa sfera la superficie di questa sfera ci sono gli stati se la sfera di Block viene usata per descrivere gli stati quantistici abbiamo proprio una corrispondenza tra i vettori che si trovano alla superficie di questa sfera e i vettori nello spazio di hilbert ma adesso qui non ci interessa comunque tutti gli stati del sistema sono alla superficie di questa sfera molto bene Quindi un'infinità di stati possibili ad esempio uno stato descritto da W qui possiamo immaginare che questo stato è rappresentato da una specie di punto materiale astratto dopo dobbiamo definire all'interno di questa sfera questa sfera di Block Unitaria di raggio uno dobbiamo definire Quali sono gli esperimenti le le osservazioni le misure allora ogni diametro di questa sfera rappresenta un possibile esperimento una possibile osservazione di una possibile grandezza fisica Quindi ad esempio questo diametro ogni diametro ovviamente è associato a due punti antipodal sulla superficie della sfera ad esempio un punto u e un punto Men u quindi due vettori che identificano questi due punti e Dobbiamo immaginare che tra questi due punti c'è come una struttura come un elastico che è stato Teso questo elastico è un po' particolare perché solo la sua parte interna è rompibili cioè questa parte che ho disegnato in verde mentre la parte bianca è una parte puramente indistruttibile e questa parte interna Eh che invece è rompibili è di lunghezza du di lunghezza 2y Ed ecco che quando si parla di modello Y l'y ha che fare proprio con l'estensione di questa zona rompibili di questo elastico astratto adesso com'è che avviene un esperimento Ebbene immaginate che il sistema si trova nello stato iniziale che è questo questo vettore w e adesso la misura avviene esattamente nel modo seguente in due fasi Nella prima fase Eh questo diciamo vettore cade all'interno della sfera lungo una traiettoria perpendicolare al diametro che descrive l'esperimento in questione quindi scende perpendicolarmente qui naturalmente abbiamo un angolo theta e quindi per questa scelta ad esempio di stato iniziale diciamo scendendo atterra esattamente in un punto della sfera che è sulla parte rompibili della stessa a questo punto che cosa succede e beh succede che l'elastico prima o poi si rompe ora può rompersi in questo settore o può rompersi in questo settore se si rompe in questo settore Per contrazione Il punto materiale verrà sospinto fino al vettore u e u sarà l'esito della misura invece se si rompe in questo settore La contrazione avverrà nell'altra direzione e quindi sarà - u il risultato l'esito della misura Quindi qual è la probabilità di ottenere l'esito u o di ottenere l'esito - U in questa situazione è molto facile calcolare quindi la probabilità ad esempio di ottenere u sapendo che lo stato iniziale è w e beh sarà data da i diciamo così il settore la lunghezza del settore dell'elastico tale che se si rompe in quel settore è favorevole a ottenere l'esito u questa lunghezza è data da che cosa da Y cioè da questa lunghezza qua Y più questa lunghezza qua che è coseno theta quindi Y + coseno T diviso per la lunghezza totale del segmento rompibili quindi 1/2 di 1 + coseno theta / Y poi naturalmente questo stesso modello nel caso ad esempio lo stato iniziale sia posizionato qua in questo caso scendendo nella sfera atterrer sulla parte non rompibili a questo punto la probabilità sarebbe esattamente uguale a 1 perché tutti Qualunque sia il punto dove si rompe l'elastico la contrazione lo porterà verso u se lo Stato fosse stato qui e fosse atterrato qui stessa cosa con probabilità uguale a 1 l'esito sarebbe stato - u cosa voglio dire voglio dire che ci sono degli Stati tali che Il punto materiale atterra sulla parte rompibili questi stati danno vita a dei processi genuinamente ind deterministici governati da delle probabilità diverse da 0 o 1 e invece ci sono poi delle condizioni iniziali per le quali l'esito è predeterminato nel senso che con probabilità 1 o Zer darà un determinato risultato quindi possiamo predire con certezza l'esito Questa è il funzionamento Tra l'altro l'ultima cosa ve lo dico senza dimostrarvelo per per il valore Y che tende a verso 1 Cioè per Y = 1 che corrisponde alla situazione dove questo elastico è interamente rompibili quindi non ci sono più queste zone eh indistruttibili Allora abbiamo un elastico uniformemente rompibili Tra l'altro non l'ho menzionato ve lo dico adesso questa parte interna rompibili è uniformemente rompibili cioè c'è la stessa probabilità che si rompe in qualsiasi punto qualsiasi punto può diventare un punto di rottura con uguale probabilità per questo possiamo calcolare la probabilità in questo modo ora se tutto l'elastico è rompibili cioè Y = 1 Allora questa probabilità diventa 1/2 di 1 + coseno theta e Chi conosce il formalismo di Block sa che questa è esattamente la probità quantistica predetta dalla regola di Born quindi il questo modello questo modello Y Eh che è descritto da da questa situazione con questi strani elastici che sono in parte rompibili in parte no è una generalizzazione della situazione quantistica che corrisponde al valore del parametro y = a 1 bene Adesso avete capito come funziona questo modello Y adesso qui Vi ho descritto un unico esperimento Però come vi ho detto per ogni diametro ogni diametro Dà vita a un esperimento differente quindi avrei potuto considerare un esperimento magari lungo V E - V due altri vettori Quindi se questo stato iniziale avessi voluto misurarlo non in relazione a questo esperimento ma a quest'altro sarei dovuto entrare lungo questa direzione cioè entrare nella sfera cadendo perpendicolarmente a questo elastico e quindi ovviamente le probabilità sarebbero state diverse Quindi ogni diametro abbiamo un'infinità diametri di diametri un'infinità di esperimenti possibili e adesso andremo a considerare tre di questi esperimenti tre situazioni che ci permetteranno di violare una diseguaglianza che invece non dovrebbe essere violata ma prima di fare questo devo presentarvi questa diseguaglianza e la deriviamo insieme perché è molto facile derivar così siamo tutti tutti convinti che abbiamo una diseguaglianza che deve essere vera per una teoria classica delle probabilità quindi questo è il prossimo passaggio bene allora vi ho già messo alla lavagna alcune cose così non perdo tempo a scriverla ho scritto tre identità che sono praticamente autoevidenti però ve ne spiego una delle tre poi le altre sono della della stessa natura qui ho tre eventi vuw e gli eventi corrispondenti complementari quindi V ad esempio e v complementare è l'insieme vuoto e la disgiunzione rappresentata dall'intersezione dal punto di vista insiemistico e v Unione V complementare cioè v o v complementare è ovviamente la totalità dello spazio campionario Quindi questi sono tre eventi Questi sono i loro eventi complementari Quindi ogni volta o è vero v o è vero V complementare o è vero u o è vero u complementare eccetera eccetera ora la probabilità di V e W è la stessa cosa che la probabilità di u e v e W più la probabilità di u e u complementare e v e W Perché Perché qui vedete che qui ho v e w w e qui ho aggiunto anche u però l'ho aggiunto sia nella sia come u che come u complementare Quindi questa legge marginale è necessariamente verificata Beh lo possiamo vedere qua perché Vedete qui ho V l'intersezione tra v e W è questa regione qua e ovviamente questa regione qua è la stessa cosa che l'intersezione di u v e W più l'intersezione di v w con U complementare quindi che mi toglie questo pezzettino quindi la somma di questi due elementi mi dà questo elemento e quindi siccome questi due elementi sono disgiunti Ovviamente questa eguaglianza è valida Ovviamente se non siete in grado di verificare questo anche tutto il resto di cui andrò a raccontarvi risulterà del tutto incomprensibile e queste altre tre eguaglianza obbediscono esattamente alla stessa logica Adesso cosa faccio faccio 1 - 2 Cioè queste due sottraggo quindi faccio pi di V e W - p di u e w e quando faccio questa sottrazione Beh qui ho questi due termini che sono uguali e quindi questi termini se ne vanno e quindi otterrò semplicemente P avrò questo termine u barra e v e W - p u e v bar e W quindi questo ottengo questa questa cosa qua ora naturalmente questo termine è strettamente negativo perché la probabilità è positiva quindi questa questa differenza è necessariamente più piccola di semplicemente p u barra e v e W cioè eliminando questo termine negativo bene D'altra parte questo termine qua posso vedere che questo termine qua lo ritrovo qui e questo termine è questo termine meno questo e quindi è per forza più piccolo di questo termine quindi p u barra e v e quindi ho derivato una diseguaglianza che è esattamente la diseguaglianza che andrò ad utilizzare p di V e W - p di u e W è più piccolo o uguale che p di U complementare e v Questa è esattamente Quella diseguaglianza di cui ho bisogno Adesso andrò a riscriverla nella prossima lavagna e adesso vi introduco i tre esperimenti che andremo a utilizzare nel modello Y e vi mostrerò che se interpretiamo delle misure sequenziali come diciamo delle probabilità di misure sequenziali come probabilità congiunte allora vedremo che questa diseguaglianza è violata in modo flagrante cancello e guardiamo assieme bene Allora devo ridisegnare questa sfera di Block e a questo punto all'interno di questa sfera di Block rappresenterò tre esperimenti che sono esattamente questi esperimenti qua provo a disegnarli al meglio possibile Voilà qui ho scelto un angolo di Pi su 4 e qui ho il vettore V il vettore w v il vettore - u u v - v w - w e qui ho questi elastici e ovviamente qua essendo avendo qua due angoli di Pi su 4 qui avrò un valore di 1 su √2 e questi elastici sono ovviamente caratterizzati da un certo valore di Y e in questo caso nella mia dimostrazione mi limiterò a considerare Y che ha un valore che va da 1 a 1 su √2 per dei valori oltre diciamo questo intervallo dovrei modificare la dimostrazione però in questo video ci accontentiamo di una dimostrazione per un certo intervallo dei valori di y e non per tutti i valori di y Ok Allora questi sono questi tre diametri definiscono ovviamente tre diversi esperimenti e vogliamo adesso mostrare che facendo delle misure sequenziali relativamente a questi tre esperimenti arriveremo a violare questa diseguaglianza allora la prima cosa che possiamo chiederci è se la il Il sistema è inizialmente nel nello stato W E allora qual è la probabilità che partendo dallo Stato W se faccio un esperimento i cui esiti sono possibili sono - w e W Qual è la probabilità di ottenere sempre W cioè Qual è la probabilità di ottenere W sapendo che lo stato iniziale è W Beh ovviamente io sono già sull'elastico in diciamo dell'esperimento quindi non mi non mi muovo da qua anche se quando l'elastico si rompe Io sono già lì quindi questa probabilità ovviamente è uguale a 1 molto bene posso anche chiedermi Qual è la probabilità che dato che lo lo stato iniziale è W esito della misura sia v cioè che ottengo lo Stato V Quindi che faccio una misura dove V è uno degli esiti e quindi l'altro esito sarà - V quindi devo considerare questo elastico questo contesto sperimentale Allora vedete che a questo punto devo cadere su questo elastico mi ritrovo su questo suo punto che è un punto non rompibili Quindi con certezza Qualunque sia il punto di rottura dell'elastico questo punto materiale tramite la contrazione verrà portato a v con certezza quindi anche in questo caso la probabilità è esattamente uguale a 1 a questo punto posso chiedermi Qual è la probabilità eh di ottenere prima w e dopo aver ottenuto W ottenere V quando eh inizialmente il sistema si trova nello stato W Allora Ovviamente prima avrò P la probabilità di ottenere W partendo da w e poi avrò la probabilità di ottenere V partendo da W quindi ho questa sequenza di esperimenti Ovviamente questi due abbiamo già visto che valgono 1 e 1 e quindi qui avrò 1 * 1 1 quindi questa probabilità Vale semplicemente 1 adesso voglio eh misurare un'altra probabilità che è la probabilità che un'altra sequenza di misure questa sequenza di misura è la sequenza dove ottengo prima w e poi ottengo u sapendo sempre che lo stato iniziale è W quindi di nuovo avrò prima la probabilità di avere W sapendo che lo stato iniziale è w e dopo la probabilità di ottenere u sapendo che lo stato iniziale è W questa sappiamo già che vale 1 e qual è la probabilità di ottenere u partendo da W Allora attenzione se io parto da w e voglio misurare Voglio sapere qual è la probabilità di ottenere u Beh u è uno degli esiti di questo esperimento quindi è questo l'esperimento Che devo fare quindi devo scendere su questo elastico sc su questa parte indistruttibile Qualunque punto di rottura dell'elastico mi porterà verso - u e quindi con certezza ottengo - uu Cioè quindi ottengo - uu con probabilità 1 e quindi ottengo u con probabilità 0 quindi questo è 0 e quindi 1 * 0 e questo mi dà 0 quindi questa probabilità la probabilità di questa sequenza di misure di di esiti è Zer e Quest invece è 1 molto bene Adesso voglio calcolare un'altra sequenza che è la sequenza di ottenere prima v e poi di ottenere - u partendo sempre Ovviamente dallo stesso stato iniziale W quindi che cosa devo fare Devo prima calcolare la probabilità di ottenere V partendo da w e per la probabilità di ottenere - u di ottenere - uu eh sapendo che la lo stato a questo punto lo stato non è più W ma V Eh perché il primo esperimento ha portato lo stato verso lo Stato V ora Quanto vale tutto questo Beh questo questo questo questa questa quantità qua Eh la posso l'avevo già calcolata e l'ho calcolata qua questa vale 1 Ok ora Quanto vale questa probabilità è una probabilità che mi dice se lo stato è V qual è la probabilità di ottenere - u se lo stato è V qual è la probabilità di ottenere questo esito quindi sto facendo questo esperimento quindi devo scendere perpendicolarmente all'elastico mi trovo esattamente in mezzo all'elastico Quindi al centro della zona rompibili quindi avrò una un mezzo eh di probabilità di ottenere u e 1/2 di ottenere u Quindi questa probabilità sarà 1/2 e quindi 1 * 1/2 ottengo 1/2 bene A questo punto ho terminato ho dimostrato di avere violato questa diseguaglianza perché vedete questa probabilità qua questa probabilità qua è la probabilità di diciamo calcolata qua Ed è la probabilità di avere w e v vedete w e v questa probabilità qua è w e u e qui ho il w e u e questa probabilità qua è ho il V e ho il - u che è l'equivalente del U complementare No perché l'esito opposto Quindi tutte queste quantità ora se io le metto insieme queste quantità eh cosa ottengo se faccio questo questa grandezza qua che corrisponde a questa vale 1 1 - questa grandezza qua che corrisponde a questa vale 0 quindi è 1 - 0 ora la diseguaglianza classica mi dice che dovrei avere più piccolo uguale a questa grandezza qua che è l'equivalente di questa ma questa vale 1/2 ora 1 non è più piccolo o uguale di 1/2 Ma un è strettamente più grande che un mezzo e quindi ho ottenuto una violazione flagrante di questa diseguaglianza classica ovviamente interpretando le probabilità di esiti sequenziali come la probabilità di eventi congiunti da un punto di vista ovviamente della teoria classica e questa è una prima dimostrazione che che questo non può essere considerato come modello classico probabilistico classico cioè le probabilità generate dal modello Y non sono classiche Adesso cancello e ultima parte vi dimostrerò che non sono nemmeno di natura quantistica bene ultima parte adesso Vi mostro che le probabilità del modello Y non sono compatibili con le probabilità quantistiche cosa faccio parto anche qui D la probabilità della della sequenza seguente di ottenere prima w e poi V sapendo che lo stato iniziale è W come abbiamo già visto questa è la probabilità di ottenere W sapendo di avere come stato iniziale w e poi la probabilità di ottenere V sapendo che lo stato iniziale è w e vi ricordate abbiamo abbiamo già fatto il ragionamento questa probabilità è uguale a 1 Eh perché questo vale 1 E questo vale 1 quando faccio il calcolo con il modello Y Ora però immagino che queste probabilità devono essere anche compatibili con il modo di calcolare le probabilità in fisica quantistica Allora qui naturalmente adesso spiegherò un po' poco perché in ogni caso chi non ha in testa il formalismo quantistico non capirà tanto di quello che adesso Vi andrò a raccontare comunque questa probabilità di transizione se la scrivo utilizzando il formalismo di DIR RAC e la regola di Born mi dice che è semplicemente un certo Cat psw eh E ovviamente modulo al quadrato e che questo Ovviamente vale 1 e invece questa probabilità qua è semplicemente un PS W Un ps V modulo al quadrato quindi sostanzialmente ottengo che questo oggetto qua deve essere uguale a 1 Questo è il primo risultato che ottengo poi voglio calcolare ancora che cosa la probabilità di ottenere w e poi di ottenere - u sapendo che lo stato iniziale è W di nuovo Questa è data da pw W p - u W Ora ovviamente di nuovo questo vale 1 la probabilità di ottenere - u è uguale a 1 quindi di nuovo il modello Y Model mi dice che questa probabilità di questa sequenza vale 1 qui di nuovo ho Ovviamente questo termine qua Eh lo stesso che è qua sopra e questo termine qua è descritto semplicemente dal prodotto scalare di Psi - u con PSI W modulo al quadrato Quindi anche questo non solo questo termine qua è uguale a 1 ma anche questo termine qua è uguale a 1 adesso ultima considerazione P la probabilità di ottenere prima V poi u partendo sempre da W Ebbene questa è la probabilità di ottenere di ottenere V partendo da W per la probabilità di ottenere u partendo da V ora questa il calcolo l'avevamo fatto equivalentemente prima il modello Y mi dice che questa probabilità Vale 1/2 ora qui però che cos'è che ho qua Ebbene qui ho Cos'è questo termine se uso il formalismo quantistico Questo è il prodotto a scalare di PS W CV modulo al quadrato e questo termine qua è il prodotto scalare di Psi u PSI V al quadrato ma ora attenzione questo termine qua è lo stesso di questo termine qua e ho già stabilito che vale 1 quindi questo è uguale a 1 quindi mi ritrovo con il fatto che questo termine qua è uguale a 1/2 Ahah ok se questo termine qua è uguale a 1/2 quindi il modulo al quadrato di questo prodotto scalare è uguale a 1/2 quindi diverso da 0 quindi il numero complesso che è dato da questo prodotto scalare deve essere per forza diverso da 0 questa grandezza qua PS Eh u scriviamo bene PS u PS V deve essere diversa da Zer Ora però questa quantità qua la posso espandere introducendo la base dell'esperimento dell'esperimento v - v che dà gli esiti V E - V E quindi cosa posso Posso scrivere semplicemente No pardon inserire all'interno la base degli autovettori dell'esperimento w-w e quindi ottengo semplicemente PSI u psw psw più psu p- W P w v PSV Ora però attenzione Quindi praticamente ho inserito ho inserito l'identità eh qui dentro eh vabbè chi lo sa lo sa adesso se guardo Pardon qui Manca un termine P V più ok Spero che si capisca ancora ora però guardiamo bene questa questo termine questo vale 1 se questo vale 1 Allora necessariamente questo termine qui vale per forza 0 D'altra parte abbiamo questo termine uw ma qui ho w - u che vale 1 quindi questo necessariamente Vale 0 e quindi qui ho 0 + 0 è 0 quindi ho che questo oggetto qua è diverso da zero e al contempo è uguale a z0 siccome qualcosa di diverso da zero non può anche essere uguale a Zer otteniamo ovviamente una contraddizione quindi un formalismo il bertio con la regola di Born col postulato della proiezione che indica Come avvengono le transizioni di Stato a seguito di una misura quindi l'armamentario abituale della fisica quantistica non è compatibile con le probabilità descritte dal modello Y quindi il modello Y è genuinamente un modello intermediario ed è solo nel limite in cui Y è esattamente uguale a 1 che torna ad essere compatibile con la modellizzazione di hilbert della della quantistica per qualsiasi valore tra 0 e 1 escluso il modello priso non è né class né quantistico a presto