高中數學_1-1直角三角形的邊角關係_(6)餘角關係與商數關係_吳汀菱

各位同學,大家好,今天我們要進行的單元是第三冊第一章三角一之一直角三角形的邊角關係, 第六部分,餘角關係與商數關係,我是吳廷琳老師。 首先我們介紹餘角關係,什麼是餘角關係呢? 如果角A加角B等於90度,那我們就稱角A跟角B互於 角A的餘角是角B,角B的餘角是角A。 畫在圖形裡呢,他們就會在同一個直角三角形裡, 如果在同一個直角三角形裡,同學有沒有發現, 角A的對邊就是角B的鄰邊, 角A的鄰邊就是角B的對邊, 角A的對邊就是角B的鄰邊,角A的鄰邊就是角B的對邊, 看看你能不能念得比我快,那這個有什麼特性? 你的sin A是斜分之對, 斜分之A的對就會是B的斜分之零, 所以sin A就是cos B,同樣的道理,cos A就是sin B了。 好,今天我們比較不喜歡這樣子的寫法,我把角B 換為90度減角A,所以這個式子, 角B換為cos的90減角A,sin的90減角A, 也就是說,如果我今天要把sin A換成cos, 那角度只要換成互餘的就行了,cos A可以換成sin, 90度減角A,這就是餘角關係。 讓我們來做個練習,像sin10度就是cos的誰啊? 答對了,90減10,所以是80,很好。 cos29呢?90減29,有點痛苦, 好,這個10減9是1,9已經被借位1,剩下8,8減2就是6, 所以它是sin61度,sin47度是cos多少?等你。 1,2,3,對了嗎?很好。 cos7度呢?是sin的83度。 好,同學你可以重複這一頁,重複練習。 好,我們再進行下一種,下一種例題。 sin38度除以cos52度,本來兩個不同的角是沒有辦法進行運算, 但是同學有沒有發現,38跟52有什麼關係? 好,加起來是90,對不對?所以我可以把其中一項換掉, 比如說cos50度就是sin的38度,因此這個比值就是1了。 第二小題,sin40度的平方加sin50度的平方, 一個是40度,一個是50度, 我們可以再運用剛剛的結果,把其中一個換掉, sin50度的平方就是cos40度的平方, 因為這是餘角的關係,那剛才平方關係我們已經學到, 同一個角的sin平方加cos平方就是1囉,所以這兩題答案都是1。 再來例題2,sin10度的平方加sin20度的平方, 加sin70度的平方加sin80度的平方,四個角都不相同。 可是同學應該可以發現,10度跟誰很有緣啊? 10度跟80度加起來是不是90度? 20度跟誰?跟70度,太好了,所以我們可以把sin70換成cos20, sin80換成cos10度,同學當然你也可以把前兩個換掉, 那我換掉這兩個之後,欸,sin10度跟cos10度的平方, 跟sin20度的平方跟cos20度的平方, 就可以合併相加得到1加1就是2。 接下來我們介紹第二部分,相數關係, 相數關係的主角就是tangent theta, tangent theta的定義是零邊長分之對邊長, 角a的零邊分之對邊,好我又要變魔術囉, 我們把對邊長往上移,在上下同時除以斜邊長, 分子就變成斜邊長分之對邊長,這是誰啊? sina,對不對,sinθ,斜邊長分之零邊長是誰啊? cosθ,好,同學,所以tangentθ可以換成cosθ分之sinθ也, 這個相除的結果我們就叫相數關係, 相就是相除,所以這個tangentθ就是cosθ分之sinθ, 那同學可以發現,我如果看到cosθ分之sinθ, 就可以換成tangentθ,而且我看到tangentθ我也可以換為cos跟sin, 也就是說只要我知道sin跟cos的值,兩個相除就可以得到tangent, 這就是相數關係,我們來做個練習, 假設θ是銳角,而且sinθ乘cosθ是五分之二, 請你幫我求tangentθ加tangentθ分之一的值, 同學其實只要發現題目裡有sin跟cos, 又出現tangent,那差不多就是相數關係了, 我們來看看tangentθ可以換成cos分之sin, 那tangentθ分之一就是他的導數, 所以導數是sinθ分之cosθ,把這兩個相加, 看起來有點醜,但是請你勇敢的通分, 同分,分母變成cosθ乘sinθ, 第一串上下都乘上sin,所以變成sin的平方, 第二串上下都乘上cos,所以就變成cos的平方θ, 同學有發現什麼嗎,很重要的平方關係又出現了對不對, 所以他就是sin乘cos分之一, 那題目給我誰啊,題目是不是就是給我sinθ乘上cosθ,就是五分之二, 那換句話說,這就是五分之二的導數,答案就是二分之五, 同學我們第六段的重點是餘角關係與相數關係, 餘角關係主要處理的是兩個角加起來是90度的情況, 相數關係處理的是sin、cos跟tangent同時出現的情況, 同學可以從立體裡面去好好體會他們被運用的方式。